1、五年級(jí)快樂課程高斯的故事 德國(guó)著名大科學(xué)家高斯(17771855)出生在一個(gè)貧窮的家庭。高斯在還不會(huì)講話就自己學(xué)計(jì)算，在三歲時(shí)有一天晚上他看著父親在算工錢時(shí)，還糾正父親計(jì)算的錯(cuò)誤。 長(zhǎng)大后他成為當(dāng)代最杰出的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家。他在物理的電磁學(xué)方面有一些貢獻(xiàn)，現(xiàn)在電磁學(xué)的一個(gè)單位就是用他的名字命名。數(shù)學(xué)家們則稱呼他為“數(shù)學(xué)王子”?？柛ダ锏吕锵８咚?他八歲時(shí)進(jìn)入鄉(xiāng)村小學(xué)讀書。教數(shù)學(xué)的老師是一個(gè)從城里來的人，覺得在一個(gè)窮鄉(xiāng)僻壤教幾個(gè)小猢猻讀書，真是大材小用。而他又有些偏見：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子念書不必認(rèn)真，如果有機(jī)會(huì)還應(yīng)該處罰他們，使自己在這枯燥的生活里添一些樂趣。 這一天正是數(shù)

2、學(xué)教師情緒低落的一天。同學(xué)們看到老師那抑郁的臉孔，心里畏縮起來，知道老師又會(huì)在今天捉這些學(xué)生處罰了。 “你們今天替我算從1加2加3一直到100的和。誰算不出來就罰他不能回家吃午飯。”老師講了這句話后就一言不發(fā)的拿起一本小說坐在椅子上看去了。 教室里的小朋友們拿起石板開始計(jì)算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10”一些小朋友加到一個(gè)數(shù)后就擦掉石板上的結(jié)果，再加下去，數(shù)越來越大，很不好算。有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心、額上滲出了汗來。 還不到半個(gè)小時(shí)，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老師，答案是不是這樣？”老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說：“去，回去再算！錯(cuò)了?！彼氩豢赡苓@么快就會(huì)有

3、答案了?？墒歉咚箙s站著不動(dòng)，把石板伸向老師面前：“老師！我想這個(gè)答案是對(duì)的。”數(shù)學(xué)老師本來想怒吼起來，可是一看石板上整整齊齊寫了這樣的數(shù)：5050，他驚奇起來，因?yàn)樗约涸?jīng)算過，得到的數(shù)也是5050，這個(gè)8歲的小鬼怎么這樣快就得到了這個(gè)數(shù)值呢？ 高斯解釋他發(fā)現(xiàn)的一個(gè)方法，這個(gè)方法就是古時(shí)希臘人和中國(guó)人用來計(jì)算級(jí)數(shù)1+2+3+n的方法。高斯的發(fā)現(xiàn)使老師覺得羞愧，覺得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點(diǎn)是不對(duì)的。他以后也認(rèn)真教起書來，并且還常從城里買些數(shù)學(xué)書自己進(jìn)修并借給高斯看。在他的鼓勵(lì)下，高斯以后便在數(shù)學(xué)上作了一些重要的研究了。你知道高斯是如何計(jì)算的嗎？一、等差數(shù)列的基本知識(shí)（1）1、2

4、、3、4、5、6（2）2、4、6、8、10、12（3）5、10、15、20、25、30 像這樣按照一定規(guī)律排列成的一列數(shù)我們稱它為數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)；第1項(xiàng)稱為首項(xiàng)；最后1項(xiàng)稱為末項(xiàng)；在第幾個(gè)位置上的數(shù)就叫第幾項(xiàng)；有多少項(xiàng)稱為項(xiàng)數(shù)；（一）數(shù)列的基本知識(shí)（二）等差數(shù)列的基本知識(shí)（1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30 （公差=1）（公差=2）（公差=5） 通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)上面的每一個(gè)數(shù)列中，從第一項(xiàng)開始，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差都相等的，具有這樣特征的數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)差稱為這個(gè)數(shù)列的公差。二、等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列：1、3、5、

