1、一、靜定靜不定概念 1、靜定問(wèn)題僅用靜力平衡方程就能求出全部未知 力，這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題. 實(shí)質(zhì)：未知力的數(shù)目等于靜力平衡方程的數(shù)目。 2、靜不定問(wèn)題僅用靜力平衡方程不能求出全部未 知力。又稱超靜定問(wèn)題。 實(shí)質(zhì)：未知力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目。第六章 簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題6.16.2 概述及拉壓靜不定問(wèn)題材料力學(xué)1.一、靜定靜不定概念第六章 簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題6.16.2 3、靜不定次數(shù)：未知力數(shù)目與平衡方程數(shù)目之差。 也是需要補(bǔ)充的方程數(shù)目。未知力：4個(gè)平衡方程：2個(gè)靜不定次數(shù) = 42 = 2需要補(bǔ)充2個(gè)方程此結(jié)構(gòu)可稱為2次靜不定結(jié)構(gòu)材料力學(xué)2.3、靜不定次數(shù)：未知力數(shù)目與平衡方程數(shù)目之差。未

2、知力：4個(gè)材5、多余約束力：多余約束提供的約束力。 靜不定次數(shù) = 多余約束力數(shù)目4、多余約束：結(jié)構(gòu)保持靜定所需約束之外的約束。若沒(méi)有這 些約束結(jié)構(gòu)也能保持一定的幾何形狀。(靜定)材料力學(xué)3.5、多余約束力：多余約束提供的約束力。4、多余約束：結(jié)構(gòu)保持二、拉壓靜不定問(wèn)題的解法 1、判斷靜不定次數(shù)； 2、列靜力平衡方程； 3、列幾何方程：反映各桿變形之間的幾何關(guān)系，具體問(wèn)題需 具體分析。一般通過(guò)“變形幾何圖”列方程。 特別注意：力與變形相對(duì)應(yīng)！ （即桿件的伸長(zhǎng)或縮短必須與受力圖的桿件的拉壓對(duì)應(yīng)） 4、列物理方程：變形與力的關(guān)系； 5、列補(bǔ)充方程：物理方程代入幾何方程即得 變形協(xié)調(diào)方程 。 材料力

3、學(xué)4.二、拉壓靜不定問(wèn)題的解法材料力學(xué)4.拉壓靜不定問(wèn)題的解法（1）靜力平衡方程力學(xué)原有基礎(chǔ)（2）變形協(xié)調(diào)方程幾何靈活思考（3）材料本構(gòu)方程物理構(gòu)筑橋梁（4）方程聯(lián)立求解代數(shù)綜合把握材料力學(xué)5.拉壓靜不定問(wèn)題的解法（1）靜力平衡方程力學(xué)原有基礎(chǔ)（解：1、判斷：一次靜不定。圖示結(jié)構(gòu)，求各桿軸力。FE2A2 l2E3A3 l3=E2A2 l2E1A1 l1ABCDFFN1FN3FN2xy2、列平衡方程3、列幾何(變形協(xié)調(diào))方程Dl3Dl14、列物理方程5、列補(bǔ)充方程將物理方程代入幾何方程得補(bǔ)充方程材料力學(xué)6.解：1、判斷：一次靜不定。圖示結(jié)構(gòu)，求各桿軸力。FE2A2 解得材料力學(xué)7.解得材料力學(xué)7

4、.OAB為剛性梁，寫幾何方程。llF450OABlllFaOABlbCOAB為剛性梁， 、兩桿材料相同，抗彎剛度相等，求兩桿軸力之比。Dl1Dl2Dl1材料力學(xué)8.OAB為剛性梁，寫幾何方程。llF450OABlllFaaaF450OABOAB為剛性梁，、兩桿材料相同，EA2=2EA1。求桿與桿的應(yīng)力之比。Dl1Dl2解：變形協(xié)調(diào)關(guān)系即由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程，考慮對(duì)O取矩得平衡方程，聯(lián)立求出兩桿軸力，再求應(yīng)力后得結(jié)果。小技巧材料力學(xué)9.aaF450OABOAB為剛性梁，、兩桿材料相同，EDl3Dl2FABCD300300l圖示支架承受力F 作用，桿的抗拉剛度為EA，桿的抗拉剛度為1.5EA，桿

5、的抗拉剛度為2EA。求各桿的軸力。解：平衡方程為AFFN1FN2FN3變形協(xié)調(diào)方程ADl1300300300300300化簡(jiǎn)得材料力學(xué)10.Dl3Dl2FABCD300300l圖示支架承受力F 物理關(guān)系為代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程聯(lián)立平衡方程求得求拉壓靜不定結(jié)構(gòu)注意事項(xiàng)內(nèi)力假設(shè)與變形假設(shè)應(yīng)一致。內(nèi)力假設(shè)受拉，變形只能假設(shè)伸長(zhǎng)。內(nèi)力假設(shè)受壓，變形只能假設(shè)縮短。材料力學(xué)11.物理關(guān)系為代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程聯(lián)立平衡方程求得求拉壓靜 2Dl2=Dl1 +Dl3 2(Dl2+Dl1 ) = Dl3 +Dl1 2(Dl2+Dl3 ) =Dl1 +Dl3幾何方程圖示靜不定結(jié)構(gòu)，可列如右變形圖。F剛 體

