1、1課時(shí)突破 數(shù)列高考小題等差數(shù)列、等比數(shù)列關(guān)鍵能力應(yīng)用實(shí)踐考向一等差、等比數(shù)列的基本量計(jì)算【多維題組】速通關(guān)1.已知p:數(shù)列an是等差數(shù)列,q:數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=k1n+k2(k1,k2均為常數(shù)),則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.若an是等差數(shù)列,不妨設(shè)公差為d.所以an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,令k1=d,k2=a1-d,則an=k1n+k2,若數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=k1n+k2(k1,k2為常數(shù),nN*),則當(dāng)n2且nN*時(shí),an-1=k1(n-1)+k2,所以an-an-1=k1(常數(shù))(n2且nN*

2、),所以an為等差數(shù)列,所以p是q的充要條件.2.(2020全國(guó)卷)數(shù)列 中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,則k=()A.2B.3C.4D.5【解析】選C.取m=1,則an+1=a1an,又a1=2,所以 =2,所以 是等比數(shù)列,則an=2n,所以ak+1+ak+2+ak+10= =2k+11-2k+1=215-25,所以k=4.3.(2020北京高考)在等差數(shù)列an中,a1=-9,a5=-1.記Tn=a1a2an(n=1,2,),則數(shù)列Tn()A.有最大項(xiàng),有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng),有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)【解析】選B.

3、設(shè)公差為d,因?yàn)閍1=-9,a5=a1+4d=-1,所以d=2,所以a1,a50,所以T10,T30,T50,前n項(xiàng)和為Sn,若2a3,a5,3a4成等差數(shù)列,a2a4a6=64,則q=_,Sn=_.【解析】由2a3,a5,3a4成等差數(shù)列得2a5=2a3+3a42q2=2+3qq=2(負(fù)值舍去),a2a4a6=64 =64a4=4a1= ,Sn= .答案:2 【技法點(diǎn)撥】提素養(yǎng)等差、等比數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題的求解策略(1)抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.(2)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)性、周期性等,可利用函數(shù)的性質(zhì)解題.(3)利用

4、數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算時(shí),要利用整體思想,可以減少計(jì)算量,此方法還適用于求函數(shù)值、求函數(shù)的解析式等問(wèn)題.【加練備選】紙張的規(guī)格是指紙張制成后,經(jīng)過(guò)修整切邊,裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國(guó)采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn),規(guī)定以A0、A1、A2、B1、B2等標(biāo)記來(lái)表示紙張的幅面規(guī)格.復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列,其中系列的幅面規(guī)格為:A0、A1、A2、A8所有規(guī)格的紙張的幅寬(以x表示)和長(zhǎng)度(以y表示)的比例關(guān)系都為xy=1 ;將A0紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等份,便成為A1規(guī)格,A1紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等份,便成為A2規(guī)格,如此對(duì)開(kāi)至A8規(guī)格.現(xiàn)有A0、A1、A2、A8紙各一張.若A4紙的寬度為2 dm,則A0紙的面積

5、為_(kāi)dm2;這9張紙的面積之和等于_dm2.【解析】可設(shè)Ai 的紙張的長(zhǎng)度為ai+1,面積為Si+1,Ai的幅寬為 ai+1,A 的長(zhǎng)度為ai+2= ai+1,所以,數(shù)列 是以 為公比的等比數(shù)列,由題意知A4紙的寬度為 a5=2,所以a5=2 ,所以a1= ,所以A0紙的面積為S1= (dm2).又Sn= ,所以 ,所以,數(shù)列 是以64 為首項(xiàng),以 為公比的等比數(shù)列,因此,這9張紙的面積之和等于 (dm2).答案:64 題組訓(xùn)練素養(yǎng)提升【新題速遞】1.等比數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn,若a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,則S12=()A.15B.30C.45D.60【解析】選C.由題意,等

6、比數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn,滿足a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,則 ,所以a7+a8+a9=12,a10+a11+a12=24,則S12=a1+a2+a3+a10+a11+a12=45.2.已知等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn,且a1, ,a4成公比為q的等比數(shù)列,則q等于()A.1或2B.2C.1D.2或4【解析】選A.因?yàn)閍1, ,a4成公比為q的等比數(shù)列,所以 =a1a4,又因?yàn)?為等差數(shù)列,設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,所以 =a1a4,所以 =a1 ,即 =0,即d=0或d=a1.所以q= =1或q= =2.3.(2020泰安二模)若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a

