1、題 3.1：質(zhì)量為 m 的物體，由水平面上點 O 以初速為 v0 拋出， v0 與水平面成仰角 。若不計空氣阻力，求：（ 1）物體從發(fā)射點 O 到最高點的過程中，重力的沖量； （ 2）物體從發(fā)射點到落回至同一水平面的過程中，重力的沖量。題 3.1 分析： 重力是恒力，因此，求其在一段時間內(nèi)的沖量時，只需求出時間間隔即可。由拋體運動規(guī)律可知，物體到達最高點的時間v0sint1，物體從出發(fā)到落回至同一水平面g所需的時間是到達最高點時間的兩倍。這樣，按沖量的定義即可求出結(jié)果。另一種解的方法是根據(jù)過程的始、末動量，由動量定理求出。解 1：物體從出發(fā)到達最高點所需的時間為v0 sint1g則物體落回地面

2、的時間為2v0 sint22 t1g于是，在相應(yīng)的過程中重力的沖量分別為I 1F dtt1mg t1 jmv0sinjI 2F dtt2mg t2j2mv0 sinj解 2：根據(jù)動量定理，物體由發(fā)射點O 運動到A、 B 的過程中，重力的沖量分別為I 1mvAyjmv0y jmv0 sinjI 2mvByjmv0y j2mv0 sinj題 3.2：高空作業(yè)時系安全帶是必要的，假如質(zhì)量為51.0kg 的人不慎從高空掉下來，由于安全帶的保護， 使他最終被懸掛起來。已知此時人離原處的距離為2 米，安全帶的緩沖作用時間為 0.50 秒。求安全帶對人的平均沖力。題 3.2 解 1：以人為研究對象，在自由落

3、體運動過程中，人跌落至2 m 處時的速度為2 gh1）在緩沖過程中，人受重力和安全帶沖力的作用，根據(jù)動量定理，有vFP tmv2mv1 （ 2）由（ 1）式、（ 2）式可得安全帶對人的平均沖力大小為Fmgmvm 2gh3tmg1.14 10 Nt解 2：從整個過程來討論，根據(jù)動量定理有Fmg2h / gmg 1.14 103Nt題3.3 ：如圖所示，在水平地面上，有一橫截面S 0.20 m 2 的直角彎管，管中有流速為v3.0 ms 1 的水通過，求彎管所受力的大小和方向。題 3.3解：在t 時間內(nèi)， 從管一端流入 （或流出）水的質(zhì)量為m vS t ,彎曲部分 AB 的水的動量的增量則為pm

4、vBvAvS t vB vA依據(jù)動量定理Ip ，得到管壁對這部分水的平均沖力FISv vBvAt從而可得水流對管壁作用力的大小為FF2Sv22.5 103 N作用力的方向則沿直角平分線指向彎管外側(cè)。題 3.4：一作斜拋運動的物體， 在最高點炸裂為質(zhì)量相等的兩塊，最高點距離地面為19.6 m 。爆炸 1.00s后，第一塊落到爆炸點正下方的地面上，此處距拋出點的水平距離為1.00102 m 。問第二塊落在距拋出點多遠的地面上？(設(shè)空氣的阻力不計 )題 3.4 解：取如圖示坐標， 根據(jù)拋體運動的規(guī)律， 爆炸前，物體在最高點 A 的速度的水平分量為v0 xx1x1g （ 1）t02h物體爆炸后，第一塊

5、碎片豎直落下的運動方程為y1 h v1t1gt 22當該碎片落地時，有y10, tt1 ，則由上式得爆炸后第一塊碎片拋出的速度h1 gt12v12（2）t1又根據(jù)動量守恒定律，在最高點處有mv0 x1 mv2x （ 3）2011mv1mv2y （4）22聯(lián)立解式（1）、（ 2）、（ 3）和（ 4），可得爆炸后第二塊碎片拋出時的速度分量分別為v2x2v0 x2 x1g100 m s 12hh1 gt12v2yv121t114.7 m s爆炸后，第二塊碎片斜拋運動，其運動方程為x2x1 v2x t2y h v2 y t21 gt222落地時， y2 0，由（ 5）、（ 6）可解得第二塊碎片落地點的

