1、結(jié)構(gòu)動力學(xué)第1章 緒論1.1 基本概念1、結(jié)構(gòu)動力學(xué)固體力學(xué)靜力學(xué)動力學(xué)剛體變形體結(jié)構(gòu)力學(xué)材料力學(xué)彈性力學(xué)理論力學(xué)剛體變形體理論力學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué)彈性動力學(xué)第1章 緒論2、動力自由度自由度靜力自由度動力自由度剛體變形體約束質(zhì)量例1：分布質(zhì)量簡支梁無限自由度第1章 緒論一階振型二階振型三階振型四階振型五階振型第1章 緒論例2：集中質(zhì)量簡支梁有限自由度1、單自由度系統(tǒng)2、二自由度系統(tǒng)一階振型第1章 緒論一階振型二階振型3、三自由度第1章 緒論二階振型三階振型一階振型第1章 緒論3、結(jié)構(gòu)動力學(xué)的兩類問題（1） 正問題荷載結(jié)構(gòu)響應(yīng)（2） 反問題（動力學(xué)反演）響應(yīng)結(jié)構(gòu)荷載已知已知+荷載結(jié)構(gòu)已知已知+已知或未

2、知+第1章 緒論1.2 研究對象1、結(jié)構(gòu)彈性恢復(fù)力 fk(x)2、外力時變特性 fp(t)1.3 研究內(nèi)容1、結(jié)構(gòu)動力特性固有頻率、振型、阻尼2、結(jié)構(gòu)響應(yīng)位移、速度、加速度第1章 緒論1.4 研究方法1、時域法解析法、逐步積分法2、頻域法譜分析法3、概率法統(tǒng)計方法第2章 單自由度系統(tǒng)2.1 無阻尼系統(tǒng)模型圖2.1 典型的單自由度無阻尼系統(tǒng)動力學(xué)模型 m kx m kx m kx m mg2.1.1 系統(tǒng)力學(xué)模型彈簧質(zhì)量系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)圖2.2 電視塔圖2.1 水塔圖2.3 導(dǎo)管架平臺第2章 單自由度系統(tǒng)圖2.4 單層廠房第2章 單自由度系統(tǒng)1、系統(tǒng)組成慣性元件（質(zhì)量m）運動物體彈性元件

3、（剛度k）提供恢復(fù)力2、系統(tǒng)特點慣性元件為質(zhì)點彈性元件為無質(zhì)量彈簧不計次要自由度第2章 單自由度系統(tǒng)2.1.2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型二階常系數(shù)線性微分方程 m kxf(t)（1）mg m kxf(t)f(t)是干擾力彈簧恢復(fù)力f=kx 慣性力mx平衡時出現(xiàn)這樣的狀況第2章 單自由度系統(tǒng)2.1.3 系統(tǒng)動力特性（該系統(tǒng)的固有頻率振型和阻尼等）設(shè)：二階線性齊次微分方程則：無載荷狀態(tài)下的第2章 單自由度系統(tǒng)解得：單位：rad/s 系統(tǒng)固有頻率固有頻率只于系統(tǒng)的質(zhì)量m和剛度k有關(guān)單位：Hz單位：s 系統(tǒng)固有周期K是等效剛度M是等效質(zhì)量第2章 單自由度系統(tǒng)2.1.4 固有頻率計算1、直接法ml簡支梁問題第2章

4、單自由度系統(tǒng)有材料力學(xué)中的的得到的 E是彈性模量第2章 單自由度系統(tǒng) m kx彎曲變形剪切變形懸臂梁問題彎曲變形剪切變形第2章 單自由度系統(tǒng)彎曲頻率剪切頻率第2章 單自由度系統(tǒng)圖2.5 框架的剪切變形第2章 單自由度系統(tǒng)擺問題 mg a mk m mgl第2章 單自由度系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)理論力學(xué)中對J 有說明第2章 單自由度系統(tǒng)k1k2m組合問題?彈簧串聯(lián)與電阻相反第2章 單自由度系統(tǒng)ml彈簧并聯(lián)第2章 單自由度系統(tǒng)2、能量法（瑞雷-里茲法）k1k2l2l1lm2m1第2章 單自由度系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)等效剛度等效質(zhì)量第2章 單自由度系統(tǒng)2.2 有阻尼系統(tǒng)模型2.2.1 系統(tǒng)力學(xué)模型

