1、高考直通車 2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備課手冊(cè)第61課等差數(shù)列一、教學(xué)目標(biāo)理解等差數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，體會(huì)基本量的方法與方程的思想；能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)等差關(guān)系，并能運(yùn)用有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題；理解等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.二、基礎(chǔ)知識(shí)回顧與梳理1、 設(shè)公差為2的等差數(shù)列，若氣+ a4 + a7 + a997 50，那么a3 +氣+ a + a。等于* 【教學(xué)建議】本題主要是幫助學(xué)生復(fù)習(xí)不會(huì)整體代入，有整體代入的思想.教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生先口答.結(jié)合本題，強(qiáng)調(diào)整體的思想.解析：因?yàn)?a + a + a + a ,a + a + a + a ，a + a4 + a +

2、a9 成等差，公差為33d 66 t殳 a3 + a+ a9 + + a99 x， 則 a+ a5 + a + + a9 = x 33d，x, x 33d ,50 成等差數(shù)列，即 2x +132 x + 50 得x 82. *2、 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和是15,它們的平方和等于83,則這三個(gè)數(shù)為.【教學(xué)建議】本題選自課本第38頁(yè)習(xí)題.本題主要是幫助學(xué)生復(fù)習(xí)如何設(shè)未知數(shù).若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù) 列，且和為定值時(shí)，可設(shè)中間三個(gè)數(shù)為a -d , a , a + d ,偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間 兩數(shù)為a -d , a + d .3、 一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和

3、與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32 : 27,則0公差d=. 【教學(xué)建議】本題選自課本第44頁(yè)習(xí)題.本題主要是幫助學(xué)生復(fù)習(xí)性質(zhì).思路1：運(yùn)用性質(zhì)，若成等差數(shù)列（其中e N * ），則a.也成等差數(shù)列.知等差數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)， 奇數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成首項(xiàng)為a + d,公差為2d,以及首項(xiàng)為a，公差為2d的等差數(shù)列.直接利用等差數(shù)列的求 和公式可解決問(wèn)題；11思路2：若能巧用整體思想，活用等差數(shù)列的性質(zhì)：記等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶， 若a 共有 n 2k 項(xiàng)，則 S S = kd，% 4 ；若a 共有 n 2k 1 項(xiàng)，則 S S a， n偶 奇San奇 偶 kS = n - a 奇，解決問(wèn)題則顯得簡(jiǎn)

4、捷明快.n k S n 14、 已知等差數(shù)列a“中，a1 3,11a5 5a8，則前n項(xiàng)和孔的最小值為.【教學(xué)建議】本題選自課本第44頁(yè)習(xí)題.“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之 和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和.法一：由不等式組法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）（即找正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)）a 0，且a a =-16，a + a = 0，則數(shù)列a 的通項(xiàng)公式為n3 746n【分析與點(diǎn)評(píng)】方法1可以直接根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，得到關(guān)于a1，d的二元二次方程組，解出a,d，從而求出通項(xiàng)公式，方法2利用等差數(shù)列的性質(zhì)a + a = a +

5、a = 0再由a a = -16， d 0解得a = -4,a = 4，從而可46373 737以求出公差為2,得通項(xiàng)公式為an = 2n -10本題主要考查對(duì)等差數(shù)列的基本量的運(yùn)用以及等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)的運(yùn)用。3、要點(diǎn)歸納強(qiáng)化“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中運(yùn)用，用“基本量法”方法求解是處理 數(shù)列問(wèn)題的基本方法，要求學(xué)生熟練掌握.同時(shí)強(qiáng)調(diào)，并不是每道題都有捷徑，要充分合理地運(yùn)用條件， 時(shí)刻注意求解的目標(biāo)，選擇方法時(shí)要慎重；等差數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差數(shù)列問(wèn)題的既快捷又方便的工具，應(yīng)有意 識(shí)去應(yīng)用；在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形；

6、等差數(shù)列的所有問(wèn)題都要向通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化；在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題，是必須具備的能力四、范例導(dǎo)析a =50.求/ %前n項(xiàng)和Tn I n例1已知等差數(shù)列aa =50.求/ %前n項(xiàng)和Tn I n(1)求通項(xiàng)a ；(2)若S =242，求n ；(3)【教學(xué)處理】在提問(wèn)學(xué)生問(wèn)題討論交流后，可教師板書示范，也可讓學(xué)生練習(xí)、板演后點(diǎn)評(píng).【引導(dǎo)分析與精講建議】1、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求七和d，運(yùn)用了方程的思想,一般地，可由a = a, a = b,得a + (m 一 1) d = aj 1,求出a和d，從而確定通項(xiàng).a1+ (n -Dd=b1

7、化歸為首項(xiàng)、公差(公比)和項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)列方程(組)解決問(wèn)題.這是研究等差(等比)數(shù)列 的最基本方法.也可從等差數(shù)列中任意兩項(xiàng)之間關(guān)系入手(a = a + (n - m)d ).2、通項(xiàng)公式法：a = kn + b (k , b是常數(shù))(n GN*) o ia 是等差數(shù)列；nn證明數(shù)列a 是等差數(shù)列的兩種基本方法是：(1)利用定義，證明an+1 -an = d (常數(shù))(n e N-);(2)利用等差中項(xiàng)，即證明2 a = a + a( n N 2).例2已知數(shù)列a 的首項(xiàng)a = 3：通項(xiàng)a與與前n項(xiàng)和為S之間滿足2a = S S (n 2).n1nnn n n-1,1求證：是等差數(shù)列，

