1、名師精編 優(yōu)秀教案高三數(shù)學其次輪復習教案第 2 講 數(shù)列問題的題型與方法一、考試內(nèi)容數(shù)列； 等差數(shù)列及其通項公式,等差數(shù)列前n 項和公式； 等比數(shù)列及其通項公式,等比數(shù)列前 n 項和公式；二、考試要求1懂得數(shù)列的概念,明白數(shù)列通項公式的意義,明白遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能依據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；2懂得等差數(shù)列的概念,把握等差數(shù)列的通項公式與前n 項和公式, 并能運用公式解答簡潔的問題；把握等比數(shù)列的通項公式與前n 項和公式, 并能運用公式解決3懂得等比數(shù)列的概念,簡潔的問題；三、復習目標1 能敏捷地運用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前 2能嫻熟地求一些特別數(shù)列的通項和

2、前 n 項的和；n 項和公式解題；3使同學系統(tǒng)把握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律,深化數(shù)學思想方法在解題實 踐中的指導作用,敏捷地運用數(shù)列學問和方法解決數(shù)學和實際生活中的有關問題；4通過解決探干脆問題,進一步培育同學閱讀懂得和創(chuàng)新才能,綜合運用數(shù)學思想方 法分析問題與解決問題的才能5在解綜合題的實踐中加深對基礎學問、基本技能和基本數(shù)學思想方法的熟悉,溝通 各類學問的聯(lián)系,形成更完整的學問網(wǎng)絡,提高分析問題和解決問題的才能6培育同學善于分析題意,富于聯(lián)想,以適應新的背景,新的設問方式,提高同學用 函數(shù)的思想、 方程的思想爭論數(shù)列問題的自覺性、培育同學主動探究的精神和科學理性的思維方法四、雙基透

3、視1 可以列表復習等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關公式和性質(zhì) . 2判定和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：1定義法： 對于 n2 的任意自然數(shù), 驗證anan1an/an1為同一常數(shù)；2通項公式法：如 = +（n-1 ）d= +（n-k ）d ,就 a n 為等差數(shù)列；如,就 a n 為等比數(shù)列；3 中項公式法 ：驗證 都成立；3. 在等差數(shù)列 a n 中, 有關 Sn 的最值問題常用鄰項變號法求解：1 當 0,d0 時,滿意 的項數(shù) m使得 取最大值 . 2 當 0 時,滿意 的項數(shù) m使得 取最小值；在解含肯定值的數(shù)列最值問題時 , 留意轉(zhuǎn)化思想的應用；名師精編 優(yōu)秀教案4. 數(shù)列求

4、和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等；五、留意事項1證明數(shù)列a n是等差或等比數(shù)列常用定義,即通過證明an1a nana n1或a nn1a n1而得；aa n是常用的方法,但有時敏捷2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關問題時,“ 基本量法”地運用性質(zhì),可使運算簡便；3對于一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解；4留意一些特別數(shù)列的求和方法；5留意ns 與a 之間關系的轉(zhuǎn)化；如：a 1kn2aka k1a = s 1,s n1,n1,a =s nn26數(shù)列極限的綜合題形式多樣,解題思路敏捷,但萬變不離其宗,就是離不開數(shù)列極 限的概念和性質(zhì),離不開數(shù)學思想方法,只要能把握這兩

5、方面,就會快速打通解題思路7解綜合題的成敗在于審清題目,弄懂來龍去脈,透過給定信息的表象,抓住問題的 本質(zhì),揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件,明確解題方向,形成解題策略8通過解題后的反思,找準自己的問題,總結勝利的體會,吸取失敗的教訓,增強解 綜合題的信心和士氣,提高分析問題和解決問題的才能數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,又是學習高等數(shù)學的基礎,所以在高考中占有重要的地位；高考對本章的考查比較全面,等差數(shù)列,等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏；解答題多 為中等以上難度的試題,突出考查考生的思維才能,解決問題的才能,試題大多有較好的區(qū)分度；有關數(shù)列的試題常常是綜合題,常常把數(shù)列學問和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式