6、aa123（a）l1l2l3（b）l1l2l3（c）l1l2l3材料力學(xué)12. 2Dl2=Dl1 +Dl3 2(Dl2+Dl1 ) = D還可列出其它變形圖，但必須保證變形圖與受力圖一致。對(duì)應(yīng)受力圖FFN1FN2FN3（b）FFN1FN2FN3（c）FFN1FN2FN3（a）（a）l1l2l3（b）l1l2l3（c）l1l2l3材料力學(xué)13.還可列出其它變形圖，但必須保證變形圖與受力圖一致。對(duì)應(yīng)受力圖內(nèi)力按剛度比分配。思考：靜定結(jié)構(gòu)是否也是這樣？剛度較大內(nèi)力較大靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)（1）FABCDFABC剛度增加內(nèi)力不變材料力學(xué)14.內(nèi)力按剛度比分配。剛度較大靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)（1）FABCDF靜不

7、定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)（2） 裝配應(yīng)力ABCABCD靜定結(jié)構(gòu) 無(wú)裝配應(yīng)力靜不定結(jié)構(gòu) ？產(chǎn)生裝配應(yīng)力材料力學(xué)15.靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)（2） 解：因制造誤差，裝配時(shí)各桿必須變形， 因此產(chǎn)生裝配內(nèi)力。一次靜不定問(wèn)題。幾何方程：Dl1Dl2 / cosq =d平衡方程：FN2=FN3 FN12FN2cosq =0 已知三根桿EA相同，1桿有制造誤差d，求裝配后各桿的應(yīng)力。dq123lABCDqDl1Dl2FN1AFN3FN2qq物理方程代入幾何方程得變形協(xié)調(diào)方程，結(jié)合平衡方程求得物理方程：注意1桿變形計(jì)算時(shí)用l材料力學(xué)16.解：因制造誤差，裝配時(shí)各桿必須變形，一次靜不定問(wèn)題。幾何方程裝配應(yīng)力是不容忽視的，如：d

8、/l=0.001， E=200GPa， q =30 s1 =113MPa ，s2 = s3 =65.2MPa 正確注意：1桿伸長(zhǎng)，只能是拉力，2、3桿縮短 , 應(yīng)為壓力。FN1AFN3FN2qqFN1AFN3FN2qq不正確材料力學(xué)17.裝配應(yīng)力是不容忽視的，如：d /l=0.001， E=200圖示懸吊結(jié)構(gòu)AB梁剛性，各桿EA相同，桿3短，求各桿裝配應(yīng)力。l剛 體123aadAB解：1、平衡方程FN1FN2+FN3=0FN1=FN32、幾何方程Dl1Dl2Dl3即3、物理方程剛 體aABFN3aFN1FN23桿用理論長(zhǎng)度計(jì)算變形材料力學(xué)18.圖示懸吊結(jié)構(gòu)AB梁剛性，各桿EA相同，桿3短，求各

9、桿裝配應(yīng)4、補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立解得:變形協(xié)調(diào)關(guān)系平衡方程兩桿均為拉力，計(jì)算桿伸長(zhǎng)必須用理論長(zhǎng)度，不用實(shí)際長(zhǎng)度。AB為剛性梁，寫出所需方程。a2a450AdBCDl1Dl2材料力學(xué)19.4、補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立解得:變形協(xié)調(diào)關(guān)系平衡方程靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)（3） 溫度應(yīng)力ABC升溫T oC結(jié)構(gòu)不因溫度變化產(chǎn)生內(nèi)力ABCD升溫T oC結(jié)構(gòu)會(huì)因溫度變化產(chǎn)生內(nèi)力材料力學(xué)20.靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)（3） 溫度變化引起桿的長(zhǎng)度變化，多余約束限制了這個(gè)變化，引起溫度內(nèi)力。 幾何方程： Dl = Dlt-DlF = 0 物理方程： Dlt=alt， DlF =FNl / EAa為材料的線膨脹系數(shù)

