1、第1節(jié) 齊次線性方程組的解空間與向量空間第2節(jié) 向量組的線性關(guān)系第3節(jié) 向量組的秩第4節(jié) 基、維數(shù)與坐標(biāo)第5節(jié) 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)第 5 章 向量組與解空間 1第1節(jié) 齊次線性方程組的解空間與向量空間第 5 章 向量第3節(jié) 向量組的秩 由CH4.3知, 矩陣的秩, 是矩陣在初等變換下的 不變的指標(biāo).等價(jià)的矩陣有相同的秩, 對(duì)同型的矩陣秩相同時(shí)必等價(jià). 向量組也有一個(gè)重要的指標(biāo)秩, 它與矩陣的秩有密切聯(lián)系.2第3節(jié) 向量組的秩 由CH4.3知, 矩陣的秩, 是矩陣定義5.3.1 設(shè) 1, 2, , m 是一個(gè)向量組, i1, i2, , ir ( r 0 ) 是它的一個(gè)部分組, 則稱 i1,

2、i2, , ir 是向量組 1, 2, , m 的一個(gè)如果 (1) i1, i2, , ir 線性無關(guān); (2) 對(duì)任意 j = 1, 2, , m, i1, i2, , ir, j 線性相關(guān); 極大線性無關(guān)組.這里, r = 0 表示部分組是空集.于是, 極大線性無關(guān)組首先是線性無關(guān)的, 還要是極大的,極大性表現(xiàn)在 再添加向量進(jìn)去 就不線性無關(guān)了, 即線性相關(guān)了. 3定義5.3.1 設(shè) 1, 2, , m 是一對(duì)向量組 1, 2, , m , 可以從一個(gè)線性無關(guān)的逐步擴(kuò)充, 最后得到一個(gè)極大線性無關(guān)組. 如果這個(gè)向量組中全是零向量, 則它沒有線性無關(guān) 的部分組, 此時(shí), 認(rèn)為空集是它的一個(gè)極

3、大線性無 關(guān)組, 極大線性無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)為零. 以下假設(shè)向量組 1, 2, , m 中含有非零向量, 不妨設(shè) 1 0 , 則由 1 一個(gè)向量組成的向量組是線性無關(guān)的,如果添加每個(gè)向量 j 到 1 上得到的向量組 1, j 部分組出發(fā), 都線性相關(guān), 則 1 就是一個(gè)極大線性無關(guān)組; 4對(duì)向量組 1, 2, , m , 可以從一個(gè)線性無如果存在某個(gè)向量, 例如 2, 無關(guān)的, 則對(duì) 1, 2 進(jìn)行類似討論, 使得 1, 2 是線性 如此繼續(xù)下去. 由于向量組 1, 2, , m 中只有有限多個(gè)向量, 所以這樣的過程只能進(jìn)行有限步, 最后可以找到一 個(gè)部分組, 例如 1, 2, , r, 使

4、得 1, 2, , r 線性 無關(guān), 但對(duì)任意j 都有1, 2, , r, j 是線性相關(guān)的, 這樣的部分組 1, 2, , r 就是向量組 1, 2, , m 的一個(gè)極大線性無關(guān)組. 注意到, 如果 1, 2, , m 是線性無關(guān)的, 則 1, 2, , m 本身就是 1, 2, , m 的一個(gè)極大線性無關(guān)組. 5如果存在某個(gè)向量, 例如 2, 無關(guān)的, 則對(duì) 1, 所以, 每個(gè)向量組都有極大線性無關(guān)組. 空集是極大線性無關(guān)組(此時(shí)認(rèn)為它所含 的向量個(gè)數(shù)為0) 的充要條件是 這個(gè)向量組中的向量都是零向量.對(duì)同一個(gè)向量組, 它的不同的極大線性無關(guān)組中 所含的向量個(gè)數(shù)是否相同? 下面通過一個(gè)命題

5、和一個(gè) 定理解決這個(gè)問題. 6所以, 每個(gè)向量組都有極大線性無關(guān)組. 空集是極大線性無關(guān)組命題5.3.1 如果向量組 1, 2, , m 線性無關(guān), 則以 1, 2, , m 為列向量的矩陣 A = (1 2 m ) 的秩為 m, 反之亦然. 證明 向量組 1, 2, , m 線性無關(guān)的充要條件是 齊次線性方程組這個(gè)齊次線性方程組只有零解x11 + x22 + + xmm = 0 只有零解.而根據(jù)推論4.3.1, 的充要條件是其系數(shù)矩陣 A 的秩等于 m. 7命題5.3.1 如果向量組 1, 2, , m 線定理5.3.1 如果向量組 i1, i2, , ir 是向量組 1, 2, , m 的