5、mkc圖2.6 典型的單自由度有阻尼系統(tǒng)動力學(xué)模型 m kxcx第2章 單自由度系統(tǒng)2.2.2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（2）f(t)mkcx2.2.3 系統(tǒng)動力特性設(shè)：都是利用直接平衡法來建立的方程二階常微分方程的求解其解也必定是下面所設(shè)的一樣第2章 單自由度系統(tǒng)1、過阻尼系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)3、小阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系數(shù)2、臨界阻尼系統(tǒng)W是固有頻率第2章 單自由度系統(tǒng)阻尼比C是系統(tǒng)的阻尼，cc是臨界阻尼第2章 單自由度系統(tǒng)有阻尼頻率有阻尼周期第2章 單自由度系統(tǒng)2.3 自由振動問題1、運動方程初速度初位移2、初始條件t=02.3.1 無阻尼系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)3、解的形式第2章 單自由度系統(tǒng)振幅初

6、相位4、振幅C和初相位振幅初相位第2章 單自由度系統(tǒng)txx0圖2.7 無阻尼系統(tǒng)自由振動位移曲線第2章 單自由度系統(tǒng)t圖2.8 無阻尼系統(tǒng)自由振動速度曲線第2章 單自由度系統(tǒng)圖2.9 無阻尼系統(tǒng)自由振動加速度曲線t第2章 單自由度系統(tǒng)2.3.2 有阻尼系統(tǒng)1、運動方程初速度初位移2、初始條件t=03、解的形式第2章 單自由度系統(tǒng)4、振幅C和初相位振幅初相位已知初始條件求二階線性微分方程的解第2章 單自由度系統(tǒng)tx圖2.10 有阻尼系統(tǒng)自由振動位移曲線最終的解第2章 單自由度系統(tǒng)5、阻尼比對數(shù)衰減率第2章 單自由度系統(tǒng)將Ai公式帶入第2章 單自由度系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)2.4 簡諧荷載的強迫振

7、動2.4.1 無阻尼系統(tǒng)設(shè)：1、運動方程2、解的形式帶入第2章 單自由度系統(tǒng)系統(tǒng)靜位移頻率比動力放大系數(shù)解得：w是固有頻率K是剛度載荷頻率與系統(tǒng)鼓固有頻率的比例表示最大振動位移與此（動力載荷的幅值作為靜力時所產(chǎn)生的）靜位移的比（動力載荷的幅值作為靜力時所產(chǎn)生的）靜位移其中：第2章 單自由度系統(tǒng)幅頻特性曲線幅度之比頻率之比阻尼比第2章 單自由度系統(tǒng) 初始條件：此處的A與上面的A不一樣，應(yīng)注意其區(qū)別第2章 單自由度系統(tǒng)2.4.2 有阻尼系統(tǒng)1、運動方程2、解的形式設(shè)：二階線性非線性微分方程的求解過程，整個求解過程都是高數(shù)的過程第2章 單自由度系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)其中：xst為動載荷幅值F0作用

8、下的靜位移頻率比阻尼比第2章 單自由度系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)動力放大系數(shù)3、幅頻特性第2章 單自由度系統(tǒng)阻尼計算共振點阻尼比計算帶寬法（半功率）阻尼比計算第2章 單自由度系統(tǒng)4、相頻特性第2章 單自由度系統(tǒng)相頻特性曲線第2章 單自由度系統(tǒng)例：利用激振器測量單層廠房，采用簡諧擾力激振，兩次測量 的結(jié)果為：解：第2章 單自由度系統(tǒng)等效質(zhì)量等效剛度第2章 單自由度系統(tǒng)+第2章 單自由度系統(tǒng)阻尼系數(shù)5、基礎(chǔ)運動問題mkcx第2章 單自由度系統(tǒng)設(shè)：第2章 單自由度系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)振幅第2章 單自由度系統(tǒng)Tr傳遞系數(shù)第2章 單自由度系統(tǒng)6、相對基礎(chǔ)的運動問題設(shè)：第2章 單自由度系統(tǒng)第2章 單自由