7、12=2e5,則ln a1+ln a2+ln a20=_.【解析】因?yàn)閍10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5.所以ln a1+ln a2+ln a20=ln(a1a2a20)=ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50ln e=50.答案:504.已知數(shù)列 滿足:對(duì)任意nN*均有an+1=pan+2p-2(p為常數(shù),p0且p1),若a2,a3,a4,a5-18,-6,-2,6,11,30,則a1的所有可能取值的集合是_.【解析】因?yàn)閍n+1=pan+2p-2,所以an+1+2=p(

8、an+2),所以若a1=-2,則a1+1+2=p(a1+2)=0,a2=-2,同理可得,a3=a4=a5=-2,即a1=-2符合題意;若a1-2,p為不等于0與1的常數(shù),則數(shù)列an+2是以p為公比的等比數(shù)列,因?yàn)閍i-18,-6,-2,6,11,30,i=2,3,4,5,an+2可以取-16,-4,8,32,所以若|p|1,則p=-2,由a2+2=-4=-2(a1+2)得:a1=0;若|p|0,所以q= .2.(2019全國(guó)卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)的和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=()A.16B.8C.4D.2【解析】選C.設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比為q,由已知

9、得,a1q4=3a1q2+4a1,因?yàn)閍10且q0,則可解得q=2,又因?yàn)閍1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,則a3=a1q2=4.3.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若 則 =() 【解析】選A.設(shè)公差為d,則 所以 4.已知數(shù)列an為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7【解析】選D.設(shè)數(shù)列an的公比為q.由題意,得所以 或解得 或 當(dāng) 時(shí),a1+a10=a1(1+q9)=1+(-2)3=-7;當(dāng) 時(shí),a1+a10=a1(1+q9)=(-8) =-7.綜上,a1+a10=-7.5.已知等比數(shù)列an公比為q,其前n項(xiàng)和為Sn

10、,若S3,S9,S6成等差數(shù)列,則q3等于()A.- B.1C.- 或1D.-1或 【解析】選A.若q=1,則3a1+6a1=29a1,得a1=0,矛盾,故q1.所以 解得q3=- 或1(舍).6.等差數(shù)列an中,已知|a6|=|a11|,且公差d0,則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)n的值為()A.6B.7C.8D.9【解析】選C.由d0可得等差數(shù)列an是遞增數(shù)列,又|a6|=|a11|,所以-a6=a11,即-a1-5d=a1+10d,所以a1=- ,則a8=- 0,所以前8項(xiàng)和為前n項(xiàng)和的最小值,故選C.7.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,an+1=Sn,若an(0,2 020),則稱項(xiàng)a

11、n為“和諧項(xiàng)”,則數(shù)列an的所有“和諧項(xiàng)”的平方和為()A. 411+ B. 411- C. 410+ D. 412- 【解析】選A.因?yàn)閍n+1=Sn,所以an=Sn-1(n2),則an+1-an=Sn-Sn-1,即an+1-an=an,an+1=2an, =2,因?yàn)閍1=2,所以a2=S1=a1=2,故an= 因?yàn)閍n(0,2 020),所以1n11,數(shù)列an的所有“和諧項(xiàng)”的平方和為 8.已知a1,a2,a3,a4依次成等比數(shù)列,且公比q不為1,將此數(shù)列刪去一個(gè)數(shù)后得到的數(shù)列(按原來(lái)的順序)是等差數(shù)列,則正數(shù)q的值是()【解析】選B.因?yàn)楣萹不為1,所以刪去的數(shù)不是a1,a4.若刪去a

12、2,則由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3,又a10,所以2q2=1+q3,整理得q2(q-1)=(q-1)(q+1).又q1,所以q2=q+1,又q0,得q= ;若刪去a3,則由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3,又a10,所以2q=1+q3,整理得q(q+1)(q-1)=q-1.又q1,則可得q(q+1)=1,又q0,得q= .綜上所述,q= .二、多項(xiàng)選擇題(共20分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,則()A.Sn+1-Sn=2n+1B.an=2n-1C.Sn=

13、2n-1D.Sn=2n-1-1【解析】選BC.由a2a3a4=64得 =43,則a3=4.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0),由a2+a4=10,得 +4q=10,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q= .又因?yàn)閿?shù)列an單調(diào)遞增,所以q=2,所以2a1+8a1=10,解得a1=1.所以an=2n-1,Sn= =2n-1,所以Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n.10.數(shù)列Fn:1,1,2,3,5,8,13,21,34,稱為斐波那契數(shù)列,是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的,故又稱為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始,每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和.記數(shù)列Fn的前

