1、/指數(shù)分布/3. 指數(shù)分布布 用以下指數(shù)函函數(shù) 表示的概率密度度函數(shù)稱為指指數(shù)分布。其其中的稱為指指數(shù)分布函數(shù)數(shù)的參數(shù)，常常記為Expp()。其概率密度度函數(shù)的圖形形如圖1.22-27所示示。事件 X在區(qū)區(qū)間 (a, b)上取取值的概率為圖圖1.2-227上陰影的的面積，它的的計算公式為為: 指數(shù)分布的的參數(shù)Expp()的均值、方方差與標準差差分別為: 例1.2-117 某某種熱水器首首次發(fā)生故障障的時間T（單位：小小時）服從參參數(shù)=0.0002的指數(shù)數(shù)分布，它的的概率密度函函數(shù)與分布函函數(shù)分別為： 則該種熱水器在在300到500小時內(nèi)內(nèi)需要維修的的概率為： 該種熱水器首次次發(fā)生故障的的時間的

2、均值值與方差分別別為: 現(xiàn)將上述常用分分布總結在表表1.2-11常用分布表中心極限定理五、中心極限定定理 中心極限定理理敘述了統(tǒng)計計中的一個重重要結論:多個相互獨獨立隨機變量量的平均值 (仍然是一一個隨機變量量)服從或近似似服從正態(tài)分分布。為介紹紹這個定理先先要作一項準準備。(一) 隨機變變量的獨立性性兩個隨機變量XX1與X2相互獨立是是指其中一個個的取值不影影響另一個的的取值，或者者說是指兩個個隨機變量獨獨立地取值。比比如，拋兩顆顆骰子出現(xiàn)的的點數(shù)記為XX1與X2，則X1與X2是相互獨立立的隨機變量量。隨機變量的相互互獨立性可以以推廣到三個個或更多個隨隨機變量上去去。以下要用到一個個假定:幾

3、是n個相互獨立立且服從相同同分布的隨機機變量。這個假定定有兩個含義義:(1) 是n個個相互獨立的的隨機變量，如如在生產(chǎn)線上上隨機取n個產(chǎn)品，它它們的質(zhì)量特特性用表示，那那么可認為是是n個相互獨立立的隨機變量量。(2) 有相同同的分布，且且分布中所含含的參數(shù)也都都相同，比如如，都為正態(tài)態(tài)分布，且都都有相同均值值和相同方差差。又如，若若都為指數(shù)分分布，那么其其中的參數(shù)也也都相同。今后，把n個相相互獨立且服服從相同分布布的隨機變量量的均值稱為為樣本均值，并并記為，即: (二)正態(tài)樣樣本均值的分分布 定理1 設設是n個相互獨立立同分布的隨隨機變量，假假如其共同分分布為正態(tài)分分布，則樣本本均值仍為正正態(tài)

4、分布，其其均值不變?nèi)匀詾?，方差。這個定理表明:在定理1的條件下，正正態(tài)樣本均值值服從正態(tài)分分布。例1.2-118 設設是相互獨立立同分布的隨隨機變量，共共同分布為正正態(tài)分布N(10，52)，則其樣本本均值: 服從。這表明: 的均值仍仍為10，方差為25/9=2.778，的標準準差為：非正態(tài)樣本均值的分布(三)非正態(tài)樣樣本均值的分分布定理2(中心極極限定理) 設為n個個相互獨立同同分布的隨機機變量，其共共同分布不為為正態(tài)或未知知，但其均值值和方差都存在在，則在n相相當大時，樣樣本均值近似似服從正態(tài)分分布。 這個定定理表明:無論共同的的分布是什么么 (離散分布布或連續(xù)分布布，正態(tài)分布布或非正態(tài)分分

5、布),只要獨立立同分布隨機機變量的個數(shù)數(shù)n相當大時，的的分布總近似似于正態(tài)分布布，這一結論論是深刻的，也也是重要的，這這說明平均值值運算常可從從非正態(tài)分布布獲得正態(tài)分分布。例1.2-119 圖1.2-228中我們選選了三個不同同的共同分布布: 均勻分布(無峰) 雙單分布 指數(shù)分布(高度偏斜)假如，n=2，那那么在的場合，2個均勻分布布的變量之均均值的分布呈呈三角形，在在的場合，的分分布出現(xiàn)中間間高，在的場合的分布布的峰開始偏偏離原點。在在n=5時，三三種場合都呈呈現(xiàn)單峰狀，并并且前兩個還還有很好的對對稱性。在nn=30時，三三種場合下的的分布幾乎完完全相同，只只在位置上有有些差別，這這個差別是

6、由由原始共同分分布的均值不不同而引起的的，另外，這這時正態(tài)分布布的峰都很高高，那是因為為平均后的標標準差為：圖1.2-288有很強的直直觀性和說服服力，這就是是中心極限定定理的魅力。 在統(tǒng)計中一個統(tǒng)統(tǒng)計量的標準準差，稱為標標準誤差，或或簡稱為標準準誤。特別地地，樣本均值值的標準誤，無無論是正態(tài)樣樣本均值或非非正態(tài)樣本均均值都有或近近似有:它隨著n的增加加而減少。圖圖1.2-229表明這種種關系，注意意到在n10時，下降漸趨趨緩慢。 例1.2-20 我們常常對對一個零件的的質(zhì)量特性只只測一次讀數(shù)數(shù)，并用這個個讀數(shù)去估計計過程輸出的的質(zhì)量特性，一一個很容易減減少測量系統(tǒng)統(tǒng)誤差的方法法是:對同一個零零件的質(zhì)量特特性作兩次或或更多次重復復測量，并用用其均值去估估計過程輸出出的質(zhì)量特性性，