1、電磁場(chǎng)與電磁波靜電場(chǎng)第1頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五2.1 電荷與電流的分布及表示法一、電荷與電荷分布 電荷可以連續(xù)地分布在一個(gè)宏觀的體積中，可以連續(xù)地分布在一個(gè)宏觀的面上，或連續(xù)地分布在一條宏觀的線上。當(dāng)然，電荷也可以集中在空間某點(diǎn)上。如圖2.1.1所示。圖2.1.1 電荷的體分布、面分布和線分布 電荷的分布用電荷密度來(lái)描述。當(dāng)電荷在某空間體積內(nèi)連續(xù)分布時(shí)，電荷體密度定義為空間某點(diǎn)單位體積的電荷量，即第2頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五若在電荷分布的空間內(nèi)任取一個(gè)微小體積 ，則該體積元的電荷量為注：某一體積內(nèi)的電荷總量，可應(yīng)用體積分的方法求

2、得。定義面電荷密度為空間某點(diǎn)單位面積上的電荷量：定義線電荷密度為線上某點(diǎn)單位長(zhǎng)度上的電荷量：第3頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五點(diǎn)電荷密度 理論上，電荷q可以被想象地集中在一個(gè)幾何點(diǎn)上，該電荷稱為點(diǎn)電荷,如圖2.1.2所示。 點(diǎn)電荷的電荷密度用 函數(shù)來(lái)描述。一個(gè)帶電荷量為q的點(diǎn)電荷位于 ，其電荷密度為而且圖2.1.2 點(diǎn)電荷分布第4頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五二、 電流與電流密度 如果 時(shí)間內(nèi)穿過(guò)S的電荷量為 ，則定義電荷穿過(guò)S的電流強(qiáng)度為： 導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流分布是隨時(shí)間變化的，這樣的電流稱為時(shí)變電流；若導(dǎo)電媒質(zhì)中電荷流動(dòng)的速度不隨時(shí)間改變，

3、則有 這樣的電流稱為恒定電流第5頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五1、電流密度矢量體電流密度 定義 ：導(dǎo)電媒質(zhì)中某點(diǎn)的電流密度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)正電荷運(yùn)動(dòng)的方向，它的數(shù)值等于在該點(diǎn)通過(guò)垂直于電荷運(yùn)動(dòng)方向的單位面積上的電流強(qiáng)度。圖2.1.3 體電流示意圖 第6頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五體電流I在電流密度為 的電流場(chǎng)中任取一個(gè)矢量面元 ，穿過(guò)矢量面元S的電流為 如圖2.1.4所示。若在電流場(chǎng)中任取一個(gè)曲面S，則穿過(guò)曲面的電流為 圖2.1.4 體電流密度 即電流是電流密度的通量第7頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五2、面電流密度矢量

4、及面電流 當(dāng)電荷在很薄的導(dǎo)體片上流動(dòng)時(shí)，可以將其抽象地視為在一數(shù)學(xué)面上流動(dòng)，并稱為面電流。如圖2.1.5所示。過(guò)表面電流場(chǎng)中一點(diǎn)，取一線元 垂直于電荷運(yùn)動(dòng)的方向，如果穿過(guò)此線元 的電流為 ，定義該點(diǎn)表面電流密度的值為圖2.1.5 面電流密度與面電流穿過(guò)線段 的電流為第8頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五3、線電流： 電荷在一根很細(xì)的導(dǎo)線中流過(guò),或電荷通過(guò)的橫截面積很小時(shí)，可將電流視為在一根無(wú)限細(xì)的線上流動(dòng)，這樣的電流稱為線電流。用電流強(qiáng)度來(lái)描述：線電流I與線電荷密度 、電荷流動(dòng)速度 的關(guān)系為： 第9頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五2.2 靜電場(chǎng)的基