5、7、9、11第2項(xiàng)： 3=1+2 首項(xiàng)+公差1（2-1）第3項(xiàng)： 5=1+2 2 首項(xiàng)+公差2（3-1）第4項(xiàng)： 7=1+2 3 首項(xiàng)+公差3（4-1）第5項(xiàng)： 9=1+2 4 首項(xiàng)+公差4（5-1）第6項(xiàng)： 11=1+2 5 首項(xiàng)+公差5（6-1） 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)-1）等差數(shù)列的末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)-1）等差數(shù)列的首項(xiàng)=末項(xiàng)-公差（項(xiàng)數(shù)-1）適用條件：該數(shù)列一定要為等差數(shù)列等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)-1）例1 已知數(shù)列2、5、8、11、14求：（1）它的第10項(xiàng)是多少？ （2）它的第98項(xiàng)是多少？ （3）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同的余數(shù)？分析：

6、首項(xiàng)=2 公差=3解：（1）第10項(xiàng)： 2+3 （10-1）=29 （2）第98項(xiàng)： 2+3 （98-1）=293 等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)-1）例1 已知數(shù)列2、5、8、11、14求：（3）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同的余數(shù)？ 分析： 被除數(shù)=余數(shù)+除數(shù)商 等差數(shù)列的某一項(xiàng)= 2+ 3（項(xiàng)數(shù)-1） 規(guī)律： 等差數(shù)列的某一項(xiàng)與被除數(shù)相對(duì)應(yīng)，首項(xiàng)與余數(shù)相對(duì)應(yīng)，公差與除數(shù)相對(duì)應(yīng)，（項(xiàng)數(shù)-1）與商相對(duì)應(yīng)。 這個(gè)數(shù)列每1項(xiàng)除以3都余2。 等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。答：這個(gè)數(shù)列第10項(xiàng)是29；第98項(xiàng)是293；這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)除以3余數(shù)相同。 例2 已知數(shù)列2、5、8、11、14、17，

7、這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)。分析：第2項(xiàng)比首項(xiàng)多1個(gè)公差，第3項(xiàng)比首項(xiàng)多2個(gè)公差，第4項(xiàng)比首項(xiàng)多3個(gè)公差，那第n項(xiàng)比首項(xiàng)多（n-1)個(gè)公差。規(guī)律：末項(xiàng)比首項(xiàng)多的公差的個(gè)數(shù)，再加上1，就得到這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。 等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)= 公差個(gè)數(shù) + 1 =（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差 + 1這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)= （17-2）3+1=6小結(jié)：等差數(shù)列項(xiàng)的有關(guān)規(guī)律等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)-1）等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差+1練習(xí)1、一串?dāng)?shù)：1、3、5、7、9、49。（1）它的第21項(xiàng)是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？2、一串?dāng)?shù)：2、4、6、8、2008。（1）它的第25項(xiàng)是多少?

8、（2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？3、一串?dāng)?shù)：101、102、103、104、199。（1）它的第30項(xiàng)是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？4、一串?dāng)?shù)：7、12、17、22。（1）它的第60項(xiàng)是多少?（2）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同的余數(shù)？練習(xí)答案：1、它的第21項(xiàng)=1+2（21-1）=41； 這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)= （49-1）2+1=25；2、它的第25項(xiàng)=2+2（25-1）=50； 這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)= （2008-2）2+1=1004；3、它的第30項(xiàng)=101+1（30-1）=130； 這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)= （199-101）1+1=994、它的第60項(xiàng)=7+5（60-1）=302； 這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被5除有相同的余數(shù)

9、。（提示：等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。）二、等差數(shù)列的和意大利數(shù)學(xué)家斐波那契 經(jīng)過12世紀(jì)的傳播時(shí)期之后，初等數(shù)學(xué)在歐洲獲得了相應(yīng)的發(fā)展在13世紀(jì)歐洲大多數(shù)國(guó)家里，城市成為商業(yè)和手工業(yè)發(fā)展的中心特別是商業(yè)的發(fā)展，帶來了相當(dāng)復(fù)雜的計(jì)算這時(shí)的歐洲出現(xiàn)了第一批理論數(shù)學(xué)家意大利作為當(dāng)時(shí)的商業(yè)中心，培育了中世紀(jì)最杰出的教學(xué)家斐波那契。 斐波那契是一個(gè)商人的兒子，早年隨父到過北非，跟從阿拉伯教師學(xué)習(xí)計(jì)算。后來到埃及、敘利亞、希臘、西西里和法國(guó)旅游，拜訪各地的學(xué)者，熟悉了不同國(guó)家在商業(yè)上使用的算術(shù)體系。 經(jīng)過研究和比較，他認(rèn)為其他數(shù)系無一能與印度阿拉伯?dāng)?shù)系相媲美。斐波那契于1200年回到家鄉(xiāng)，把

