1、向量的重心、垂心、心里、外心、旁心三角形重心、心里、垂心、外心的觀點(diǎn)及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法。重心：ABC中、每條邊上所對(duì)應(yīng)的中線的交點(diǎn)；垂心：ABC中、每條邊上所對(duì)應(yīng)的垂線上的交點(diǎn)；心里：ABC中、每個(gè)角的角均分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）；外心：ABC中、每條邊上所對(duì)應(yīng)的中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）。一、重心1、O是ABC的重心OAOBOC0若O是ABC的重心，則BOCAOCAOB1ABC故OAOBOC0,1(PA3PGPBPC)G為ABC的重心.3、P是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是ABC的重心PG1().23PAPBPC證明：PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC

2、)G是ABC的重心GAGBGC0AGBGCG0，即3PGPAPBPC由此可得PG1(PAPBPC).（反之亦然（證略）33、已知O是平面上必定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P知足uuuruuuruuuruuur(0，)，則P的軌跡必定經(jīng)過ABC的重心.OPOA(ABAC)，例1若O為uuuruuuruuurrABC的（ABC內(nèi)一點(diǎn)，OAOBOC0，則O是）A心里B外心C垂心D重心二、垂心1、O是ABC的垂心OA?OBOB?OCOA?OC若O是ABC(非直角三角形)的垂心，則故tanAOAtanBOBtanCOC02、H是面內(nèi)任一點(diǎn)，HAHBHBHCHCHA點(diǎn)H是ABC的垂心.由HA

3、HBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC,同理HCAB，HABC.故H是ABC的垂心.（反之亦然（證略）3、P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若PAPBPBPCPCPA，則P是ABC的垂心uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur0uuuruuur由PAPBPBPC，得PB(PAPC)0，即PBCA，因此PBCA同理uuuruuuruuuruuur可證PCAB，PABCP是ABC的垂心如圖1.圖1圖4、已知O是平面上必定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P知足uuuruuuruuuruuurABAC，(0，)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必定經(jīng)過OPOAuuuruuur

4、ABcosBACcosCABC的垂心例2P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若PAPBPBPCPCPA，則P是ABC的（）A外心B心里C重心D垂心三、心里1、O是ABC的心里的充要條件是OA?ABACOB?BABCOC?CACB0ABACBABCCACBAe1e2BCP引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)短。假如記AB,BC,CA的單位向量為e1,e2,e3，則方才O是ABC的心里的充要條件能夠?qū)懗蒓A?e1e3OB?e1e2OC?e2e302、O是ABC的心里的充要條件也能夠是a?OAb?OBc?OC0。3、若O是ABC的心里，則SBOC:SAOC:SAOBa:b:c故a?OAb?OBc?OC0或許sinA?

5、OAsinB?OBsinC?OC0;4、已知I為ABC所在平面上的一點(diǎn)，且ABc，ACb，BCa若uuruuruur0，則I是ABC的心里aIAbIBcICuuruuruuuruuruuruuurbuuruuuruuur0，IBIAAB，ICIAAC，則由題意得(ac)IAbABcACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurABACbABcACACABABACACAB，uuuruuurABACuurbcuuuruuurABACAIabcuuuruuurABACuuuruuuruuuruuurABACuuur與uuur分別為AB和AC方向上的單位向量，AB

6、ACuurBACAI與BAC均分線共線，即AI均分同理可證：BI均分ABC，CI均分ACB進(jìn)而I是ABC的心里，如圖。5、已知O是平面上必定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P知足uuuruuuruuuruuurABAC，(0，)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必定經(jīng)過ABC的內(nèi)OPOAuuuruuurABAC心uuuruuuruuurABAC，由題意得APuuuruuurABAC當(dāng)(0，uuurBAC的均分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)P的)時(shí)，AP表示軌跡必定經(jīng)過ABC的心里，如圖。例3O平面上的必定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P知足OPOA(ABAC)，0,則P點(diǎn)的軌跡必定經(jīng)過ABC

7、的（）ABAC（A）外心（B）心里（C）重心（D）垂心四、外心1、O是ABC的外心OAOBOC,若O是的外心則SBOC:SAOC:SAOBsinBOC:sinAOC:sinAOBsin2A:sin2B:sin2C故sinAOAsinBOBsinCOC0。uuuuruuuuruuuur2、已知O是ABC所在平面上一點(diǎn)，若OA2OB2OC2，則O是ABC的外心uuur2uuur2uuuruuuruuuruuuruuur2uuur2uuur22若OAOBOC，則OAOBOC，OAOBOC，則O是ABC的外心，如圖1。圖2圖13、已知O是平面上的必定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P知足uu

8、uruuuruuuruuuruuurOBOCuuurABuuurAC(0，)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必定通OP，2ABcosBACcosC過ABC的外心，如圖2。例4uuuruuuruuur若O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，OAOBOC，則O是ABC的（）A心里B外心C垂心D重心對(duì)于“歐拉定理”的一些問題：有名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的地點(diǎn)關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。例5在ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，

9、且QG:GH=1:2。證明：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，成立如下圖的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，則有：D（x1,0)、x1x2y2、x2y2)由題設(shè)可設(shè)Q（x1,y3)、H(x2,y4),2E(2,)F(,2222x1x2y2uuuuruuurx2x1y2,)AH(x2,y，,y3)G(34)QF(2223uuur(x2x1,y2)BCyuuuuruuurC(x2,y2)QAHBCuuuuruuurAH?BCx2(x2x1)y2y40FHx2(x2x1)y4Ey2uuuruuuurGQQFACQxuuuruuuur

