1、理論力學(xué)十四虛位移原理第1頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四廣義坐標(biāo)與自由度yxOlA(x, y)yxOA(x1, y1)B(x2, y2)ab廣義坐標(biāo) 確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。第2頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四廣義坐標(biāo) 確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變。用 q1，q2，表示。自 由 度 在完整約束條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。對(duì)于穩(wěn)定的完整約束，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫成廣義坐標(biāo)的函數(shù)形式N=3ns 第3頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四做變換其中 是廣義坐標(biāo)?？紤]如圖所示不計(jì)摩擦的二自由度系統(tǒng)，

2、參數(shù)定義坐標(biāo) 后，可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程：可得解耦的等價(jià)系統(tǒng)：它有更清晰的物理意義。第4頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四約 束物體運(yùn)動(dòng)所受到的限制1. 幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束yxOAA0l幾何約束在質(zhì)點(diǎn)系中，幾何約束只能限制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置或質(zhì)點(diǎn)系的位形。擺14-1 約束虛位移虛功第5頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四運(yùn)動(dòng)約束在質(zhì)點(diǎn)系中，所加的約束不僅限制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，還限制它們運(yùn)動(dòng)的速度。OyxAxByBxAyABvA圓輪只滾動(dòng)不滑動(dòng)的約束導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方向的約束COyxC*第6頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四2. 定常約束

3、與非定常約束定常約束約束方程中不顯含時(shí)間的約束：非定常約束約束方程中顯含時(shí)間的約束：yxvOM第7頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四3. 單側(cè)約束與雙側(cè)約束雙側(cè)約束（固執(zhí)約束） 約束方程可以寫成等式的約束。單側(cè)約束（非固執(zhí)約束） 約束方程不能寫成等式、但是可以寫成不等式的約束。BByxOyxO雙側(cè)約束單側(cè)約束第8頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四yxOyxOAAA0lA0l雙側(cè)約束單側(cè)約束第9頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四4. 完整約束與非完整約束完整約束 約束方程不包含質(zhì)點(diǎn)速度，或者包含質(zhì)點(diǎn)速度但約束方程是可以積分的

4、約束。非完整約束 約束方程包含質(zhì)點(diǎn)速度、且約束方程不可以積分的約束。第10頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四約束方程不可積分，所以導(dǎo)彈所受的約束為非完整約束。圓輪所受約束為完整約束。COyxC*OyxAxByBxAyABvA可以積分為：第11頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四虛位移xyOBAMF質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí)，為約束所允許的無限小位移虛位移（1）虛位移是假定約束不改變而設(shè)想的位移；（2）虛位移不是任何隨便的位移，它必須為約束所允許；（3）虛位移是一個(gè)假想的位移，它與實(shí)位移不同；（4）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。第12頁，共25頁，

5、2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 虛位移與實(shí)位移的區(qū)別和聯(lián)系（1）在完整定常約束下，實(shí)位移是諸多虛位移中的一個(gè)；MM1drdrerdr 實(shí)位移 r 虛位移實(shí)位移質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在其真實(shí)運(yùn)動(dòng)中，在一定的時(shí)間間 隔內(nèi)發(fā)生的位移。（2）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。第13頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四虛功 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功虛功。 W = F r 理想約束 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的約束反力在虛位移上所作的虛功等于零，我們把這種約束系統(tǒng)稱為理想約束。 W = M FNi ri = 0第14頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期

6、四FiFNim1m2mi riFi 主動(dòng)力FNi約束反力 ri虛位移Fi + FNi = 0Fi ri + FNi ri = 0Fi ri + FNi ri = 0FNi ri = 0 Fi ri = 0 對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零虛位移原理14-2 虛位移原理第15頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 Fi ri = 0 上式稱為虛位移原理的解析表達(dá)式 應(yīng)用虛位移原理解題時(shí)，主要是建立虛位移間的關(guān)系，通常采用以下方法： （1）通過運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，直接找出虛位移間的幾何關(guān)系； （2）建立坐標(biāo)系，選廣義坐標(biāo)，然

7、后仿照函數(shù)求微分的方法對(duì)坐標(biāo)求變分，從而找出虛位移（坐標(biāo)變分）間的關(guān)系。第16頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四已知：OA=r , AB=l, 不計(jì)各桿質(zhì)量。求： 平衡時(shí)F與M 間的關(guān)系。BAO解： 取系統(tǒng)為研究對(duì)象 Fi ri = 0 由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：MF例14-1第17頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四CBADM已知：菱形邊長為a , 求： 物體C所受到的壓力。螺距為h，頂角為2 ，主動(dòng)力偶為M.FNrArC解： (1) 取系統(tǒng)為研究對(duì)象(2) 建立虛位移間的關(guān)系例14-2第18頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四xy

8、CBADMFN解法二： 取建立圖示坐標(biāo)系第19頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四rCOABCDPQ圖示操縱汽門的杠桿系統(tǒng)，已知OA/OB = 1/3，求此系統(tǒng)平衡時(shí)主動(dòng)力P 和Q 間的關(guān)系。rBrA解： (1) 取系統(tǒng)為研究對(duì)象由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：例14-3第20頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四圖示系統(tǒng)中除連接H點(diǎn)的兩桿長度為l 外, 其余各桿長度均為 2l, 彈簧的彈性系數(shù)為k, 當(dāng)未加水平力 P 時(shí)彈簧不受力，且 = 0 ，求平衡時(shí)水平力P 的大小。解： (1) 建立圖示坐標(biāo)系(2) 系統(tǒng)的虛功方程例14-4第21頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四(2) 系統(tǒng)的虛功方程第22頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四求圖示連續(xù)梁的支座反力。PMqll2lABCD解： (1) 解除D處約束，代之以反力FD ，并將其視為主動(dòng)力。PMqABCDFDsEsD其中解得例14-5第23頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四(2) 解除B處約束，代之以反力FB ，并將其視為主動(dòng)力。FBsBsCPMqABCD其中解得sE由虛功方程