6、水平位置x2500 m題 3.5： A 、 B 兩船在平靜的湖面上平行逆向航行，當兩船擦肩相遇時，兩船各自向?qū)Ψ狡椒€(wěn)地傳遞 50 kg 的重物， 結(jié)果是 A 船停了下來， 而 B 船以 3.4 m s 1 的速度繼續(xù)向前駛?cè)ァ 、B 兩船原有質(zhì)量分別為0.510 3 kg 和 1.010 3 kg ，求在傳遞重物前兩船的速度。(忽略水對船的阻力 )題 3.5 分析： 由于兩船橫向傳遞的速度可略去不計，則對搬出重物后的船A與從船 B搬入的重物所組成的系統(tǒng)I來講，在水平方向上無外力作用，因此，它們相互作用的過程中應(yīng)滿足動量守恒；同樣，對搬出重物后的船B 與從船 A 搬入的重物所組成的系統(tǒng)II 亦

7、是這樣。由此，分別列出系統(tǒng)I、 II的動量守恒方程即可解出結(jié)果。解： 設(shè) A 、B 兩船原有的速度分別以vA 、 vB 表示，傳遞重物后船的速度分別以v A 、 vB 表示，被搬運重物的質(zhì)量以m 表示。分別對上述系統(tǒng)I、 II 應(yīng)用動量守恒定律，則有mAm vAmvBmA vA （ 1）mBm vBmvAmBvB （ 2）由題意知vA= 0， vB = 3.4 ms1 代入數(shù)據(jù)后，可解得vAmBmB mvB20.40 m s 1m mAmmvBmAm mB vBm23.6 m s 1mAm mBm也可以選擇不同的系統(tǒng)，例如，把A 、B 兩船（包括傳遞的物體在內(nèi)）視為系統(tǒng)，同樣能滿足動量守恒，也

8、可以列出相應(yīng)的方程求解。題 3.6：質(zhì)量為 m 的人手里拿著一個質(zhì)量為m 的物體， 此人用與水平面成角的速率 v0 向前跳去。當他達到最高點時，他將物體以相對于人為 u 的水平速率向后拋出。問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點）題 3.6 解： 取如圖所示坐標。把人與物體視為一系統(tǒng)，當人跳躍到最高點處，在向左拋物過程中，滿足動量守恒，故有mm v0 cosm vm v u式中 v 為人拋物后相對地面的水平速度，v u 為拋出物對地面的水平速度。得vv0 cosmumm人的水平速度的增量為vv v0 cosmumm而人從最高點到地面的運動時間為v0 sin g所以，人跳

9、躍后增加的距離x vtmv0sinumm g題 3.7：鐵路上有一靜止的平板車，其質(zhì)量為m ，設(shè)平板車可無摩擦地在水平軌道上運動?，F(xiàn)有 N 個人從平板車的后端跳下， 每個人的質(zhì)量均為 m ，相對平板車的速度均為 u 。問： 在下列兩種情況下， （ 1） N 個人同時跳離； （ 2）一個人、一個人地跳離，平板車的末速是多少?所得的結(jié)果為何不同，其物理原因是什么?題 3.7 解： 取平板車及 N 個人組成的系統(tǒng)，以地面為參考系，平板車的運動方向為正方向，系統(tǒng)在該方向上滿足動量守恒?？紤] N 個人同時跳車的情況，這跳車后平板車的速度為v，則由動量守恒定律得0m vNm vuvNmu （ 1）mNm又

10、考慮 N 個人一個接一個的跳車的情況。設(shè)當平板車上尚有n 個人時的速度為vn，跳下一人后車速為vn1，在這一次跳車過程中，根據(jù)動量守恒有m nm vnm vn 1n 1 mvn 1 m vn 1 u （2）由式（ 2）可解得遞推公式vn 1vnmu （ 3）mnm顯然，當車上有N 個人時（即 n = N），因尚未有人跳離平板車，故vN = 0；而車上 N 個人全跳完時，車速為v0。根據(jù)（ 3）有vN10mumNmvN2vN 1mumN1 mv0v1mumm將上述各等式的兩側(cè)分別相加，整理后得Nv0n 1mumnm由于 mnmm Nmn1,2,3, , N故有v0v即 N 個人一個接一個地跳車時

