1、 高等數(shù)學(xué)(2)試題答案以及復(fù)習(xí)要點(diǎn)匯總選擇題 (每題3分,共15分)1. 設(shè)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，假設(shè)，那么 A (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。解：選A 。 兩邊對(duì) 求導(dǎo)：，將 代入得 ，故 。2為某二元函數(shù)的全微分，那么a和b的值分別為 C (A) 2和2；(B) 3和3；(C)2和2；(D) 3和3； 解：選C 。 3. 設(shè)為曲面z=2(x2+y2)在xoy平面上方的局部，那么= D ； 。解：選D 。 。4. 設(shè)有直線，曲面在點(diǎn)(1,1,1)處的切平面，那么直線與平面的位置關(guān)系是： C (A) ； (B) ； (C) ； (D) 與斜交 。解：選C 。的方向向量 ，曲面在

2、點(diǎn)(1,1,1)處的切平面的法向量。由于，因此 。5. 設(shè)，那么下面結(jié)論正確的選項(xiàng)是 B 點(diǎn)，是 的駐點(diǎn)且為極大值點(diǎn) ；點(diǎn)，是極小值點(diǎn) ； 點(diǎn)0，0是 的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn) ； 點(diǎn)0，0是極大值點(diǎn) 。 解：選B 。二. 填空題 (每題3分,共15分)設(shè) ，那么 。解：或。2函數(shù) ，那么 。解：。3. 曲線在點(diǎn)(2,4,5)處的切線方程 。 解：切線方程 。4設(shè)L是圓周x2+y2=a2 (a0)負(fù)向一周,那么曲線積分= _。 解：曲線積分。5交換二次積分的次序：= 。解：=。三.求解以下各題每題8分，共16分1設(shè)，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求及。解： 2分 2分 2分 2分2設(shè)函數(shù) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

3、， 是由方程 所確定的隱函數(shù)，試求表達(dá)式 。解法一：方程 兩端對(duì)求導(dǎo)：，同理可求，6分 。 2分解法二：令 ，那么 ， 3分于是， 3分 2分四計(jì)算以下各題每題8分，共32分1計(jì)算積分。 解：極坐標(biāo)：令 ，那么 3分 2分 3分2計(jì)算三重積分，其中為曲面及所圍成的閉區(qū)域。解：聯(lián)立的兩曲面方程，得交線：，；投影柱面：；在面的投影域?yàn)椋?，用柱面坐?biāo)： 2分 2分 2分 2分3計(jì)算曲線積分，其中L是由點(diǎn)Aa，0到點(diǎn)O0，0的上半圓周 解：設(shè)， 由格林公式得到 4分 4分4計(jì)算，其中曲面為球面上的局部。解：曲面的方程為z =，其在xoy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)椋海?， 3分 =+ 3分由積分區(qū)域和被積函數(shù)

4、的對(duì)稱性得=0，且，所以=。 2分五8分求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的和。解： 2分 2分， 2分取 ，得 。 2分六8分求解微分方程 。解：對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特征方程為： 2分故特征根 ，從而齊次微分方程的通解為： 2分令非齊次方程特解為：代入方程解得 ，于是特解為 2分那么原方程通解為： 。 2分七6分某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其銷售單價(jià)分別為10萬元/件、9萬元/件，假設(shè)生產(chǎn)件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品的總本錢為萬元，又兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量為100件，試建立這一問題的數(shù)學(xué)模型，并分析兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時(shí)企業(yè)獲得最大利潤。解：因?yàn)槠髽I(yè)獲得的總利潤應(yīng)為總收入與總本錢之差，因此這一問題的數(shù)學(xué)模型應(yīng)

5、描述如下： 3分這是有條件極值問題，利用Lagrange乘數(shù)法，令求對(duì)各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們都等于0,得 3分解上述方程組得到唯一駐點(diǎn)，依題意知所求最大利潤一定存在。故當(dāng)產(chǎn)品甲產(chǎn)量為70件，產(chǎn)品乙產(chǎn)量為30件時(shí)企業(yè)獲得最大利潤。選擇題 (每題3分,共15分)1. 函數(shù)在原點(diǎn)0，0處間斷，是因?yàn)椋?(A) 函數(shù)在原點(diǎn)無定義； (B) 函數(shù)在原點(diǎn)無極限；(C) 在原點(diǎn)極限存在，但該點(diǎn)無定義； (D) 在原點(diǎn)極限存在，但不等于它的函數(shù)值。選B。2. 曲面在點(diǎn)2，1，0處的切平面方程是： (A) ； (B) ；(C) ；(D) 。選C。3. 旋轉(zhuǎn)拋物面在局部的曲面面積為: (A)； (B)；(C)