10、在各地學(xué)得的數(shù)學(xué)知識(shí)加以總結(jié)，寫成算盤書這是向西歐介紹印度阿拉伯?dāng)?shù)系和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的最早的著作。這本書的開頭介紹了一些算盤知識(shí)，而后卻偏離了這一課題。因此，書名中“算盤”一詞已失去它作為計(jì)算工具的本意，而應(yīng)理解為“算術(shù)”或由印度阿拉伯?dāng)?shù)系而產(chǎn)生的“算法”。斐波那契大量吸收并系統(tǒng)地總結(jié)了來自阿拉伯文獻(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，改進(jìn)了歐氏幾何的某些技巧，歸納了同種類型的方法和習(xí)題。在算術(shù)和一、二次方程的代數(shù)學(xué)方面，已成為中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)之典范。 假定每對(duì)大兔每月能生一對(duì)小兔，每對(duì)小兔生長(zhǎng)兩個(gè)月就成大兔，問在不發(fā)生死亡的條件下，由一對(duì)小兔開始，一年之后可繁殖成多少對(duì)兔子？這個(gè)問題使斐波那契名垂史冊(cè)問題的答案由下列和式

11、給出：112358233 其中從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和。這個(gè)數(shù)列現(xiàn)稱斐波那契數(shù)列，這是在歐洲最早出現(xiàn)的遞歸數(shù)列，它有許多重要而有趣的性質(zhì)，在以后的近800年中一直是許多學(xué)者研究的對(duì)象。 斐波那契數(shù)列例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38分析：這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=6，末項(xiàng)=38，公差=4原數(shù)列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38倒過來的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6 44 44 44 44 44 44 44 44 44兩數(shù)列之和=（6

12、+38）9解：原數(shù)列之和=（6+38）92 =4492 =198 等差數(shù)列的和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2例：計(jì)算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +.+ 276分析：這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=1，末項(xiàng)=276，公差=5 等差數(shù)列的和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2 ？ 等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差+1解：等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：（276-1）5+1=56（項(xiàng)） 原數(shù)列之和=（1+276）562 = 27728 =7756練習(xí)1、計(jì)算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+.+403（3）9+19+29+39+.+99（4）1+3+5+7+.+

13、99練習(xí)答案：解：（1）這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=7，末項(xiàng)=37，公差=3, 項(xiàng)數(shù)=（37-7）3+1=11 和=（7+37）112=242（2）這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=7，末項(xiàng)=403，公差=4， 項(xiàng)數(shù)=（403-7）4+1=100 和=（7+403）1002=20500（3）這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=9，末項(xiàng)=99，公差=10， 項(xiàng)數(shù)=（99-9）10+1=10 和=（9+99）102=540（4）這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=1，末項(xiàng)=99，公差=2， 項(xiàng)數(shù)=（99-1）2+1=50 和=（1+99）502=2500等差數(shù)列知識(shí)總結(jié)：怎樣判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列怎樣求出等差數(shù)列的任意一項(xiàng)或項(xiàng)數(shù)怎樣求

14、出等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和必須牢記等差數(shù)列的基本公式和重要結(jié)論1、等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)-1）2、等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差+13、等差數(shù)列的和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)24、等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。例：在一個(gè)分成64小格的方板的每個(gè)格子中放入石子。如果第一格放入2粒，第二格放入4粒，第3格放入6粒，第四格放入8粒依次類推，放滿64格，一共要放入多少粒石子？例：在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12cm，邊長(zhǎng)是1根火柴棍。（1）最大三角形的面積是多少cm？（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？例：在一個(gè)分成64小格的方板的每個(gè)格子中放入石子。如果第一格放入2粒，第二格放入4粒，第3格放入6粒，第四格放入8粒依次類推，放滿64格，一共要放入多少粒石子？（1）麗麗學(xué)英語單詞，第一天學(xué)會(huì)了6個(gè)，以后每天都比前一天多學(xué)會(huì)1個(gè)，最后一天學(xué)會(huì)了16個(gè)。麗麗在這些天中共學(xué)會(huì)了多少個(gè)單詞？（2）有一家電