11、，平板車的末速v0 大于 N 個人同時跳下時平板車的末速v。這是因為在N 個人逐一跳離車時，車隊地的速度逐次增加，導致跳車者相對地面的速度也在逐次增大，并對平板車所作的功也相應(yīng)增大，因而平板車得到的能量也大，其車速也大。題 3.8：如圖所示，一繩索跨過無摩擦的滑輪，系在質(zhì)量為1.00 kg 的物體上，起初物體靜止在無摩擦的水平面上。若用 5.00 N 的恒力作用在繩索的另一端，使物體向右加速運動，當系在物體上的繩索從水平面成30 角變?yōu)?37角時，力對物體所作的功為多少？已知滑輪與水平面之間的距離為 1m。題 3.8 分析： 該題中雖施以“恒力” ，但是，作用在物體上的力的方向在不斷變化。需按

12、功的矢量定義式WFds 來求解。解： 取圖示坐標，繩索拉力對物體所作的功為x2FxWF dxF cos dxdx 1.69 Jx1dx2題 3.9：一物體在介質(zhì)中按規(guī)律xct 3 作直線運動，c 為一常量。設(shè)介質(zhì)對物體的阻力正比于速度的平方。試求物體由x00 運動到 xl 時，阻力所作的功。 （已知阻力系數(shù)為k ）題 3.9 解： 由運動學方程xct 3 ，可得物體的速度dx 3ct2 dt按題意及上述關(guān)系，物體所受阻力的大小為Fkv29kc2t 49kc2 / 3x4 / 3則阻力的功為F cos180 dx9kc2 / 3x4 / 3dx27 kc2 / 3l 7 / 3WlF dxll0

13、007題3.10：一人從10.0 m 深的井中提水，起始桶中裝有10.0 kg 的水，由于水桶漏水，每升高1.00 m 要漏去 0.20kg 的水。求水桶被勻速地從井中提到井口，人所作的功。題 3.10 解： 水桶在勻速上提過程中，a = 0，拉力與水桶重力平衡，有FP0在圖示所取坐標下，水桶重力隨位置的變化關(guān)系為P mgagy其中 a = 0.2 kg/m ，人對水桶的拉力的功為10 m10 m882 JWF dymg agy dy00題 3.11：一質(zhì)量為0.20kg 的球，系在長為 2.00 m 的細繩上， 細繩的另一端系在天花板上。把小球移至使細繩與豎直方向成30角的位置， 然后由靜止

14、放開。 求：（1）在繩索從 30 角到 0角的過程中，重力和張力所作的功；（ 2）物體在最低位置時的動能和速率； （ 3）在最低位置時的張力。題 3.11 解：（ 1）如圖所示，重力對小球所作的功只與始末位置有關(guān)，即WPP hmgl 1cos0.53J在小球擺動過程中，張力F T 的方向總是與運動方向垂直，所以張力的功WTFTds02）根據(jù)動能定理，小球擺動過程中，其動能的增量是由于重力對它作功的結(jié)果。初始時動能為零，因而，在最低位置時的動能為EkWP0.53 J小球在最低位置時的速率為v2Ek2WP2.30 m s 1m3）當小球在最低位置時，由牛頓定律可得FTPmv2lFTmgmv22.4

15、9 Nl題 3.12：最初處于靜止的質(zhì)點受到外力的作用，該力的沖量為 4.00 kg m s 1 。在同一時間間隔內(nèi)，該力所作的功為2.00 J ，問該質(zhì)點的質(zhì)量為多少？題 3.12 解：由于質(zhì)點最初處于靜止，因此，初動量p0 = 0 ，初動能 Ek0= 0，根據(jù)動量定理和動能定理分別有Ippp0pWEk EkEk0 Ek而 Ek1 mv2p 222m所以 mp 2I 24.00 kg2Ek2W題 3.13：設(shè)兩個粒子之間的相互作用力是排斥力，并隨它們之間的距離r 按 F k / r 3 的規(guī)律而變化，其中 k 為常量，試求兩粒子相距為r 時的勢能。（設(shè)力為零的地方勢能為零）題 3.13 解：