6、 ；(D)。選B 。4. 假設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是2，那么的收斂半徑為： (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。選D 。5. 假設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足，那么等于 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。 選A 。二. 填空題 (每題3分,共15分)設(shè)，其中為可微函數(shù)，那么 x 。2設(shè)可微，其中， 。3曲線在點(diǎn)2，4，5處的切線與軸所夾銳角。4交換二次積分的次序： 。5. 假設(shè)為的外側(cè)，且是其外法線向量的方向余弦，那么。注：三.求解以下各題每題8分，共16分1設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。解：， 2分 2分 2分 2分2設(shè)求和 。解：將所給方程兩邊對(duì)求導(dǎo)并移項(xiàng)，得 4分由，可得， 2分。 2分

7、 四計(jì)算以下各題每題8分，共32分1計(jì)算二重積分，其中： 。解：利用極坐標(biāo)變換 3分 3分 2分 2計(jì)算三重積分其中為球面所圍成的閉區(qū)域。解：應(yīng)用球面坐標(biāo)計(jì)算。即為，那么 3分 3分 2分 3計(jì)算, 其中L為圓周, 直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界。解：所求積分的曲線可分為三段：線段OA、弧AB、線段OB。線段OA：，； 2分弧AB：，O yBAxx所以 O yBAxx線段OB：，所以 。 2分綜上，。 2分4計(jì)算曲面積分, 其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的局部的前側(cè)。z z = 3z = 0zoyx解：由于曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)?，所以；2分曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)?

8、=; 2分同理，曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)? x 1, 0 z 3,=; 2分 故，=2=。 2分 五8分求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的和。解：在-1，1上，令= 3分上式兩邊積分得： ， 3分 = 2分六8分求微分方程滿足初始條件的特解。解：對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特征方程為： 故特征根 ，從而齊次微分方程的通解為： 2分 2分因 不是特征根，故可令非齊次方程特解為：代入方程解得 ，于是原方程通解為： 2分代入初始條件得，所以滿足初始條件的特解為：。 2分七6分證明：，其中是正向一周。解：因曲線為封閉曲線，,滿足Green公式條件，從而直接應(yīng)用Green公式有：原式 2分 1分 2分 1分高等

9、數(shù)學(xué)試卷1高等數(shù)學(xué)2高等數(shù)學(xué)試卷3高等數(shù)學(xué)試卷4高等數(shù)學(xué)試卷5高等數(shù)學(xué)下試卷一一、 填空題每空3分，共15分1函數(shù)的定義域?yàn)?2函數(shù)，那么 3交換積分次序， 4是連接兩點(diǎn)的直線段，那么 5微分方程，那么其通解為 二、選擇題每空3分，共15分1設(shè)直線為，平面為，那么 A. 平行于 B. 在上 C. 垂直于 D. 與斜交2設(shè)是由方程確定，那么在點(diǎn)處的 A. B. C. D.3是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域，將在柱面坐標(biāo)系下化成三次積分為 A. B. C. D. 4冪級(jí)數(shù)，那么其收斂半徑 A. B. C. D. 5微分方程的特解的形式為 A. B. C. D.得分閱卷人三、計(jì)算題每題8分，共48分求過

10、直線:且平行于直線：的平面方程，求， 設(shè)，利用極坐標(biāo)求求函數(shù)的極值 5、計(jì)算曲線積分， 其中為擺線從點(diǎn)到的一段弧6、求微分方程 滿足 的特解四.解答題共22分1、利用高斯公式計(jì)算，其中由圓錐面與上半球面所圍成的立體外表的外側(cè) 2、1判別級(jí)數(shù)的斂散性，假設(shè)收斂，判別是絕對(duì)收斂還是條件收斂；2在求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)高等數(shù)學(xué)下試卷二一填空題每空3分，共15分1函數(shù)的定義域?yàn)?； 2函數(shù)，那么在處的全微分 ；3交換積分次序， ；4是拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的一段弧，那么 ；5微分方程，那么其通解為 .二選擇題每空3分，共15分1設(shè)直線為，平面為，那么與的夾角為 ；A. B. C. D. 2設(shè)是由方程確定，那么