9、度系統(tǒng)傳遞系數(shù)第2章 單自由度系統(tǒng)例：汽車沿圖2-12所示路面行駛。速度v=20m/s，路面凹凸幅 值為3cm。假設(shè)路面不平度按照正弦規(guī)律變化，并且路面 正弦變化的波長l=12m，汽車質(zhì)量為2000kg，汽車的彈簧 剛度為39200N/m，阻尼比為0.4。計算汽車在此路面上 行駛時，底盤垂向振動幅值。第2章 單自由度系統(tǒng)解：第2章 單自由度系統(tǒng)2.5 周期荷載的強迫振動2.5.1 任意周期荷載的傅里葉級數(shù)表達式將周期函數(shù)用傅里葉級數(shù)表示成不同的項，然后這些項分別同前面的簡諧載荷作用下的強迫振動實質(zhì)就是在解二階線性微分方程，當是齊次時就是自由振動，當時非齊次時就是強迫振動第2章 單自由度系統(tǒng)(n

10、=1,2,)(n=1,2,)2.5.2 無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)設(shè)：第2章 單自由度系統(tǒng)則：其中：而：第2章 單自由度系統(tǒng)2.5.3 有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)（有阻尼就是有一次微分項，當沒有阻尼時就只有二此微分項）其中：設(shè)：第2章 單自由度系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)例：設(shè)單自由度系統(tǒng)受鋸齒波荷載（如圖）作用，系統(tǒng)的固有 周期與荷載的周期比為2:1，阻尼比為0.05，分別計算無阻 尼和有阻尼時的穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)。第2章 單自由度系統(tǒng)解：由題意知圖示荷載函數(shù)可表示為：n=0n=1,2,n=1,2,第2章 單自由度系統(tǒng)無阻尼響應(yīng)有阻尼響應(yīng)第2章 單自由度系統(tǒng)2.6 任意荷載的強迫振動2.6.1 系統(tǒng)對沖擊

11、荷載的響應(yīng)第2章 單自由度系統(tǒng)1、強迫振動階段（0t t1）2、自由振動階段（ t1 t ）第2章 單自由度系統(tǒng)荷載頻率低于結(jié)構(gòu)固有頻率（1）第2章 單自由度系統(tǒng)2.6.2 系統(tǒng)對任意荷載的響應(yīng)F(t)t第2章 單自由度系統(tǒng)1、無阻尼系統(tǒng)杜哈梅積分例：單自由度系統(tǒng)受三角形沖擊荷載F(t)=F0(1-t/t1)作用， t1為荷載持續(xù)時間。求最大位移和放大系數(shù)。解：當t t 1時，由杜哈梅積分得：（t t 1）第2章 單自由度系統(tǒng)（t t 1）第2章 單自由度系統(tǒng)當t t1時，第2章 單自由度系統(tǒng)2、有阻尼系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)2.6.3 杜哈梅積分的數(shù)值解法1、無阻尼系統(tǒng)其中：第2章 單自由度

12、系統(tǒng)2、有阻尼系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)2.6.4 逐步積分法1、增量方程系統(tǒng)增量方程第2章 單自由度系統(tǒng)2、Wilson-法第2章 單自由度系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)第2章 單自由度系統(tǒng)3、Newmark法線性加速度法平均加速度法無條件穩(wěn)定第2章 單自由度系統(tǒng)本章小結(jié)1、自由振動運動方程系統(tǒng)參數(shù)m質(zhì)量，系統(tǒng)慣性性質(zhì)k剛度，系統(tǒng)恢復(fù)力性質(zhì)c阻尼，系統(tǒng)耗能性質(zhì)物理參數(shù)第2章 單自由度系統(tǒng)固有（圓）頻率固有頻率固有周期阻尼比有阻尼頻率模態(tài)參數(shù)第2章 單自由度系統(tǒng)解的形式其中：振幅初相位對數(shù)衰減率第2章 單自由度系統(tǒng)2、強迫振動簡諧荷載其中：靜位移動力放大系數(shù)相位差第2章 單自由度系統(tǒng)基礎(chǔ)運動隔振問題其