6、一個(gè)極大線性無關(guān)組, 證明 交換向量 1, 2, , m 的順序, 則 r 就是以 1, 2, , m 為列向量的矩陣 A = (1 2 m ) 的秩. 不妨設(shè) 1, 2, , r 是一個(gè)極大線性無關(guān)組, 則 r+1, , m 中的每一個(gè)向量都可以由 1, 2, , r 線性表出. 于是, 將 A 的前 r 列的某些倍數(shù)加到第 r +1, , m 列上即可消去這后面的 m r 列, 例如, 若r+1 = k11 + k22 + + krr, 則將 A 的第 1 列的 k1倍, 第 2 列的 k2 倍, , 第 r 列的 kr 倍, 都加到第 r + 1 列上, 則第 r + 1 列就成為零向量

7、了. 8定理5.3.1 如果向量組 i1, i2, , i即, 對(duì) A 作一系列的初等列變換可以將 A 化為 矩陣 A1 = (1 2 r 0 0 ), 而矩陣 A1 的秩與 矩陣 A2 = (1 2 r ) 的秩相同. 根據(jù)上面的命題4.3.1, 矩陣 A2 的秩就是 r, 所以矩陣 A 的秩為 r. 根據(jù)上面的定理4.3.1, 向量組 1, 2, , m 的任 意兩個(gè)極大線性無關(guān)組都含有相同的向量個(gè)數(shù), 稱此 “個(gè)數(shù)” 為向量組 1, 2, , m 的秩.假設(shè)向量組 (I) 是向量組 (II) 的部分組, 則由于 (I) 的極大線性無關(guān)組可以擴(kuò)充為 (II) 的極大線性無關(guān)組, 所以向量組

8、 (I) 的秩小于等于向量組 (II) 的秩. 9即, 對(duì) A 作一系列的初等列變換可以將 A 化為 矩陣 推論5.3.1 設(shè) A 是一個(gè) n m 矩陣, 則 A 的秩等于其 列向量組的秩, 也等于其行向量組的秩. 證明 記 A 的列向量組為 1, 2, , m, 則由上面的定理5.3.1, 向量組 1, 2, , m 的秩等于 A 的秩. 另一方面, rank( A ) = rank( AT ), 而矩陣 AT 的列向量組就是 A 的行向量組, 對(duì) AT 的利用上面的定理5.3.1, 即得 A 的行向量組的秩也等于 A 的秩. 注意: 上面命題中矩陣 A 的列向量是 n 維的, 但其行向量是

9、 m 維的. 10推論5.3.1 設(shè) A 是一個(gè) n m 矩陣, 則 命題5.3.2 如果向量組 1, 2, , s 可以由向量組 1, 2, , t 線性表出, 證明 令以 1, 2, , s 為列向量的矩陣為 A, 以下證明 rank( A ) rank( B ), 從而結(jié)論成立. 則1, 2, , s 的秩小于等 于 1, 2, , t 的秩. 以 1, 2, , t 為列向量的矩陣為 B, 因?yàn)?A 的列向量組是 ( A B ) 的列向量組的部分組, 由推論5.3.1及 p.89 l.8 的說明知 rank( A ) rank( A B ), 同理可得 rank( B ) rank(

10、A B ), 11命題5.3.2 如果向量組 1, 2, , s 可若向量組 1, 2, , s 可以由向量組 1, 2, , t 線性表出, 于是, ( A B ) 的前 s 列的每一列都是后 t 列的線性組合.則將后 t 列的適當(dāng)倍數(shù)加到前 s 列的一列上, 就可以將這一列化為零.例如, 若1 = k1 1 + k2 2 + + kt t , 則將 ( A B ) 的第 s + 1 列 就把第 1 列變成了零. 的 k1倍, 第 s + 2 列的 k2 倍, , 第 s + t 列的 kt 倍, 都加到 第 1 列上. 這樣的過程實(shí)際上是作一系列初等列變換. 所以對(duì) ( A B ) 的作初

11、等列變換可以化為 ( 0 B ), 因此 rank( A B ) = rank( 0 B ) = rank( B ). 所以 rank( A ) rank( A B ) = rank( B ). 12若向量組 1, 2, , s 可以由向量組 1, 推論5.3.2 等價(jià)的向量組具有相同的秩. 例 1 rank( AB ) min rank( A ), rank( B ) . 證明 只需證明 rank( AB ) rank( A ). 類似方法可以證明 rank( AB ) rank( B ). 令 A = (1 2 n ), B = ( bij )nm, AB = (1 2 m ), 則 j