10、 對(duì)于無(wú)約束的桿件，當(dāng)溫度變化為 時(shí)，桿件的變形為： 式中：a 材料的線膨脹系數(shù)。 圖示構(gòu)件因溫度變化引起的內(nèi)力lABFN材料力學(xué)21. 溫度變化引起桿的長(zhǎng)度變化，多余約束限制了這個(gè)變化，解：受力圖如圖示（設(shè)二桿均受壓）圖示結(jié)構(gòu)，EA及線膨脹系數(shù)a相同的兩桿和與剛體相連，當(dāng)桿溫度升高Dt度時(shí)，兩桿的內(nèi)力和應(yīng)力分別為多少？ l2lllAAFN1FN2FAxFAy列平衡方程 SMA=0桿在溫度影響下伸長(zhǎng)，在軸力作用下縮短，桿在軸力作用下縮短。剛體繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，變形幾何關(guān)系圖如圖示。qqDl1Dl2由圖可列出變形幾何關(guān)系方程 2Dl1=Dl2得結(jié)合平衡方程，求得材料力學(xué)22.解：受力圖如圖示（設(shè)二桿均受

11、壓）圖示結(jié)構(gòu)，EA及線膨脹系數(shù)a剛性梁AB懸掛于三根平行桿上。l=2m，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，d =0.2m。1桿由黃銅制成，E1=100GPa，A1=2cm2，a1=16.510-6/ 0C。2和3桿由碳鋼制成，E2=E3=200GPa，A2=1cm2， A3=3cm2 ，a2=a3=12.510-6/0C，F(xiàn)=40kN。 設(shè)溫度升高20 0C，求各桿的應(yīng)力。l剛 體123abdABcFFN2abdABcFFN1FN3解：平衡方程為FN1+FN2+FN3F=0FN1a+Fc FN3b=0變形協(xié)調(diào)方程為Dl1Dl2Dl3材料力學(xué)23.剛性梁AB懸掛于三根平行桿上。l=2m，a

12、=1.5m，b=1物理方程為物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程，再聯(lián)立平衡方程求得： FN1=7.92kN，F(xiàn)N2=10. 2kN，F(xiàn)N3=21.9kN由此求得應(yīng)力為s1=39.6MPa，s2=102MPa，s3=73MPaFN2abdABcFFN1FN3Dl1Dl2Dl3材料力學(xué)24.物理方程為物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程，再聯(lián)立平衡方程解: 受力分析,建立平衡方程未知力偶矩2個(gè)，平衡方程1個(gè)，一次超靜定變形分析,列變形協(xié)調(diào)方程聯(lián)立求解方程(a)與(b)建立補(bǔ)充方程代入上式試求圖示軸兩端的約束力偶矩。6.3 扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題材料力學(xué)25.解: 受力分析,建立平衡方程未知力偶矩2個(gè)，平衡方

13、程1AB設(shè)有A、B兩個(gè)凸緣的圓軸，在力偶M的作用下發(fā)生了變形。這時(shí)把一個(gè)薄壁圓筒與軸的凸緣焊接在一起，然后解除M。設(shè)軸和圓筒的抗扭剛度分別是G1Ip1和G2Ip2，試求軸內(nèi)和筒內(nèi)的扭矩。MM解：由于筒與軸的凸緣焊接在一起，外加力偶M解除后，圓軸必然力圖恢復(fù)其扭轉(zhuǎn)變形，而圓筒則阻抗其恢復(fù)。這就使得在軸內(nèi)和筒內(nèi)分別出現(xiàn)扭矩T1和T2。設(shè)想用橫截面把軸與筒切開，因這時(shí)已無(wú)外力偶矩作用，平衡方程為T1T2T1-T2=0材料力學(xué)26.AB設(shè)有A、B兩個(gè)凸緣的圓軸，在力偶M的作用下發(fā)生了變形。這焊接前軸在M作用下的扭轉(zhuǎn)角為MMjj2j1變形協(xié)調(diào)條件T1T2=0材料力學(xué)27.焊接前軸在M作用下的扭轉(zhuǎn)角為MM

14、jj2j1變形協(xié)調(diào)條件T1一、相當(dāng)系統(tǒng)的建立 1、相當(dāng)系統(tǒng)的特點(diǎn)： 靜定結(jié)構(gòu)； 含有多余約束力； 主動(dòng)力與原結(jié)構(gòu)相同。 2、建立相當(dāng)系統(tǒng)的步驟： 判斷靜不定次數(shù)； 解除多余約束，代之以多余約束力； 其余照原問(wèn)題畫。 6.4 彎曲簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題材料力學(xué)28.一、相當(dāng)系統(tǒng)的建立6.4 彎曲簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題材料力學(xué)28解：建立相當(dāng)系統(tǒng)=處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。確定靜不定次數(shù)，用多余約束力代替多余約束所得到的靜定結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)。B畫出圖示靜不定結(jié)構(gòu)的彎矩圖。qlAEIMAqlAEIB或FBqlAEIB幾何方程變形協(xié)調(diào)方程物理方程變形與力的關(guān)系材料力學(xué)29.解