11、；A. B. C. D. 3微分方程的特解的形式為 ； A. B. C. D.4是由球面所圍成的閉區(qū)域, 將在球面坐標(biāo)系下化成三次積分為 ；A B.C. D.5冪級(jí)數(shù)，那么其收斂半徑 .A. B. C. D. 得分閱卷人三計(jì)算題每題8分，共48分求過且與兩平面和平行的直線方程 .，求， .設(shè)，利用極坐標(biāo)計(jì)算 .得分求函數(shù)的極值.利用格林公式計(jì)算，其中為沿上半圓周、從到的弧段.6、求微分方程 的通解.四解答題共22分1、1判別級(jí)數(shù)的斂散性，假設(shè)收斂，判別是絕對(duì)收斂還是條件收斂； 2在區(qū)間內(nèi)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) . 2、利用高斯公式計(jì)算，為拋物面的下側(cè)高等數(shù)學(xué)下模擬試卷三一 填空題每空3分，共15分1

12、、 函數(shù)的定義域?yàn)?.2、= .3、，在處的微分 .4、定積分 .5、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .二選擇題每空3分，共15分1、是函數(shù)的 間斷點(diǎn)A可去 B跳躍C無窮 D振蕩2、積分= . (A) (B) (C) 0 (D) 13、函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性是 。 A單調(diào)增加； B單調(diào)減少； C單調(diào)增加且單調(diào)減少； (D)可能增加;可能減少。4、的一階導(dǎo)數(shù)為 .A BC D5、向量與相互垂直那么 .A3 B-1 C4 D2三計(jì)算題3小題，每題6分，共18分1、求極限 2、求極限 3、，求四計(jì)算題4小題，每題6分，共24分1、，求2、計(jì)算積分3、計(jì)算積分4、計(jì)算積分五觧答題3小題，共28分1、求函數(shù)的凹

13、凸區(qū)間及拐點(diǎn)。2、設(shè)求3、1求由及所圍圖形的面積； 2求所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的體積。高等數(shù)學(xué)下模擬試卷四一 填空題每空3分，共15分1、 函數(shù)的定義域?yàn)?.2、= .3、，在處的微分 .4、定積分= .5、函數(shù)的凸區(qū)間是 .二選擇題每空3分，共15分1、是函數(shù)的 間斷點(diǎn)A可去 B跳躍C無窮 D振蕩2、假設(shè)= (A)1 (B) (C)-1 (D) 3、在內(nèi)函數(shù)是 。 A單調(diào)增加； B單調(diào)減少； C單調(diào)增加且單調(diào)減少； (D)可能增加;可能減少。4、向量與向量那么為 .A6 B-6 C1 D-35、函數(shù)可導(dǎo)，且為極值，那么 .A B C0 D三計(jì)算題3小題，每題6分，共18分1、求極限 2、求

14、極限 3、，求四 計(jì)算題每題6分，共24分1、設(shè)所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2、計(jì)算積分3、計(jì)算積分4、計(jì)算積分五觧答題3小題，共28分1、，求在處的切線方程和法線方程。2、求證當(dāng)時(shí)，3、1求由及所圍圖形的面積； 2求所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的體積。高等數(shù)學(xué)下模擬試卷五一 填空題每空3分，共21分函數(shù)的定義域?yàn)?。函數(shù)，那么 。，那么 。設(shè)L為上點(diǎn)到的上半弧段，那么 。交換積分順序 。.級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂還是條件收斂？ 。微分方程的通解為 。二選擇題每空3分，共15分 函數(shù)在點(diǎn)的全微分存在是在該點(diǎn)連續(xù)的 條件。 A充分非必要 B必要非充分 C充分必要 D既非充分，也非必要平面與的夾角為 。A B C D

15、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。A B C D設(shè)是微分方程的兩特解且常數(shù)，那么以下 是其通解為任意常數(shù)。A BC D在直角坐標(biāo)系下化為三次積分為 ，其中為，所圍的閉區(qū)域。A B C D三計(jì)算以下各題共分，每題分1、，求。2、求過點(diǎn)且平行直線的直線方程。3、利用極坐標(biāo)計(jì)算，其中D為由、及所圍的在第一象限的區(qū)域。四求解以下各題共分，第題分，第題分 、利用格林公式計(jì)算曲線積分，其中L為圓域：的邊界曲線，取逆時(shí)針方向。、判別以下級(jí)數(shù)的斂散性： 五、求解以下各題共分，第、題各分，第題分 、求函數(shù)的極值。、求方程滿足的特解。、求方程的通解。高等數(shù)學(xué)下模擬試卷六一、填空題：每題分,共21分.函數(shù)的定義域?yàn)?。函數(shù)，那么