12、= b1j1 + b2j2 + + bnjn , j = 1, 2, , m.即 AB 的列向量組 (1 2 m ) 可以由 A 的列向量組(1 2 n ) 線性表出,由推論5.3.1, 這兩個(gè)向量組的秩分別為 rank( AB ) 和 rank( A ), 再由命題5.3.2, rank( AB ) rank( A ). p.89 例1 13推論5.3.2 等價(jià)的向量組具有相同的秩. 例 1 ran例 2 rank( A + B ) rank( A ) + rank( B ) . 證明 令 A = (1 2 n ), B = ( 1 2 n ), 即 A + B 的列向量組可以由向量組線性表

13、出. 由命題5.3.2, 則 A + B = (1+ 1 2+ 2 n+ n ), 1, 2, , n , 1, 2, , n rank( A + B ) rank( 1, 2, , n , 1, 2, , n ) . 因?yàn)橄蛄拷M 1, 2, , n , 1, 2, , n 可以由1, 2, , n 的極大線性無關(guān)組和 1, 2, , n 的極大線性 無關(guān)組線性表出.而兩個(gè)無關(guān)組總共只有 rank( A ) + rank( B ) 個(gè)向量. p.90 例2 14例 2 rank( A + B ) rank( A ) 補(bǔ)充例1 證 設(shè) A 為 n 階矩陣, 證明rank( A + E ) + r

14、ank( A E ) n. ( A + E ) + ( E A ) = 2E,rank( A + E ) + rank( E A ) rank( 2E ) = n,由上例, 而 rank( A E ) = rank( E A ), rank( A + E ) + rank( A E ) n.15補(bǔ)充例1 證 設(shè) A 為 n 階矩陣, 證明 ( 推論5.3.1建立了向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系. 據(jù)此可以對(duì)矩陣的秩作進(jìn)一步討論.n 階方陣 A 的秩等于 n 的充要條件是 | A | 0,再由推論5.3.1, 根據(jù)定理4.4.1和定理4.4.2, 這等價(jià)于 A 的行向量組線性無關(guān), A 的列向量組也

15、線性無關(guān).16推論5.3.1建立了向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系. 據(jù)此可以對(duì)定理5.3.2 設(shè) A 是 n 階方陣, 則下列結(jié)論等價(jià): (1) A 為可逆矩陣; (2) rank( A ) = n; (3) | A | 0; (4) A 的行向量組線性無關(guān); (5) A 的列向量組線性無關(guān). 17定理5.3.2 設(shè) A 是 n 階方陣, 則下列結(jié)論等價(jià):例 3 判別向量組 1 = , 2013 2 = , 2 1 0 3線性相關(guān)還是線性無關(guān). p.90 例3 3 = , 21 12 說明 CH5.2 中通過驗(yàn)證齊次線性方程組 x11 + x22 + + xmm = 0 是否有非零解來判斷 1,

16、2, , m 是否線性相關(guān). 對(duì)于 n 個(gè) n 維向量 組成的 向量組(構(gòu)成 n 階方陣 A ), 4 = , 2 1 0 4由定理5.3.2,可以用 | A | 是否為零來驗(yàn)證其線性相關(guān)性. 18例 3 判別向量組 1 = , 22 解 2 2 2 2 0 1 1 1 1 0 1 03 3 2 4 | A | = = = 以這 4 個(gè)向量作為列的行列式 2 0 2 1 1 1 3 5 4 = 2 0. 0 2 0 2 0 1 1 1 1 0 1 00 3 5 4 = 0 2 01 1 13 5 4 所以 1, 2, 3, 4 線性無關(guān). 19解 2 2 2 2 | A | = =一般的矩陣是

17、否可以用行列式來求秩呢?這需要了解 “不同維數(shù)的向量的線性相關(guān)性” 的關(guān)系, 即 對(duì) 一個(gè)向量組中的向量 在相同位置添加分量 而得到的 一組同維數(shù)的新的高維數(shù)向量組, 對(duì)這兩個(gè)向量組的線性相關(guān)性之間的關(guān)系. 20一般的矩陣是否可以用行列式來求秩呢?這需要了解 “不同維數(shù)的定理5.3.3 設(shè) 1, 2, , s 是一組 n 維向量, 證明 不妨假設(shè) 1, 2, , s 是由 1, 2, , s 添加 在1, 2, 后 r 個(gè)向量得到的. , s 的相同位置 添加 r 個(gè)分量 得到 n + r 維向量 1, 2, , s . 如果 1, 2, , s 線性無關(guān), 則 1, 2, , s 也線性無關(guān)