16、由力函數(shù)k時， F0 ，勢能亦為零。在此力場中兩粒子相F3 可知，當 rr距 r 時的勢能為EPEEPWF drk3 drrr r則EPk2r2題3.14：如果一物體從高為h0處靜止下落。試以（1）時間 t 為自變量；（2）高度 h 為自變量，畫出它的動能和勢能曲線，并證明兩曲線中動能和勢能之和相等。題 3.14 解：（1）物體自由下落時，在t 時刻的速度 v = gt，則其動能為Ek1mv21mg 2 t 222（1）取地面為原點， 豎直向上為坐標正向。物體自由下落的運動方程 hh01 gt 2 ，則 t 時刻的勢能為2EPmghmgh0 1 mg 2t 2 （2）2按式（ 1）、（ 2）即

17、可作出Ekt 、EP t 圖線。在任意時刻勢能和動能的總和為E EPEkmgh1 mg 2 t 21 mg 2 t 2mgh0022（ 2）以高度為自變量時，物體在某高度時的速率v2g h0 h ，此時的總能量為E E P E k1mghm 2g h0 hmgh02即勢能和動能的總和仍為一恒量。題 3.15：一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點，系在細繩的一端，繩的另一端固定在平面上。此質(zhì)點在粗糙水平面上作半徑為 r 的圓周運動。 設(shè)質(zhì)點的最初速率是 v0 。當它運動一周時， 其速率為 v0 / 2 。求：（ 1）摩擦力作的功； （ 2）滑動摩擦因數(shù)； （3）在靜止以前質(zhì)點運動了多少圈？題 3.15 解：（1

18、）摩擦力作功為W EkE k01 mv 21 mv023 mv02 （ 1）228（2）由于摩擦力是一恒力，且F fmg ，故有WFfscos1802 r mg （ 2）由式（ 1）、（ 2）可得動摩擦因數(shù)為3v0216rg（3）由于一周中損失的動能為3mv02 ，則在靜止前可運行的圈數(shù)為8nEk04 圈W3題 3.16：如圖所示， A 和 B 兩塊板用一輕彈簧連接起來，它們的質(zhì)量分別為m1 和 m2 。問在A 板上需加多大的壓力，方可在力停止作用后，恰能使A 在跳起來時 B 稍被提起。（設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k）題 3.16 分析：選取兩塊板、 彈簧和地球為系統(tǒng)， 該系統(tǒng)在外界所施壓力撤除后 （

19、取作狀態(tài) 1），直到 B 板剛被提起（取作狀態(tài) 2），在這一過程中，系統(tǒng)不受外力作用，而內(nèi)力中又只有保守力（重力和彈力）作功，支持力不作功，因此，滿足機械能守恒的條件。只需取狀態(tài)1和狀態(tài) 2，運用機械能守恒定律列出方程，并結(jié)合這兩狀態(tài)下受力的平衡，便可將所需壓力求出。解： 選取如圖所示坐標，取圓點O 處為重力勢能和彈性勢能零點。作各狀態(tài)下物體的受力圖。對A 板而言，當施以外力 F 時，根據(jù)受力平衡有F1 P1 F （1）當外力撤除后，按分析中所選的系統(tǒng)，由機械能守恒定律可得1mgy11mgy 2ky12ky2222式中 y1、 y2 為 M、N 兩點對原點 O 的位移。因為 F1ky1 , F

20、2ky2 及 P1 m1g ，上式可寫為F1F22P1 （ 2）由式（ 1）、（ 2）可得F12 （ ）PF3當 A 板跳到 N 點時， B 板剛被提起，此時彈性力 F2P2 ，且 F2F2 。由式（ 3）可得FPPmm g1212應(yīng)注意勢能的零點位置是可以任意選取的。為計算方便起見， 通常取彈簧原長時的彈性勢能為零點，也同時為重力勢能的零點。題 3.17：如圖所示，有一自動卸貨礦車，滿載時的質(zhì)量為m ，從與水平成傾角30.0 斜面上的點A 由靜止下滑。設(shè)斜面對車的阻力為車重的0.25倍，礦車下滑距離l 時，礦車與緩沖彈簧一道沿斜面運動。當?shù)V車使彈簧產(chǎn)生最大壓縮形變時，礦車自動卸貨， 然后礦車