13、中：傳遞系數(shù)相位差基礎(chǔ)位移第2章 單自由度系統(tǒng)相對基礎(chǔ)運動慣性傳感器其中：傳遞系數(shù)相位差基礎(chǔ)位移第2章 單自由度系統(tǒng)周期荷載任意荷載沖擊荷載強迫振動自由振動其中：振幅第2章 單自由度系統(tǒng)相位角脈沖荷載自由振動任意荷載杜哈梅積分第2章 單自由度系統(tǒng)逐步積分法系統(tǒng)增量方程第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3.1 系統(tǒng)模型3.1.1 力學(xué)模型k1k2k3m1m2m3m1m2m3k2c2k3c3k1c1x1x2x3f1(t)f2(t)f3(t)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3.1.2 數(shù)學(xué)模型第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)其中：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3.2 特征值問題3.2

14、.1 系統(tǒng)特征方程設(shè)：二階線性微分方程的解的形式第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)A有非零解的條件：特征方程1、特征方程的根：3.2.2 系統(tǒng)特征值第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)特征向量（振型）：系統(tǒng)特征對：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3.2.3 特征對的性質(zhì)1、特征根的性質(zhì)2、特征向量的性質(zhì)證明：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3.2.3 特征值的計算1、迭代法3、規(guī)格化特征向量最高階特征值計算第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)設(shè)：例：迭代矩陣第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)設(shè)：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)證明：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)其中：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)一階

15、特征值計算其中：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)例：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)證明：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)其中：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)2、逐階濾頻法Gram Schmidt法例：計算二階特征值第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)一次濾頻第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)二次濾頻第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)計算三階特征值其中：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3、Jacobi（雅可比）法條件：K和M是實對稱矩陣，且K是正定的令：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)則：其中：正交矩陣對角陣第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)例：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)設(shè)：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)

16、多自由度系統(tǒng)3.3 方程的解耦3.3.1 廣義坐標設(shè)：其中：物理坐標振型矩陣廣義坐標第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3.3.2 廣義坐標方程其中：模態(tài)質(zhì)量矩陣模態(tài)阻尼矩陣第i階模態(tài)質(zhì)量第i階模態(tài)阻尼系數(shù)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)模態(tài)剛度矩陣模態(tài)力向量第i階模態(tài)剛度第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)固有頻率模態(tài)阻尼模態(tài)力3.4 阻尼問題3.4.1 瑞雷阻尼第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3.4.2 常阻尼模型穩(wěn)態(tài)運動條件下：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3.5 強迫振動3.5.1 廣義坐標解第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)其中：傳遞函數(shù)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3.5.2 時程分析法第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章

17、串聯(lián)多自由度系統(tǒng)Wilson-法第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)Wilson- 法示意圖第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)線性加速度法常平均加速度法有條件穩(wěn)定線性系統(tǒng)無條件穩(wěn)定無條件穩(wěn)定Newmark-法第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3.6 耦合振動的應(yīng)用振動控制問題3.6.1 主、從系統(tǒng)的動力特性1、系統(tǒng)固有頻率第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)其中：質(zhì)量比頻率錯開系數(shù)設(shè)：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)2、系統(tǒng)耦合特性質(zhì)量比的影響頻率錯開系數(shù)的影響主從系統(tǒng)強烈耦合主從系統(tǒng)不耦合第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3.6.2 主、從系統(tǒng)的減振問題第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3

18、章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)本章小結(jié)：1、運動方程2、系統(tǒng)動力特性物理參數(shù)質(zhì)量矩陣第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)剛度矩陣阻尼矩陣第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)特征值問題特征方程固有頻率與振型第i階固有頻率第i階模態(tài)剛度第i階模態(tài)質(zhì)量第i階振型第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)標準化振型其中：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)3、系統(tǒng)阻尼問題瑞雷阻尼其中：常阻尼模型第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)4、廣義坐標方程模態(tài)質(zhì)量矩陣模態(tài)剛度矩陣其中：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第i階模態(tài)質(zhì)量第i階模態(tài)剛度模態(tài)阻尼矩陣式中：第i階模態(tài)阻尼第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)5、強迫振動問題廣義坐標解解析解時程分析法數(shù)值解第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)Wilson-法其中：第