8、并求公差；Sn求數(shù)列a”的通項(xiàng)公式；數(shù)列an中是否存在自然數(shù)k，使得不等式aka.對(duì)任意大于等于k的自然數(shù)都成立？若存在求出最小的k值；若不存在，說(shuō)明理由.【教學(xué)處理】先給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，然后指名學(xué)生回答問(wèn)題(1)，學(xué)生評(píng)議，教師評(píng)點(diǎn)并板書過(guò)程。問(wèn)題(1)結(jié)束后，可讓學(xué)生板書問(wèn)題(2)，并思考問(wèn)題(3)，學(xué)生討論后回答，教師板書、點(diǎn)評(píng)問(wèn)題3)?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】(1 )利用a與S的關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)a與S的相互轉(zhuǎn)化，由已知中2a = S S (n 2)，我們易得n nn nn n n -12( S - S ) = S S ，兩邊同除以S S 后，即可得到1 - 1 =- 1 (n 2)，即數(shù)

9、列】是以1為公 TOC o 1-5 h z nn-1n n-1n n-1S S2S3.一、，一1、，一 一 ，1、 一一、差等差數(shù)列，再由首項(xiàng)a =3，代入求出數(shù)列的首項(xiàng)，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；nn由(1)的結(jié)論，結(jié)合2a = S S (n 2)，我們可以得到n2時(shí)，a 的通項(xiàng)公式，結(jié)合首項(xiàng)a =3,n n n -1n1我們可以得到a 的通項(xiàng)公式；n令ak小解不等式我們可以求出滿足條件的取值范圍，再根據(jù)k 6 N，即可得到滿足條件的k值.本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差關(guān)系的確定，數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的遞推公式.要判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列最常用的辦法就是根據(jù)定義，判斷a -a 1是否為一個(gè)常數(shù).a

10、21例3改為 已知數(shù)列a 滿足a1 = 2a,a = a(n 2)其中a是不為0的常數(shù)，令b =n-1n 求證：數(shù)列b“是等差數(shù)列. 求數(shù)列a,的通項(xiàng)公式.【教學(xué)處理】要求學(xué)生獨(dú)立思考解題，指名學(xué)生板演，老師巡視指導(dǎo)了解學(xué)情；再結(jié)合板演情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng). 【引導(dǎo)分析與精講建議】問(wèn)題：證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法有哪些？引導(dǎo)學(xué)生利用定義法，求與- 1 、1 一_ 一 、， ，1代入化簡(jiǎn)得常數(shù)一，由第一問(wèn)可以求出數(shù)列氣的通項(xiàng)公式，根據(jù)b =可以找出氣與七的等式n關(guān)系，求出七。【備用】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn ,且2/號(hào)=an + 1 .（1） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)b =1，數(shù)列數(shù)列b“的

11、前n項(xiàng)和Bn，求證：B -.【說(shuō)明】（1）求得a e1 ,a = 3,a = 5,，可以歸納猜想a = 2n 1，所以下面考慮將2、iS = a + 1向 等差數(shù)列轉(zhuǎn)化.（2）分析通項(xiàng)的特征，考慮裂項(xiàng)相消求和 遞推是學(xué)好數(shù)列的重要思想，本題由4Sn = （a” + 1）2推出4Sn+1 = （a叫+ 1）2，它其實(shí)就是函數(shù)中的變量代換法.在數(shù)列中一般用n 1 , n +1等 去代替n：實(shí)際上也就是說(shuō)已知條件中的遞推關(guān)系是關(guān)于n的恒等式，代換就是對(duì)n賦值.五、解題反思確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是確定首項(xiàng)匕和公差d .解決等差（比）數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類方法： 基本量法，即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a和d（q

12、 ）的方程；巧妙運(yùn)用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)（如下標(biāo)和的性質(zhì)、 子數(shù)列的性質(zhì)、和的性質(zhì)）.一般地，運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，可化繁為簡(jiǎn).等差數(shù)列通項(xiàng)公式中聯(lián)系著五個(gè)量：a，d，n，a，S，根據(jù)方程的思想已知其中三個(gè)量，可求出1n n另外兩個(gè)量.若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且和為定值時(shí)，可設(shè)中間三個(gè)數(shù)為a -d，a，a + d，偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間兩數(shù)為a -d，a + d .數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，求解數(shù)列的問(wèn)題時(shí)要注意函數(shù)思想，方程思想及化歸思想的應(yīng)用.an為等差數(shù)列0a a = d （定義）2 a = a + aa匚An + b （關(guān)于n的“一次函數(shù)”）S = An2 + Bn （缺常數(shù)項(xiàng)的“二次函 數(shù)”） nSn (a + a )n （n 一 1）.一一、，.、.+ d中，有五個(gè)量a、a，n，a，S通過(guò)解方程（組）知三可求二，a和n2121 nn1d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知，是常用的方法.方程（組）的數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列部 分應(yīng)用很廣泛，注意運(yùn)用.求等差數(shù)列S最值有三法：借助求和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)的特點(diǎn)，用配方法求解;借助等差數(shù)列的 性質(zhì)判斷，通過(guò)”轉(zhuǎn)折項(xiàng)”求解;借助二次函數(shù)圖象求解.（經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）啟示：尋找分界點(diǎn)Fn - 0或。尸0 ；借助二次函數(shù)圖象；等差數(shù)列中前n項(xiàng)和有