21、借助彈簧的彈性力作用， 使之返回原位置 A 再卸貨。 試問要完成這一過程，空載時與滿載時車的質(zhì)量之比應(yīng)為多大？題 3.17 解：取沿斜面向上為 x 軸正方向。彈簧被壓縮到最大形變時彈簧上端為坐標原點O。礦車在下滑和上行的全過程中，按題意，摩擦力所作的功為Wf 0.25mg 0.25m g lx （1）式中 m和 m 分別為礦車滿載和空載時的質(zhì)量， x 為彈簧最大被壓縮量。根據(jù)功能原理，在礦車運動的全過程中，摩擦力所作的功應(yīng)等于系統(tǒng)機械能增量的負值，故有WfEEpE k由 于 礦 車 返 回 原 位 時 速 度 為 零 ， 故 Ek 0 ； 而E pmm g lx sin，故有Wfmm g lx

22、 sin（ 2）由式（1）、（ 2）可解得1 m 3題 3.18：用鐵錘把釘子敲入墻面木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進入木板的深度成正比。若第一次敲擊，能把釘子釘入木板1.00 10 2 m ，第二次敲擊時，保持第一次敲擊釘子的速度，那么第二次能把釘子釘入多深？題 3.18 解： 因阻力與深度成正比，則有 F = kx（ k 為阻力系數(shù)） ?，F(xiàn)令 x0 = 1.00 10 2 m，第二次釘入的深度為 x ，由于釘子兩次所作功相等，可得x0 x0 xkxdxkxdxx00.41 10 2 m題 3.19：一質(zhì)量為 m 的地球衛(wèi)星，沿半徑為 3RE 的圓軌道運動， RE 為地球的半徑，已知地球的質(zhì)

23、量為 mE 。求：（ 1）衛(wèi)星的動能； （ 2）衛(wèi)星的引力勢能； （ 3）衛(wèi)星的機械能。題 3.19 解：（ 1）衛(wèi)星與地球之間的萬有引力提供衛(wèi)星作圓周運動的向心力，由牛頓定律可得mEmv 2G2m3RE3RE則mv2G mE m26RE2）取衛(wèi)星與地球相距無限遠（ r ）時的勢能為零，則處在軌道上的衛(wèi)星所具有的勢能為E 1EpGmE m3RE（3）衛(wèi)星的機械能為EEkEpGmEmGmEmGmE m6RE3RE6 RE題3.20：如圖所示，天文觀測臺有一直徑為R 的半球形屋面，有一冰塊從光滑屋面的最高點由靜止沿屋面滑下，若摩擦力略去不計，求此冰塊離開桌面的位置以及在該位置的速度。題 3.20

24、解： 取冰塊、屋面和地球為系統(tǒng)，由系統(tǒng)的機械能守恒，有mgR1 mv2mgR cos（ 1）2根據(jù)牛頓定律，冰塊沿徑向的動力學方程為mg cosFNmv2（ 2）R冰塊脫離球面時，支持力F N = 0 ，由式（ 1）、（ 2）可得冰塊的角位置arccos 248.23冰塊此時的速率為vgRcos2Rg3v 的方向與重力P 方向的夾角為9041.8題 3.21：如圖所示，把質(zhì)量為0.20kg 的小球放在位置A，彈簧被壓縮 7.5cm,在彈簧彈力的作用下，小球從位置A 由靜止被釋放，沿ABCD 運動，小球與軌道間的摩擦不計。已知弧BCD 是半徑0.15m 的半圓弧， AB 相距為 2r，求彈簧勁度

25、系數(shù)的最小值。題 3.21 解： 小球要剛好通過最高點C 時，軌道對小球支持力FN = 0，因此，有2mgm vCr以小球、彈簧和地球為系統(tǒng)，取小球開始時所在位置A 為重力勢能的零點，由系統(tǒng)的機械能守恒定律，有1 k l 2mg 3r1 mvC2 （2）22由式（ 1）、（ 2）可得k7mgr12366 N ml題3.22：如圖所示，質(zhì)量為m 、速度為 v 的鋼球，射向質(zhì)量為m 的靶，靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為k 的彈簧，此靶最初處于靜止狀態(tài)，但可在水平面上作無摩擦滑動，求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離。題 3.22 解：以小球與靶組成系統(tǒng)，設(shè)彈簧的最大壓縮量為x0，小球與靶共同運

