1、2021屆步步高數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義(文科)第四章-42021屆步步高數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義(文科)第四章-4最新考綱以利用正弦、余弦定理解三角形為主，常與三角恒等變換、三角形中的幾何計(jì)算交匯考查，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識.題型多樣，中檔難度.考情考向分析1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的 實(shí)際問題.最新考綱以利用正弦、余弦定理解三角形為主，常與三角恒等變換、基礎(chǔ)落實(shí)回扣基礎(chǔ)知識訓(xùn)練基礎(chǔ)題目題型突破典題深度剖析重點(diǎn)多維探究課時精練內(nèi)容索引INDEX基礎(chǔ)落實(shí)回扣基礎(chǔ)知識訓(xùn)練基礎(chǔ)題目題型突破典題深度剖析

2、重點(diǎn)回扣基礎(chǔ)知識訓(xùn)練基礎(chǔ)題目基礎(chǔ)落實(shí)回扣基礎(chǔ)知識訓(xùn)練基礎(chǔ)題目基礎(chǔ)落實(shí)1.正弦定理、余弦定理知識梳理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(2)a2 ；b2 ；c2_b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C1.正弦定理、余弦定理知識梳理在ABC中，若角A，B，C所變形(3)a2Rsin A，b ，c ；(5)abc ；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A ；cos B ；cos C_sin Asin Bsin C2Rsin B2Rsin C變

3、形(3)a2Rsin A，(7)cos A 2.三角形常用面積公式2.三角形常用面積公式3.測量中的有關(guān)幾個術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角的范圍是0能否推出sin sin ？在ABC中，AB是否可推出sin Asin B?概念方法微思考提示第一象限的角不能推出sin sin .在ABC中，由AB可推出sin Asin B.1.若角，在第一象限，能否推出sin sin 2.在ABC中，已知a

4、，b和銳角A，討論a，b，sin A滿足什么條件時，三角形無解，有一解，有兩解.提示圖形關(guān)系式absin Absin Aa0時，ABC為銳角三角形.()(4)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積.()基礎(chǔ)自測題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?基礎(chǔ)自題組二教材改編2.在ABC中，acos Abcos B，則這個三角形的形狀為_ .等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形.題組二教材改編2.在ABC中，acos Abcos B3.

5、在ABC中，A60，AC4，BC2 ，則ABC的面積為 .3.在ABC中，A60，AC4，BC2 4.已知ABC的三邊之比為357，則其最大的內(nèi)角為 .解析由三邊之比為abc357，可設(shè)a3k，b5k，c7k(k0)，C為最大內(nèi)角，4.已知ABC的三邊之比為357，則其最大的內(nèi)角為 題組三易錯自糾5.在ABC中，已知b40，c20，C60，則此三角形的解的情況是A.有一解 B.有兩解C.無解 D.有解但解的個數(shù)不確定角B不存在，即滿足條件的三角形不存在.題組三易錯自糾角B不存在，即滿足條件的三角形不存在.6.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a，3sin A5sin

6、B，則C .解析由3sin A5sin B及正弦定理，得3a5b.6.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若典題深度剖析重點(diǎn)多維探究題型突破典題深度剖析重點(diǎn)多維探究題型突破利用正弦、余弦定理解三角形題型一師生共研75解析如圖，由正弦定理，又cb，B45，A180604575.利用正弦、余弦定理解三角形題型一師生共研75解析如圖，由(2)如圖所示，在ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且ABAD,2AB BD，BC2BD，則sin C的值為 .(2)如圖所示，在ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且ABAD2021屆步步高數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義(文科)第四章-4(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知

7、三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.思維升華SI WEI SHENG HUA(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC11正弦定理、余弦定理的應(yīng)用題型二多維探究命題點(diǎn)1判斷三角形的形狀例2(1)在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C

8、所對的邊，若a2bcos C，則此三角形一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形正弦定理、余弦定理的應(yīng)用題型二多維探究命題點(diǎn)1判斷三角形的因此a2a2b2c2，得b2c2，于是bc，從而ABC為等腰三角形.方法二由正弦定理可得sin A2sin Bcos C，因此sin(BC)2sin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，于是sin(BC)0，因此BC0，即BC，故ABC為等腰三角形.因此a2a2b2c2，得b2c2，于是bc，(2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Bas

9、in A，則ABC的形狀為A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定解析由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，(2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若本例(1)中，若將條件變?yōu)閍bcos C，判斷ABC的形狀.引申探究1解abcos C，sin Asin Bcos C，sin(BC)sin Bcos C，cos Bsin C0，sin C0，cos B0.ABC為直角三角形.本例(1)中，若將條件變?yōu)閍bcos C，判斷AB

10、C的形本例(2)中，若將條件變?yōu)閍2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判斷ABC的形狀.引申探究2又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC為等邊三角形.本例(2)中，若將條件變?yōu)閍2b2c2ab，且2cos命題點(diǎn)2三角形面積的計(jì)算例3(2020四川聯(lián)合診斷考試)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)cos B ，且B為銳角.(1)求B；命題點(diǎn)2三角形面積的計(jì)算又ABC，因?yàn)锽為銳角，所以2B(0，)，又ABC，因?yàn)锽為銳角，所以2B(0，)，(2)若b1，求ABC面積的最大值.因?yàn)閍2c22ac，(2)若b1，求ABC面積