19、3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)Newmark-法第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)其中：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng) m1 m2 kx1x2例1：寫出圖示系統(tǒng)以相對坐標表示的運動方程，并求系統(tǒng)固有頻率。令：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)或：其中：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)例2：求圖示二層框架的固有頻率和振型。第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)例3：求例2二層框架的強迫振動。 已知：設(shè)：代入得：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)解得：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：例4：求圖示結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)設(shè)：第3章 串聯(lián)多自由度系統(tǒng)解得：第3章 串聯(lián)多

20、自由度系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)4.1 直桿的軸向振動4.1.1 運動方程第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)4.1.2 等截面均質(zhì)直桿第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)其中：令：4.1.3 方程的解第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)4.1.4 頻率與振型1、邊界條件（兩端自由桿）第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)2、固有頻率第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)由：得：3、振型函數(shù)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)4、初始條件第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)例：一等截面均質(zhì)直桿兩端自由，初始時，兩端的壓縮變形量為。 求桿的運動狀態(tài)。第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)討論：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)4.1.5 任意直桿振型的正交性代入：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)得：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)同理：兩式相減得

21、：代入：得：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)4.2 圓截面直桿的扭轉(zhuǎn)振動第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)其中：4.3 高腹梁的剪切振動第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)代入上式得：等截面均質(zhì)梁第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)其中：4.4 梁的彎曲振動4.4.1 純彎曲振動1、運動方程第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)式中：代入上式得：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)等截面均質(zhì)梁2、動力特性設(shè)：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)其中：設(shè)：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)解得：則：由Eular公式：則：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)簡支梁固有頻率與振型第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)頻率方程：則：簡支梁純彎曲固有頻率：簡支梁純彎曲振型：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)簡支

22、梁純彎曲自由振動設(shè)：則：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)懸臂梁固有頻率與振型第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)解得頻率方程：解得前三階頻率：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)振型函數(shù)：由邊界條件：得：代入得：其中：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)3、克雷洛夫函數(shù)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)固端梁固有頻率與振型第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)解得前三階頻率：由邊界條件：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)得：代入得：其中：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)4、標準振型的正交性設(shè)：由虛功原理有：代入：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)整理得：5、純彎曲梁的強迫振動設(shè)：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)代入得：標準振型滿足：代入得：上式兩端乘 ，并積分第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)整理得：其中：引入阻尼：或：第4章

23、分布參數(shù)系統(tǒng)例1：求圖示簡支梁的強迫振動。 P ylx1x解：已知簡支梁振型函數(shù)振型力：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)振型質(zhì)量：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)例2：求圖示固端梁在簡諧荷載作用下的跨中振動。 yxl=240第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)令：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)4.4.2 考慮軸向力的彎曲振動M+dMQ+dQNNMQdydxP(x, t)fI第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)1、運動方程第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)2、動力特性設(shè)：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)其中：設(shè)：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)其中：例4：求軸向壓力作用下的簡支梁的固有頻率和振型。第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)代入：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)代入：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)由：得：振

24、型函數(shù)：解函數(shù)：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)4.4.3 Timoshenko梁的彎曲振動第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)1、運動方程式中：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)2、動力特性第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)設(shè)：設(shè)：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)4.4.4 連續(xù)體系的離散化令：1、動剛度矩陣第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)代入：得：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)2、傳遞矩陣場矩陣第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)解得：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)其中：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)場矩陣第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)點矩陣設(shè)：則：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)因此：點矩陣傳遞矩陣第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)其中：例：求兩端自由梁的頻率和振型第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)邊

25、界條件：頻率方程：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)例：求一端固定一端簡支梁的頻率和振型邊界條件：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)頻率方程：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)例：求串聯(lián)多自由度系統(tǒng)的傳遞矩陣第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)由彈簧平衡條件得：寫成矩陣形式：令：場矩陣第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)由質(zhì)點動平衡條件得：設(shè)：寫成矩陣形式：則：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)令：點矩陣傳遞矩陣：其中：傳遞矩陣：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)的固有頻率：邊界條件：代入得：展開第二式得：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)4.5 薄板的彎曲振動tOa bx y z4.5.1 薄板彎曲運動方程第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)1、應(yīng)力應(yīng)變分量薄板彎曲假定直法線假定xzzdx