6、的學問綜合起來,試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列,求極限和數(shù)學歸納法綜合在一起；探干脆問題是高考的熱點,常在數(shù)列解答題中顯現(xiàn)；本章中仍包蘊著豐富的數(shù)學思想,在主 觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類爭論等重要思想,以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學方法；應用問題考查的重點是現(xiàn)實客觀事物的數(shù)學化,常需構造數(shù) 列模型,將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決；六、范例分析例 1已知數(shù)列 a n 是公差 d 0 的等差數(shù)列,其前 n 項和為 S n2過點 Q 1 1,a1 ,Q 2 2,a 2 作直線 12,設 l 1與 l2的夾角為 ,證明： 1由于等差數(shù)列 a n 的公差 d 0,所以Kp 1 p

7、 k是常數(shù) k=2 ,3, , n2直線 l 2的方程為 y-a1=dx-1 ,直線 l 2的斜率為 d例 2已知數(shù)列a n中,名師精編優(yōu)秀教案4 a n2n1,2,a 11,S 是其前 n 項和,并且S n1設數(shù)列b nan12 ann,1 2 ,求證：數(shù)列b n是等比數(shù)列；n2設數(shù)列c nan,n,1 ,2,求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；2n求數(shù)列a n的通項公式及前n 項和；分析 ：由于 b n 和c n 中的項都和 a n 中的項有關, a n 中又有 Sn1=4a n +2,可由 Sn1-Sn1作切入點探究解題的途徑解：1由 Sn1=4an2,Sn2=4an1+2,兩式相減, 得 Sn2

8、-Sn1=4an1-a n ,即 an2=4a-4a n依據(jù) bn的構造,如何把該式表示成bn1與 b n 的關系是證明的關鍵,留意加強恒等變形才能的訓練 an2-2an1=2an1-2a n ,又 b n =an1-2a n,所以 bn1=2b n已知 S 2 =4a 1+2,a1 =1,a 1+a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1=3由和得,數(shù)列b n 是首項為 3,公比為 2 的等比數(shù)列,故b n =32n1當 n2 時, S n =4an1+2=2n13n-4+2 ；當 n=1 時, S1 =a 1 =1 也適合上式n 1綜上可知,所求的求和公式為

9、 S n =2 3n-4+2 說明： 1本例主要復習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差,等比數(shù)列,求數(shù)列通項與前n項和；解決此題的關鍵在于由條件 S n 1 4 a n 2 得出遞推公式；2解綜合題要總攬全局,特別要留意上一問的結論可作為下面論證的已知條件,在后面求解的過程中適時應用例 3已知數(shù)列 a n 是首項 a10,q-1 且 q 0 的等比數(shù)列,設數(shù)列 b n 的通項 b n =a n 1-ka n 2 nN,數(shù)列 a n 、b n 的前 n 項和分別為 S n, Tn假如 TnkSn對一切自然數(shù) n 都成立,求實數(shù) k 的取值范疇分析 ：由探尋 T n 和 S n 的關系入手謀

10、求解題思路；名師精編優(yōu)秀教案n 都成立解： 由于 a n 是首項 a10,公比 q-1 且 q 0 的等比數(shù)列,故a n 1 =a nq,a n 2 =a nq 2 所以 b n =a n 1-ka n 2 =a n q-kq 2 T n =b 1+b 2 + +b n =a 1 +a 2 + +a n q-kq 2 =S n q-kq 2 依題意,由 T n kS n ,得 S n q-kq 2 kS n ,對一切自然數(shù)當 q0 時,由 a10,知 a n 0,所以 S n 0；當-1q0 時,由于 a10, 1-q0,1-q n 0,所以 S n =綜合上面兩種情形,當q-1 且 q 0

11、時, S n 0 總成立由式可得q-kq2k,例 42022 年全國理 從社會效益和經(jīng)濟效益動身,某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設,并以此進展旅行產(chǎn)業(yè) . 依據(jù)規(guī)劃,本年度投入 800 萬元,以后每年投入將比上年削減 1 . 本年度5當?shù)芈眯袠I(yè)收入估量為 400 萬元,由于該項建設對旅行業(yè)的促進作用,估量今后的旅行業(yè)收入每年會比上年增加 1； 設 n 年內(nèi) 本年度為第一年 總投入為 an萬元,旅行業(yè)總收入4為 bn 萬元 . 寫出 an,bn 的表達式 至少經(jīng)過幾年旅行業(yè)的總收入才能超過總投入 . 解析： 第 1 年投入 800 萬元,第 2 年投入 800 （ 1-）萬元 ,第 n 年投入 80