11、的最大值.因?yàn)閍2c22a命題點(diǎn)3求解平面圖形問題命題點(diǎn)3求解平面圖形問題(1)AE的長；AE1.(1)AE的長；AE1.解BEBC，BCEBEC，sinBCEsinBECsinAEC，解BEBC，BCEBEC，(1)三角形面積計(jì)算問題要適當(dāng)選用公式，可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化.(2)判斷三角形形狀的方法化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系.化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時要注意應(yīng)用ABC這個結(jié)論.(3)求解幾何計(jì)算問題要注意根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示.選擇在某個三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理.思維升華SI WEI SHENG HUA(1)三角形面積計(jì)算問

12、題要適當(dāng)選用公式，可以根據(jù)正弦定理和余跟蹤訓(xùn)練2(1)在ABC中， (a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則ABC的形狀為A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC為直角三角形.跟蹤訓(xùn)練2(1)在ABC中， (2)(2018全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC的面積為 ，則C等于sin Ccos C，即tan C1.(2)(2018全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別(3)(2020貴陽一中適應(yīng)性考試)如圖，在平面四邊形ABCD中，ADCD，ABAC，AB解在RtABC中，ACABtanABC2.

13、所以CAD60，所以ADACcosCAD1.在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcosBAD19，(3)(2020貴陽一中適應(yīng)性考試)如圖，在平面四邊形AB若AC2，ADB30，求sinCAD的值.若AC2，ADB30，求sinCAD的值.解設(shè)CAD，則ABD60，AD2cos ，解設(shè)CAD，則ABD60，AD2cos 一、測量距離問題解三角形應(yīng)用舉例核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象例1(1)如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測出A，B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，若測得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，則A，B兩點(diǎn)間的距離為 km.一、測

14、量距離問題解三角形應(yīng)用舉例核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象例1(1解析ADCADBCDB60，ACD60，在BCD中，DBC180CDBACDACB45，在ABC中，由余弦定理，解析ADCADBCDB60，ACD60(2)如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點(diǎn)之間的距離，選擇山坡上一段長度為300 m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點(diǎn)作為觀測點(diǎn)，現(xiàn)測得PAB90，PAQPBAPBQ60，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為 m.900解析由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB為公共邊，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APABtan 60900(m)，故PQ900

15、 m，P，Q兩點(diǎn)間的距離為900 m.(2)如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點(diǎn)之間的距離，選擇山坡二、測量高度問題例2如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為30，45，且A，B兩點(diǎn)間的距離為60 m，則樹的高度為 m.二、測量高度問題解析在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30解析在PAB中，PAB30，APB15，AB三、測量角度問題例3已知島A南偏西38方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/小時的速度向島北偏西22方向行駛，

16、問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？三、測量角度問題解如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為x海里/小時，結(jié)合題意知BC0.5x，AC5，BAC1803822120.由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故緝私艇以14海里/小時的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船.解如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，素養(yǎng)提升SU YANG TI SHENG數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對

17、象的思維過程，主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.從實(shí)際問題中抽象出距離、高度、角度等數(shù)學(xué)問題，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).素養(yǎng)提升SU YANG TI SHENG數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物課 時 精 練課 時 精 練基礎(chǔ)保分練123456789101112131415161.在ABC中，若AB ，BC3，C120，則AC等于A.1 B.2 C.3 D.4解析設(shè)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，由余弦定理得139b23b，解得b1或b4(

18、舍去)，即AC1.基礎(chǔ)保分練123456789101112131415161.12345678910111213141516ba，B60或120.12345678910111213141516ba，12345678910111213141516解析由cos 2Asin A，得12sin2Asin A，3.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos 2Asin A，bc2，則ABC的面積為12345678910111213141516解析由cos123456789101112131415164.ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，則A

19、等于解析由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1，又0A0)，則c3k.123456789101112131415165.(20206.(2019全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A 等于A.6 B.5 C.4 D.3解析asin Absin B4csin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.123456789101112131415166.(2019全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為47.設(shè)

20、ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2，cos C3sin A2sin B，則c .解析由3sin A2sin B及正弦定理，得3a2b，1234567891011121314151647.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a123456789101112131415168.(2019全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b6，a2c，B ，則ABC的面積為 .123456789101112131415168.(201912345678910111213141516所以由余弦定理b2a2c22accos B，所以由余弦定理b2a2c22accos

21、B，12345678910111213141516所以由余弦定理1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415169.如圖所示，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75，從C點(diǎn)測得MCA60，已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N m.150123456789101112131415169.如圖所示，12345678910111213141516故MN150，即山高M(jìn)N為150 m.12345678910111213141516故M

22、N15012345678910111213141516(2，)12345678910111213141516(2，)a2c2b22accos B.12345678910111213141516a2c2b22accos B.1234567891012345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151611.(2019全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；解由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc，因?yàn)?A180，所以A60.1234567891011121314151611.(201解由(1)知B120C，故sin Csin(C6060)12345678910111213141516解由(1)知B120C，故sin Csin(C6(1)求角A；12345678910111213141516(1)求角A；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求AC邊上的高.解在ABC中，