26、動的速率為v1。由動量守恒定律，有mvmm v1 （1）又由機械能守恒定律，有1 mv21m m v12 1 kx02 （ 2）222由式（ 1）、（ 2）可得mmvx0k mm題 3.23：以質(zhì)量為 m 的彈丸，穿過如圖所示的擺錘后，速率由v 減少到 v / 2 。已知擺錘的質(zhì)量為 m ，擺線長度為 l ，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個完全的圓周運動，彈丸的速度的最小值應(yīng)為多少？題 3.23 解： 取彈丸與擺錘所成系統(tǒng)。由水平方向的動量守恒定律，有mvm vm v（ 1）為使擺錘恰好能在垂直平面內(nèi)作圓周運動，在最高時，擺線中的張力 FT0 ，則m gm vh2（ 2）l式中 vh 為擺錘在圓

27、周最高點的運動速率。又擺錘在垂直平面內(nèi)作圓周運動的過程中，滿足機械能守恒定律，故有1 m v 22m gl1 m vh2 （ 3）22解上述三個方程，可得彈丸所需速率的最小值為m5glm題 3.24：一個電子和一個原來靜止的氫原子發(fā)生對心彈性碰撞。試問電子的動能中傳遞給氫原子的能量的百分數(shù)。 （已知氫原子質(zhì)量約為電子質(zhì)量的1840 倍）題 3.24 解： 以 EH 表示氫原子被碰撞后的動能，Ee 表示電子的初動能，則EH1 m vH2m22vHEe12mvemve（ 1）2由于粒子作對心彈性碰撞，在碰撞過程中系統(tǒng)同時滿足動量守恒和機械能守恒定律，故有mvem vHmve （2）1 mve21

28、m vH21 mve2 （3）222由題意知 m m1840 ，解上述三式可得22EHmvH18402m2.2 10 3Eemvemm題 3.25：質(zhì)量為 7.2 1023kg ，速率為 6.0 10 7m s 1 的粒子 A ，與另一個質(zhì)量為其一半而靜止的粒子 B 發(fā)生二維完全彈性碰撞， 碰撞后粒子 A 的速率為 5.010 7 m s 1 ，求：（ 1）粒子 B的速率及相對粒子A 原來速度方向的偏角； （ 2）粒子 A 的偏轉(zhuǎn)角。題 3.25 解： 取如圖所示的坐標，由于粒子系統(tǒng)屬于斜碰，在碰撞平面內(nèi)根據(jù)系統(tǒng)動量守恒定律可取兩個分量式，有mvAmmvA cos （ 1）vB cos20m

29、vB sinmvA sin （ 2）2又由機械能守恒定律，有1 mvA21m vB2 1 mvA2 （3）2222解式（ 1）、（ 2）、（ 3）可得碰撞后B 粒子的速率為vB2 vA2vA24.69 107 m s 1各粒子相對原粒子方向的偏角分別為arccos vA23vA222 20 ,arccos3vB54 64vA vA4vA題 3.26 解： 按圖示坐標，對兩粒子系統(tǒng)而言，在沿力的方向上動量守恒，當兩粒子的速率均為 v 時，有mv0mvmv （ 1）又根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒，有1 mv021 mv 21 mv2q 2（2）2224 0r0由式（ 1）、（ 2）可得兩粒子最接近使的速率和

30、距離分別為v1v02r014q24 0mv02題 3.27：如圖所示，一質(zhì)量為m 的物塊放置在斜面的最底端A 處，斜面底傾角為，高度為 h ，物塊與斜面的滑動摩擦因數(shù)為，今有一質(zhì)量為 m 的子彈以速度 v0 沿水平方向射入物塊并留在其中，且使物塊沿斜面向上滑動，求物塊滑處頂端時的速度大小。題 3.27 解： 在子彈與物塊的碰撞過程中，在沿斜面的方向上，根據(jù)動量守恒有mv0 cosm m v1 （1）在物塊上滑的過程中，若令物塊剛滑出斜面頂端時的速度為v2，并取 A 點的重力勢能為零。由子彈、物塊、地球為系統(tǒng)的功能原理可得mh1212m g cosmm v2m m ghmm v1（ 2）sin2