16、 。，那么 。設(shè)L為上點(diǎn)到的直線段，那么 。將化為極坐標(biāo)系下的二重積分 。.級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂還是條件收斂？ 。微分方程的通解為 。 二、選擇題：每題3分,共15分.函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)是其全微分存在的 條件。 A必要非充分， B充分， C充分必要， D既非充分，也非必要，直線與平面的夾角為 。A B C D冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。A B C D.設(shè)是微分方程的特解，是方程的通解，那么以下 是方程的通解。A B C D 在柱面坐標(biāo)系下化為三次積分為 ，其中為的上半球體。A B C D三、計(jì)算以下各題共分，每題分、，求、求過點(diǎn)且平行于平面的平面方程。、計(jì)算，其中D為、及所圍的閉區(qū)域。四、求解以下各題共分

17、，第題7分,第題分，第題分 、計(jì)算曲線積分，其中L為圓周上點(diǎn)到的一段弧。、利用高斯公式計(jì)算曲面積分：，其中是由所圍區(qū)域的整個(gè)外表的外側(cè)。、判別以下級(jí)數(shù)的斂散性： 五、求解以下各題共分,每題分 、求函數(shù)的極值。、求方程滿足的特解。、求方程的通解。高等數(shù)學(xué)下模擬試卷七一 填空題每空3分，共24分1二元函數(shù)的定義域?yàn)?2一階差分方程的通解為 3的全微分 _4的通解為 _5設(shè)，那么_6微分方程的通解為 7假設(shè)區(qū)域，那么 8級(jí)數(shù)的和s= 二選擇題：每題3分，共15分1在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是在點(diǎn)處連續(xù)的 條件A充分而非必要 B必要而非充分 C充分必要 D既非充分也非必要 2累次積分改變積分次序?yàn)?(A)

18、BC D3以下函數(shù)中， 是微分方程的特解形式(a、b為常數(shù)) A B C D 4以下級(jí)數(shù)中，收斂的級(jí)數(shù)是 A B C D 5設(shè)，那么 (A) (B) (C) (D) 得分閱卷人三、求解以下各題每題7分，共21分1. 設(shè)，求2. 判斷級(jí)數(shù)的收斂性3.計(jì)算，其中D為所圍區(qū)域四、計(jì)算以下各題每題10分，共40分1. 求微分方程的通解.2.計(jì)算二重積分，其中是由直線及軸圍成的平面區(qū)域.3.求函數(shù)的極值.4.求冪級(jí)數(shù)的收斂域.高等數(shù)學(xué)下模擬試卷一參考答案一、填空題：每空3分，共15分1、 2、 3、 4、 5、 二、選擇題：每空3分，共15分 1.2.3.45.三、計(jì)算題每題8分，共48分1、解： 平面

19、方程為 2、解： 令 3、解：， 4解： 得駐點(diǎn) 極小值為 5解：，有曲線積分與路徑無關(guān) 積分路線選擇：從，從 6解： 通解為 代入，得，特解為 四、解答題1、解： 方法一： 原式 方法二： 原式 2、解：1令收斂， 絕對(duì)收斂。 2令 高等數(shù)學(xué)下模擬試卷二參考答案一、填空題：每空3分，共15分1、 2、 3、 4、 5、 二、選擇題：每空3分，共15分 1. 2.3. 4.5. 三、計(jì)算題每題8分，共48分1、解： 直線方程為 2、解： 令 3、解：， 4解： 得駐點(diǎn) 極小值為 5解：，有 取從 原式 6解： 通解為 四、解答題 1、解：1令收斂， 絕對(duì)收斂 2令 ， 2、解：構(gòu)造曲面上側(cè) 高等數(shù)學(xué)下模擬試卷三參考答案一填空題：每空3分，共15分1.；2.；3. ；4.0；5. 或二選擇題：每空3分，共15分 三計(jì)算題：1. 2. 3. 四計(jì)算題： 1.；2.原式 3. 原式 4.原式。五解答題: 1 2.3.1 2、高等數(shù)學(xué)下模擬試卷四參考答案一填空題：每空3分，共15分1.；2.；3. ；4. ；5. 。二選擇題：每空3分，共15分1. ；2. ；3. ；4. ；5. 。三1. 2. 3. 四 1.；2. 3. 4.。五解答題 1.凸區(qū)間 2. 3.1、 2、高等數(shù)學(xué)下模擬試卷五參考答案一、填空題：每空3分，