26、O不計擠壓應(yīng)力剛性中面假定第4章 分布參數(shù)系統(tǒng) yx xy yxyzzyx y z應(yīng)力、應(yīng)變分量第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)2、彎曲運動方程應(yīng)變與位移關(guān)系（幾何方程）同理：由：得：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)積分得：由剛性中面假定得：則：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)應(yīng)力與位移關(guān)系（物理方程）第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)內(nèi)力與位移關(guān)系第4章 分布參數(shù)系統(tǒng) 其中：平衡條件第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)xyzO第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)略去高階小量得：同理可得：代入：得：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)將代入得：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)或：其中：4.5.2 簡支板固有頻率和振型1、邊界條件第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)由得：由得：2、固有頻率第4章 分

27、布參數(shù)系統(tǒng)設(shè)：其中：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)本章小結(jié)1、桿的軸向振動其中：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)分離變量：頻率方程振型方程振型函數(shù)：兩端自由桿：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)頻率方程：得：頻率：振型：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)2、梁的橫向振動橫向動力平衡截面彎矩平衡純彎曲振型方程：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)振型函數(shù)：橫向動力平衡截面彎矩平衡軸力影響振型方程：第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)振型函數(shù)：其中：橫向動力平衡Timshenko梁的橫向振動第4章 分布參數(shù)系統(tǒng)截面彎矩平衡由：得：第5章 離散多自由度系統(tǒng)第5章 離散多自由度系統(tǒng)第5章 離散多自由度系統(tǒng)第5章 離散多自由度系統(tǒng)5.1 系統(tǒng)自由度的表示方法5.1.1 結(jié)點自由度1、

28、平面問題系統(tǒng)自由度節(jié)點位移向量2、空間問題系統(tǒng)自由度節(jié)點位移向量第5章 離散多自由度系統(tǒng)5.2 桁架結(jié)構(gòu)的動力分析5.2.1 桿的剛度、質(zhì)量特性1、型函數(shù)由：積分得：第5章 離散多自由度系統(tǒng)代入桿端參數(shù)得：代入得：其中：型函數(shù)2、剛度矩陣由位移法方程第5章 離散多自由度系統(tǒng)令：則：由虛位移原理：設(shè)：第5章 離散多自由度系統(tǒng)代入得：同理可得：代入位移法方程第5章 離散多自由度系統(tǒng)寫成矩陣形式或其中：桿單元剛度矩陣第5章 離散多自由度系統(tǒng)3、質(zhì)量矩陣集中質(zhì)量矩陣慣性力方程第5章 離散多自由度系統(tǒng)令：則：令：由虛位移原理：則：第5章 離散多自由度系統(tǒng)令：由虛位移原理：則：同理：第5章 離散多自由度系

29、統(tǒng)展開得：或其中：集中質(zhì)量矩陣第5章 離散多自由度系統(tǒng)一致質(zhì)量矩陣令：令：由虛位移原理：同理：第5章 離散多自由度系統(tǒng)第5章 離散多自由度系統(tǒng)其矩陣形式或一致質(zhì)量矩陣其中：第5章 離散多自由度系統(tǒng)5.2.2 平面桁架的動力分析1、桁架結(jié)構(gòu)的受力特點2、坐標變換第5章 離散多自由度系統(tǒng)矩陣形式或：其中：第5章 離散多自由度系統(tǒng)則：或單元局部坐標方程：其中：3、整體坐標方程第5章 離散多自由度系統(tǒng)單元整體坐標方程：將代入得：左乘變換矩陣得：第5章 離散多自由度系統(tǒng)其中：系統(tǒng)運動方程：其中：第5章 離散多自由度系統(tǒng)代入單元整體坐標方程得：整理得：其中：第5章 離散多自由度系統(tǒng)例：求圖示平面桁架的固有頻率和振型13213