31、2由式（ 1）、（ 2）可得m2v2m m v0 cos2 ghcot1題 3.28：如圖所示，一個質(zhì)量為m 的小球，從內(nèi)壁為半球形的容器邊緣點A 滑下。設(shè)容器質(zhì)量為 m ，半徑為 R ，內(nèi)壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，開始時小球和容器都處于靜止狀態(tài)。當小球沿內(nèi)壁滑到容器底部的點B 時，受到向上的支持力為多大？題 3.28 解： 根據(jù)水平方向動量守恒定律（將小球與容器視為系統(tǒng)）以及小球在下滑過程中機械能守恒定律（將小球、容器與地球視為系統(tǒng)）可分別得mvmm vm 0 （1）1 mv m21 m vm2mgR （2）22式中 vm、vm 分別表示小球、容器相對桌面的速度。由式1）、（

32、 2）可得小球到達容器底部時小球、容器的速度大小分別為vm2m gRmm 2m gRvmmm m由于小球相對地面運動的軌跡比較復(fù)雜，為此，可改為以容器為參考系（非慣性系）。在容器底部時，小球相對容器的運動速度為vmvvmvvm m 2gR （ 3）mmmm在容器底部，小球所受慣性力為零，其法向運動方程為Nmgvm2 （ 4）FmR由式（ 3）、（ 4）可得小球此時所受到的支持力為FNmg 32mm題 3.29：打樁機錘的質(zhì)量為m 10t ，將質(zhì)量為 m24t 、橫截面為 S 0.25 m 2（正方形截面） 、長 達 l38.5 m的鋼筋混凝土樁打入地層，單位側(cè)面積上所受泥土的阻力為K2.651

33、04 Nm 2 。問：（ 1）樁依靠自重能下沉多深？（2）在樁穩(wěn)定后，將錘提升到離樁頂面 1 m 處，讓其自由下落擊樁，假定錘與樁發(fā)生完全非彈性碰撞。第一錘能使樁下沉多少？（ 3）若樁已下沉 35 m 時，錘再一次下落，此時錘與樁碰撞已不是完全非彈性碰撞了，錘在擊樁后反彈起 0.05 m ，這種情況下，樁又下沉多少？題 3.29 解：（ 1）在錘擊樁之前，由于樁的自重而下沉，這時，取樁和地球為系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的功能原理，有m gh1h14 ShKdh （ 1）0樁下沉的距離為h1m g8.88 m2 SK（2）錘從 1 m 高處落下， 其末速率為v02 gh 。由于錘與樁碰撞是完全非彈性的，錘與

34、樁碰撞后將有共同的速率，按動量守恒定律，有mv0mm v （ 2）隨后樁下沉的過程中，根據(jù)系統(tǒng)的功能原理，有h1 h21 m m v02m m gh2 （3）4 S Kh dhh12由式（ 2）、（ 3）可解得樁下沉的距離為h2 0.2 m（3）當樁已下沉35 m 時，再一次錘樁， 由于此時的碰撞是一般非彈性的，錘碰撞后的速率可由上拋運動規(guī)律得v12gh ，在根據(jù)動量動量守恒定律，有mv0m 2ghm v （4）隨后，樁在下沉過程中，再一次應(yīng)用系統(tǒng)的功能原理，得h34 S K 35 m h dhm gh31 m v 2 （ 5）02由式（ 4）、（ 5）可得樁再一次下沉的距離h30.033 m題 3.30：已知月球質(zhì)量為地球的0.013 倍，月球中心與地球中心之間的距離為地球半徑的60倍。若取地球半徑為6.410 6 m ，問：月球和地球所組成的系統(tǒng)，其質(zhì)心距地球中心多遠？設(shè)地球和月球均可看作質(zhì)量均勻的球體。題 3.30 分析： 地球和月球可看作質(zhì)量均勻的球體，它們各自的質(zhì)心分別位于它們的中心。因此，地球和月球系統(tǒng)的質(zhì)心則可視為兩質(zhì)點系統(tǒng)的質(zhì)心，根據(jù)一維的質(zhì)心的位矢即可求得。解： 取地球和月球中心連線為坐標軸，原點位于地球中心。系統(tǒng)的質(zhì)