14、n項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論正確的是()A.S5=F7-1B.S5=S6-1C.S2 019=F2 021-1D.S2 019=F2 020-1【解析】選AC.根據(jù)題意有Fn=Fn-1+Fn-2(n3),所以S3=F1+F2+F3=1+F1+F2+F3-1=F3+F2+F3-1=F4+F3-1=F5-1,S4=F4+S3=F4+F5-1=F6-1,S5=F5+S4=F5+F6-1=F7-1,所以S2 019=F2 021-1.11.等差數(shù)列an是遞增數(shù)列,滿足a7=3a5,前n項(xiàng)和為Sn,下列選擇項(xiàng)正確的是()A.d0B.a10時(shí)n的最小值為8【解析】選ABD.由題意,設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因

15、為a7=3a5,可得a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d,又由等差數(shù)列an是遞增數(shù)列,可知d0,則a10,解得n7,即Sn0時(shí)n的最小值為8,故D正確.12.已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,bn是公差不為0的等差數(shù)列,且a2=b2,a8=b8,則()A.a5=b5B.a5b5C.a4b6【解析】選BC.方法一:設(shè)an的公比為q(q0),bn的公差為d(d0).a5= ,b5= ,由基本不等式得 ,當(dāng)且僅當(dāng)a2=a8時(shí)等號(hào)成立.易知數(shù)列bn不是常數(shù)列,故B正確,A錯(cuò)誤.因?yàn)閍2q6=a8=b8=b2+6d=a2+6d,所以d= ,所以a4-b4=a2q2-(b2+2d)=a2q2

16、-a2-2d=a2 = (3q2-q6-2)= (q2-q6+2q2-2)= (1-q2)(q4+q2-2)=- (1-q2)2(q2+2)0,a6-b6=a2q4-a2-4d= (3q4-1-2q6)=- (1-q2)2(2q2+1)0),bn的公差為d(d0).an=a1qn-1= qn,bn=b1+(n-1)d=b1-d+nd,將其分別理解成關(guān)于n的類指數(shù)函數(shù)(指數(shù)函數(shù)的圖象為下凹曲線)和一次函數(shù)(一次函數(shù)的圖象為直線),則兩函數(shù)圖象在n=2,n=8處相交,故anbn(3n7),從而a4b4,a5b5,a6b6.【加練備選】若正項(xiàng)數(shù)列an滿足an+1=an-ln an,0a1nC.對(duì)任意

17、的nN*,恒有0Tn0),則f(x)=1- = ,所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增,故f(x)min=f(1)=1.又an+1=an-ln an,所以an+11,A正確;因?yàn)?a11,即0S11,所以B錯(cuò)誤;因?yàn)閍n+1=an-ln an,所以an-an+1=ln an,所以a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+(an-an+1)=ln a1+ln a2+ln an=ln(a1a2an)0,故a1a2an1,即0Tnn-11,故SnTn,D正確.三、填空題(共4小題,每小題5分,共20分)13.(2020全國(guó)卷)數(shù)列an滿足an+2+(-1)nan=3n

18、-1,前16項(xiàng)和為540,則a1=_.【解析】an+2+(-1)nan=3n-1,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+2=an+3n-1;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+2+an=3n-1.設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn,S16=a1+a2+a3+a4+a16=a1+a3+a5+a15+(a2+a4)+(a14+a16)=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540,所以a1=7.答案:7【加練備選】設(shè)an是公差不為零的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,已知S1,S2,S4成等比數(shù)列,且a

19、3=5,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi).【解析】設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0),因?yàn)閍n是等差數(shù)列,S1,S2,S4成等比數(shù)列,所以(a1+a2)2=a1(a1+a2+a3+a4),因?yàn)閍3=5,所以(5-2d+5-d)2=(5-2d)(5-2d+15),解得d=2或d=0(舍去),所以5=a1+(3-1)2,即a1=1,所以an=2n-1.答案:an=2n-114.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足對(duì)任意的正整數(shù)n,均有Sn+3=8Sn+3,則a1=_,公比q=_.【解析】由Sn+3=8Sn+3,則Sn+2=8Sn-1+3,兩式相減得,an+3=8ananq3=8an,則q3=8q=2,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得,即2n+3a1-a1=82na1