15、：建立相當(dāng)系統(tǒng)=處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方補(bǔ)充方程求解其它問(wèn)題（應(yīng)力、變形等）FBqlAEIB+=FBlAEIBqlAEIBMBqlAEI彎矩圖材料力學(xué)30.補(bǔ)充方程求解其它問(wèn)題（應(yīng)力、變形等）FBqlAEIB+=解：相當(dāng)系統(tǒng)如圖，任意x截面彎矩為lFBABqx時(shí)彎矩取極值固定端處彎矩為當(dāng) 時(shí)，梁的受力最合理。從強(qiáng)度角度考慮為了使梁的受力最合理，將支座向上移動(dòng)D，試求該D值，并作彎矩圖。lABqDEI材料力學(xué)31.解：相當(dāng)系統(tǒng)如圖，任意x截面彎矩為lFBABqx時(shí)彎矩取極值支座B端上移兩種情形彎矩圖的對(duì)比。FBlABqDEIMlABqEIMlABqDEI材料力學(xué)32.支座B端上移

16、兩種情形彎矩圖的對(duì)比。FBlABqDEIMlA幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程解：建立相當(dāng)系統(tǒng)=FBqlAEIB物理方程變形與力的關(guān)系結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)約束力。EACqlAEIBlBC=+FBlAEIBqlABEI材料力學(xué)33.幾何方程解：建立相當(dāng)系統(tǒng)=FBqlAEIB物理方程物理方程變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問(wèn)題（內(nèi)力、應(yīng)力、 變形等）=+FBlAEIBEACqlAEIBlBCqlABEI材料力學(xué)34.物理方程變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問(wèn)題（內(nèi)力、ABClldllABCd超靜定梁的裝配應(yīng)力圖示三支座等截面梁，由于制造不精確，軸承有高低。已知梁的抗彎剛度EI及d 和l ，求兩種情況下的最大彎矩。B

17、BdAClldFBllACFB解：各梁的相當(dāng)系統(tǒng)如圖材料力學(xué)35.ABClldllABCd超靜定梁的裝配應(yīng)力BBdAClldFl450F懸臂梁的自由端與光滑斜面恰好接觸。若溫度升高DT，試求梁內(nèi)最大彎矩。設(shè)E、A、I、a已知，且梁的自重和軸力對(duì)彎曲變形的影響可略去不計(jì)。l450解：溫度升高后，斜面對(duì)梁的約 束力如圖所示，其變形為伸 長(zhǎng)和彎曲同時(shí)發(fā)生。變形協(xié)調(diào)方程為伸長(zhǎng)和彎曲變形相等。即解得：材料力學(xué)36.l450F懸臂梁的自由端與光滑斜面恰好接觸。l450解：溫度懸臂梁AB，用短梁DG加固，試分析加固效果。P209，6-17解：1、靜不定分析2、加固效果分析最大彎矩減少 62.5%與 相比，減

18、少39.1%Fl加固前加固后材料力學(xué)37.懸臂梁AB，用短梁DG加固，試分析加固效果。P209，6-1懸臂梁同時(shí)受拉桿約束，試求桿BC的軸力。解：梁的軸向變形一般忽略不計(jì)如考慮梁的軸向變形，如何求解?解除約束代約束力并考慮變形幾何關(guān)系。BBDlCBDlABwB材料力學(xué)38.懸臂梁同時(shí)受拉桿約束，試求桿BC的軸力。解：梁的軸向變形一般梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。 FB FBwB1wB2解：解除B處約束代之以約束力，使超靜 定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：物理關(guān)系物理關(guān)系代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程：材料力

19、學(xué)39.梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI由此可以確定A端和C端的約束力。FAFCMCMAFS（kN）71.258.7548.754.4375mM（kNm）12511517.51.91材料力學(xué)40.由此可以確定A端和C端的約束力。FAFCMCMAFS（kN）長(zhǎng)為l，剛度為EI的梁兩端固定，承受均布荷載作用，畫出梁的彎矩圖并求跨中的撓度。P208，6-15lqABC解：此結(jié)構(gòu)為對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱外力作用，所以在對(duì)稱軸處對(duì)稱內(nèi)力(彎矩)不等于零，反對(duì)稱內(nèi)力(剪力)等于零。對(duì)稱軸處對(duì)稱位移(撓度)不等于零，反對(duì)稱位移(轉(zhuǎn)角)等于零。于是相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示。l/2qACMCwC補(bǔ)充方程為跨中撓度為M圖求得材料力學(xué)41.長(zhǎng)為l，剛度為EI的梁兩端固定，承受均布荷載作用，畫出梁的彎解：相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示，其變形 幾何關(guān)系為M圖P209，6-19高度為h的等截面梁兩端固定,支座B下沉D，求smax=?求得材料力學(xué)42.解：相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示，其變形M圖P209，6-1