1、1 建立方程、定解條件方程的導出定解條件和定解問題變分原理分離變量法1 建立方程、定解條件方程的導出1.方程的導出 本章研究調和方程（又稱拉普拉斯方程）以及泊松方程 的基本定解問題及解的性質。(1.1)(1.2)1.方程的導出 本章研究調和方程（又稱拉普拉斯方程）以及泊松(1) 引力位勢(1) 引力位勢經(jīng)計算可得：直接計算可得：還可進一步驗證：經(jīng)計算可得：直接計算可得：還可進一步驗證：(2) 靜電場的電位勢 應用高斯公式，上式可改寫為：(2) 靜電場的電位勢 應用高斯公式，上式可改寫為：由區(qū)域G的任意性得：靜電場方程由于靜電場是無旋場，因而存在電勢u，從而靜電場的電勢u應當滿足泊松方程如果靜電

2、場的某一區(qū)域里沒有電荷，即=0，則靜電場方程在該區(qū)域上簡化為拉普拉斯方程由區(qū)域G的任意性得：靜電場方程由于靜電場是無旋場，因而存在電(3) 穩(wěn)定溫度分布 (3) 穩(wěn)定溫度分布 2.定解條件和定解問題(1) 第一邊值問題（Dirichlet問題） (2) 第二邊值問題（Neumann問題） 2.定解條件和定解問題(1) 第一邊值問題（Dirichle(3) Dirichlet外問題 (4) Neumann外問題 注：當考慮外問題時，為保證解的唯一性，還需對解在無窮遠的狀況加以限制。在三維情形，通常要求：(3) Dirichlet外問題 (4) Neumann外問其它邊界條件 (5) 第三類邊界條

3、件 (6) 等值面邊界條件 （總流量邊界條件） 其它邊界條件 (5) 第三類邊界條件 (6) 等值面邊界條件3.變分原理膜的平衡問題： 3.變分原理膜的平衡問題： 建立方程定解條件課件外力作功總位能應變能外力作功總位能應變能即：即：(1)問題2的解答：(1)問題2的解答：建立方程定解條件課件建立方程定解條件課件(3)(3)(5)(4)即(5)(4)即建立方程定解條件課件4.分離變量法求解Laplace方程(1) 矩形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問題代入方程(1)得： 分離變量：4.分離變量法求解Laplace方程(1) 矩形區(qū)域上Lap由此得 X，Y 滿足得常微分方程：由邊界條件(2)知

4、：得固有值問題：解之得：由此得 X，Y 滿足得常微分方程：由邊界條件(2)知：得固有通解為其中Ak，Bk為任意常數(shù)。因此 是滿足方程(1)和邊界條件(2)的解。通解為其中Ak，Bk為任意常數(shù)。因此 是滿足方程(1)和邊界疊加所有的Uk ，即 代入邊界條件(3)，得： 疊加所有的Uk ，即 代入邊界條件(3)，得： 由傅里葉正弦展式的系數(shù)公式得解得：由傅里葉正弦展式的系數(shù)公式得解得：(2) 圓形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問題(2) 圓形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問題(3)(4)即：(3)(4)即：由此得 R， 滿足得常微分方程：由周期性條件(4)得:固有值問題的討論：得固有值問題：(5)由此得 R， 滿足得常微分方程：由周期性條件(4)得:固有(6)(6)因此 是滿足方程(1)和自然邊界條件(3)以及周期性條件(4)的解。由疊加原理，滿足(1)(3)(4)的解可表為：因此 是滿足方程(1)和自然邊界條件(3)以及周期性條件由疊代入邊界條件(2)得：故代入邊界條件(2)得：故代入級數(shù)得：證明代入級數(shù)得：證明建立方程定解條件課件(3) 圓形區(qū)域上熱傳導方程的混合問題(3) 圓形區(qū)域上熱傳導方程的混合問題即：于是有：