18、. 考慮齊次線性方程組 x1 1 + x2 2 + + xs s = 0 , 它是由齊次線性方程組 x11 + x22 + + xss = 0 再 添加 r 個(gè)方程得到的. 根據(jù)假設(shè), 1, 2, , s 是線性 無關(guān)的, 方程組 x11 + x22 + + xss = 0 只有零解. 方程組 x1 1 + x2 2 + + xs s = 0 也只有零解. 1, 2, , s 線性無關(guān). 21定理5.3.3 設(shè) 1, 2, , s 是一組 n例4 則 1, 2, , s 與 1, 2, , s 具有相同的線性關(guān)系,用矩陣的方法求向量組的極大線性無關(guān)組. 設(shè) 1, 2, , s 是一組向量, 對(duì)

19、 A 作初等行變換(不能作列變換)變成 B = ( 1 2 s ). 于是, 1, 2, , s 中的一部分向量 線性相關(guān) 或 線性 無關(guān) 或 其中的一個(gè)向量是其余向量的線性組合 令矩陣 A = (1 2 s ), 即 ki1i1 + ki2i2 + kirir = 0 1, 2, , s 中對(duì)應(yīng)序號(hào)的向量是 線性相關(guān) 或 線性無關(guān) 或 其中的一個(gè)向量是其余向量的線性組合. ki1 i1 + ki2 i2 + kir ir = 0. p.91 例4 22例4 則 1, 2, , s 與 1, 2, 對(duì) A 作初等行變換(不能作列變換), 將它化成 行階梯形, 則在臺(tái)階處的向量就構(gòu)成一個(gè)極大線性

20、 無關(guān)組. 并可較方便地得到一個(gè)向量是此極大無關(guān)組的線性組合的表達(dá)形式. 例如, 對(duì)于例5.2.2 的 4 個(gè)向量 3 = , 2100 1 = , 112 1 2 = , 0 3 33 4 = 1 5 110 23對(duì) A 作初等行變換(不能作列變換), 將它化成 行階梯對(duì)其系數(shù)矩陣作初等變換 1 0 2 11 3 1 52 3 0 1 1 3 0 10 初等行變換1 0 0 90 3 0 190 0 1 5 0 0 0 0 所以 1, 2, 3 是一個(gè)極大線性無關(guān)組. 1, 2, 4 也是一個(gè)極大線性無關(guān)組. 而且還有 4 = 91 + 2 53 . 19 324對(duì)其系數(shù)矩陣作初等變換 1

21、0 2 1定義 在 m n 矩陣 A 中任取 r 行 r 列 ( r m, r n ), 位于這些行列交叉處的 r2 個(gè)元素, 不改變它們?cè)?A 中所處的位置次序而得的 r 階行列式, 稱為矩陣 A 的 r 階子式.m n 矩陣 A 的 r 階子式共有 Cm Cn 個(gè).r r25定義 在 m n 矩陣 A 中任取 r 行 r 列 引理5.3.1 設(shè) A 是一個(gè) m n 矩陣, 假設(shè) A 有一個(gè) r 階 子式 M 不為零, 則 M 所在的行組成的行向量組是線性無關(guān)的, 所在的列組成的列向量組也是線性無關(guān)的.證明 不妨假設(shè) M 處于 A 的左上角, 令 A 的左上角的 r r 矩陣為 A1, 則

22、M = | A1 |, 根據(jù)假設(shè), | A1 | 0, 所以, A1 的行向量組線性無關(guān), 列向量組也線性無關(guān), 而 M 所在的行組成的行向量組是 A1 的行向量組添加 n r 個(gè)分量得到的. 根據(jù)定理5.3.3, M 所在的行組成行向量組是線性無關(guān)的. 同理, M 所在的列組成的列向量組也是線性無關(guān)的. 26引理5.3.1 設(shè) A 是一個(gè) m n 矩陣, 假設(shè)定理5.3.4 設(shè) A 是一個(gè) m n 矩陣, 則rank( A ) = max r | A 存在非零的 r 階子式 . 證明 如果 A 有一個(gè) r 階子式 M 0, 則 M 所在的 r 個(gè)行組成的行向量組是線性無關(guān)的, 而 rank( A ) = A 的行向量組的秩, rank( A ) r . 為證明定理, 以下證明: 若 A 的所有 r 階子式都等于零, 則 rank( A ) r. 只需證明 若 A 的所有 r 階子式都等于零, 則 A 的任意 r 行都線性相關(guān). 下面證明 A 的前 r 行 1, 2, , r 線性相關(guān): 27定理5.3.4 設(shè) A 是一個(gè) m n 矩陣, 則r令 A1 是以 1, 2, , r 為行向量的矩陣, 則根據(jù)假設(shè), A1