5、本方程 2.2.1庫(kù)侖定律、電場(chǎng)強(qiáng)度 圖2.2.1電荷與電荷的相互作用電荷間的相互作用規(guī)律由庫(kù)侖定律描述。真空中靜止的電荷 對(duì) 的相互作用力 為第10頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五若在電場(chǎng)強(qiáng)度為 的空間某點(diǎn)放置點(diǎn)電荷q ，則 q受到的靜電力為圖2.2.2 場(chǎng)源坐標(biāo)的表示由庫(kù)侖定律導(dǎo)出空間點(diǎn)電荷q 的電場(chǎng)強(qiáng)度為當(dāng)空間有 n個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)，場(chǎng)點(diǎn) 的電場(chǎng)強(qiáng)度可由各點(diǎn)電荷獨(dú)立在該點(diǎn)激勵(lì)的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和來(lái)計(jì)算。第11頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五 對(duì)于體分布的電荷，可將其視為一系列點(diǎn)電荷的疊加，從而得出 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 同理，面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度

6、分別為 第12頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五圖2.2.4 點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加第13頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五圖2.2.5 圓盤電荷對(duì)點(diǎn)電荷的作用力計(jì)算第14頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五第15頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五靜電場(chǎng)基本方程的積分形式 靜電場(chǎng)基本方程的微分形式 2.2.2 真空中靜電場(chǎng)的基本方程第16頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五空間某一面元 對(duì)一定點(diǎn)O所張的立體角 定義：以O(shè)為球心，以點(diǎn)O到面元 的距離R 為半徑作一球面，如圖2.2.8所示，則立體角

7、 為 在球面上的投影 與 的比，即圖2.2.8 空間面元 對(duì)一定點(diǎn)O的立體角立體角的定義：第17頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五閉合面對(duì)定點(diǎn)O的立體角一定等于球面對(duì)O點(diǎn)的立體角,即 。如果O點(diǎn)在閉合面外，則該閉合面在球面上投影的代數(shù)和為零，如圖2.2.9b所示，因此，該閉合面對(duì)定點(diǎn)O的立體角一定等于零。 圖2.2.9 閉合面對(duì)定點(diǎn)的立體角第18頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五驗(yàn)證高斯定理 先研究一個(gè)點(diǎn)電荷的情況:在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中任選一閉合面S ，電場(chǎng)強(qiáng)度在S面上的通量為：上式中 是面元對(duì)點(diǎn)電荷q所張的立體角若 點(diǎn)在閉合面內(nèi)，則該立體角為 若 q

8、點(diǎn)在閉合面內(nèi)，則該立體角為 0 若S面內(nèi)有N個(gè)點(diǎn)電荷，則根據(jù)疊加原理：式中Q為閉合面的總電荷。第19頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五若閉合面S包圍的體積 內(nèi)，電荷以體密度 分布，則 內(nèi)總電荷量為 根據(jù)高斯散度定理有：則：因?yàn)殚]合面是任取的，所包圍的體積也是任意的，于是有高斯定律的積分形式高斯定律的微分形式第20頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五環(huán)流方程和旋度方程： 圖2.2.10 的計(jì)算當(dāng)積分路徑是閉合路徑時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，因此利用斯托克斯定理，上式可寫成：靜電場(chǎng)是一種無(wú)旋場(chǎng)，或者說(shuō)是一種發(fā)散場(chǎng)。從力場(chǎng)的角度來(lái)看，又可以把靜電場(chǎng)說(shuō)成是一種保守場(chǎng)。

9、 第21頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五第22頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五第23頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五2.3 泊松方程 拉普拉斯方程 2.3.1 電位函數(shù)靜電場(chǎng)是無(wú)旋的矢量場(chǎng)，它可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，此標(biāo)量函數(shù)稱為靜電場(chǎng)的電位函數(shù)或簡(jiǎn)稱電位。靜電場(chǎng)中，電位函數(shù) 的定義為：第24頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五在直角坐標(biāo)系中：將上式在空間A、B兩點(diǎn)間積分可得A、B兩點(diǎn)的電位差:電場(chǎng)強(qiáng)度沿一路徑從A點(diǎn)到B點(diǎn)的線積分等于電位從A點(diǎn)到B點(diǎn)的下降.由此可見(jiàn)：電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分反應(yīng)了空間兩電位的差。第25頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五若在空間中任選P點(diǎn)作為電位的參考點(diǎn)，即 ，則A點(diǎn)的電位若選取無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為參考點(diǎn)，則 ，于是對(duì)于點(diǎn)電荷的電位 第26頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五體電荷、面電荷和線電荷分布的電位函數(shù)表達(dá)式為：第27頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五第28頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五第29頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五第30頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)36分，星期五第31頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6