12、0 （ 1）n1 萬元）n所以總投入an800800（1） 800 （1）n 140001（同理：第1 年收入 400 萬元,第2 年收入 400 （ 1）萬元, ,第 n 年收入 400 （ 1）n1 萬元bn400400 （ 1） 400 （1）n11600 （）n12 bnan0,1600（）n14000 1（）n 0化簡得, 5 （）n2 （）n 70設 x（）n,5x 2 7x20名師精編優(yōu)秀教案即（）n,n5.x,x1（舍 說明： 此題主要考查建立函數(shù)關系式,數(shù)列求和,不等式等基礎學問,考查綜合運用數(shù)學知識解決實際問題的才能；解數(shù)學問題應用題重點在過好三關：（1）事理關：閱讀懂得,

13、知道命題所表達的內(nèi)容；（2）文理關：將“ 問題情形” 中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,用數(shù)學關系式表述大事；（3）數(shù)理關：由題意建立相關的數(shù)學模型,將實際問題數(shù)學化,并解答這一數(shù)學模型,得出符合實際意義的解答；例 5設實數(shù)a0,數(shù)列a n是首項為 a ,公比為a 的等比數(shù)列,記n anlg|a|b nan1 g|a n|nN*,S nb 1b 2b n,求證：當a1時,對任意自然數(shù)n 都有S =alga11 n1 1nna 1a2解：ana 1qn1aan11 n1an；n1nab nanlg|an|1 n1anlg|1n1an|1 n1nanlg|a|S nalg|a|2a2lg|a|3a3lg

14、|a|1 n2n1 an1lg|a|1a2 a23 a31n2n1 an11 n1nanlg|a|記Sa2 a23 3 a1n2n1an11n1nanasa22 a31 n3 n2 an11 n2n1an1n1nan1+得 1a sa2 aa31n2an11 n2an1n1nan1a1,1a San 11n a1n 11n an11 1a Sa1 n1an1 1a1 n1nan11a2Sa 1nna1n1an1a 11nna1 n1an1a21a2S nalg|a|11 n1 1nnaan1a 2說明 ：本例主要復習利用錯位相減解決差比數(shù)列的求和問題；關鍵是先爭論通項,確定Cna nb n,a

15、 n是等差數(shù)列,b n等比數(shù)列；解法一 ：設等差數(shù)列 a n 的首項 a 1=a,公差為 d,就其通項為名師精編 優(yōu)秀教案依據(jù)等比數(shù)列的定義知 S 5 0,由此可得一步加工,有下面的解法 解法二：依題意,得例 7設二次方程a x2 -a +1x+1=0n N 有兩根 和 ,且滿意 6 -2 +6 =31試用a 表示 an1；例 8在直角坐標平面上有一點列P 1名師精編P 2優(yōu)秀教案,P nx n,yn,對一切正整數(shù) n ,x 1,y 1,x 2,y 2點 P 位于函數(shù) n y 3x 13的圖象上, 且 P 的橫坐標構成以 n 5 為首項,1為公差的等差4 2數(shù)列 x n；求點 P 的坐標；n設

16、拋物線列 c 1 , c 2 , c 3 , , c n , 中的每一條的對稱軸都垂直于 x 軸,第 n 條拋物線 c n的頂點為 P ,且過點 Dn ,0 n 21,記與拋物線 nc 相切于 D 的直線的斜率為 k ,求：1 1 1；k 1 k 2 k 2 k 3 k nk n設 S x | x 2 x n , n N , n 1 , T y | y 4 y n , n 1,等差數(shù)列 a n 的任一項an S T,其中 a 是 S T 中的最大數(shù),265 a 10 125,求 a n 的通項公式；5 3解：（1）x n n 1 1 n2 213 5 3 5y n 3 x n 3 n , P n n , 3 n 4 4 2 4（2）c 的對稱軸垂直于 x 軸,且頂點為 P . 設 c 的方程為：y a x 2 n 3 2 12 n 5,2 4把 Dn ,0 n 21 代入上式,得 a 1,c 的方程為：y x 2 2 n 3 x n 21；kny|x02n3,kn1kn名師精編2優(yōu)秀教案121113112 n1 n3 2n2 n