10、x2x1y2ADB(x1,0)QF?ACx2(22)y2(2y3)0y3x2(x2x1)y22y22uuuurx1,y4y3)（2x2x1,3x2(x2x1)y2)QH(x2222y22uuurx1x1,y2y3)（2x2x1,y2x2(x2x1)y2)QG(x2323632y22(2x2x1,3x2(x2x1)y2)1(2x22x1,3x2(x2x1)y2)66y2632y221uuuur=QHuuuuruuur即QH=3QG，故Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG:GH1：2例6若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證OHOAOBOC.證明若ABC的垂心為H，外心為O，如圖.連BO并延伸交外接圓于AD

11、AB，CDBCD，連接AD，CD.又垂心為H，AHBC，CHAB，AHCD，CHAD，四邊形AHCD為平行四邊形，AHDCDOOC，故OHOAAHOAOBOC.“歐拉定理”簡(jiǎn)化：例7設(shè)O、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心.求證OG1OH3證明按重心定理G是ABC的重心OG1(OAOBOC)3按垂心定理OHOAOBOC由此可得OG1OH.3增補(bǔ)練習(xí)一：已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P知足1OP=1(1OA+1OB+2OC),則點(diǎn)P必定為ABC（）322邊中線的中點(diǎn)邊中線的三均分點(diǎn)（非重心）C.重心邊的中點(diǎn)2在同一個(gè)平面上有ABC及一點(diǎn)知足關(guān)系式：OA2BC2O

12、B2AC2OC2AB2，則為ABC的（）A外心B心里C重心D垂心uuuruuuruuur0，2已知ABC的三個(gè)極點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P知足：PAPBPC則P為ABC的()外心心里C重心D垂心3已知O是平面上必定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P知足：OPOA(ABAC)，則P的軌跡必定經(jīng)過ABC的（）外心心里C重心D垂心4已知ABC，P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P知足：uuuruuuruuuruuuruuuruuur，則P點(diǎn)為三角形的PA?PCPA?PBPB?PC0（）外心心里C重心D垂心5已知ABC，P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P知足：uuuruuuruuur則PaP

13、AbPBc?PC0，點(diǎn)為三角形的（）外心心里C重心D垂心2CB26在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P知足：CA2AB?CP，則P點(diǎn)軌跡必定通過ABC的：（）外心心里C重心D垂心7.已知非零向量AB與AC知足ABAC?BC0,且AB?AC1，則ABACABAC2ABC為A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，OHm(OAOBOC)，則實(shí)數(shù)m=。9.點(diǎn)O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，知足OAOBOBOCOCOA，則點(diǎn)O是ABC的（）A三個(gè)內(nèi)角的角均分線的交點(diǎn)B三條邊的垂直均分線的點(diǎn)C三條中線的交點(diǎn)D三條高的交點(diǎn)已知點(diǎn)G是ABC的重

14、心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，uuuuvuuuvuuuvuuuv113。且AMxAB，ANyAC，則yuuuvuuuvuuuv證點(diǎn)G是ABC的重心，知GAGBGCO，uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvO，有uuuv1uuuvuuuv。又，三點(diǎn)共線得AG(ABAG)(ACAG)AG(ABAC)3MNG（A不在直線MN上），于是存在uuuvuuuuvuuuv1)，,，使得AGAMAN(且uuuvuuuvuuuv=1uuuvuuuv有AGxAByAC3(ABAC)，11，于是得11得xy3。3xy增補(bǔ)練習(xí)二：1、已知O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若222，則是的OAOBOCOABCA

15、、重心B、垂心C、外心D、心里2、在ABC中，有命題ABACBC；ABBCCA0；若ABAC?ABAC0，則ABC為等腰三角形；若AB?AC0，則ABC為銳角三角形，上述命題中正確的選項(xiàng)是A、B、C、D、3、已知ABC中，有ABAC?BC0和AB?AC1,試判斷ABC的形ABACABAC2狀。4、已知ABC中，ABa，BCb，B是ABC中的最大角，若a?b0，試判斷ABC的形狀。5、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，知足2222OC22OABCOBACAB，則O是ABC的A、重心B、垂心C、外心D、心里6、已知P是ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P知足OPOAABAC,0,，則動(dòng)點(diǎn)P必定過ABC的

16、ABACA、重心B、垂心C、外心D、心里7、已知O為平面內(nèi)一點(diǎn)，A、B、C平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P知足OPOAAB1BC,0,，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必定經(jīng)過ABC的2A、重心B、垂心C、外心D、心里8、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P知足OPOAABAC,0,，則動(dòng)點(diǎn)P必定過ABC的ABcosBACcosCA、重心B、垂心C、外心D、心里9、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P知足OPOBOCABAC,0,，則動(dòng)點(diǎn)P必定過ABC的2ABcosBACcosCA、重心10、已知點(diǎn)B、垂心G是的重心，過C、外心D、心里G作直線與AB、AC分別訂交于M、N兩點(diǎn)，且AMx?AB,ANy?AC，求證：113xy增補(bǔ)練習(xí)三：1、已知O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OAOBOC0，則O是ABC的A、重心B、垂心C、外心D、心里2、若ABC的