1、紙折扇中的黃金分割北京五中丁文青問(wèn)題的來(lái)源與思考我國(guó)素有“扇子王國(guó)”之稱，上下五千年歷史的文明古國(guó)有著三千年源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的紙扇業(yè)， 使扇子文化成為民族文化的一個(gè)重要組成部分.扇子種類繁多，有熠熠發(fā)光的孔雀毛扇，典 雅名貴的象牙扇，芳香馥郁的檀香扇，清新輕巧的紙折扇，精美絕倫的黑紙扇，還有麥稈扇、 竹編扇、芭蕉扇等等.其中，我最喜愛(ài)紙折扇.紙折扇不僅體現(xiàn)著我國(guó)詩(shī)、書、畫藝術(shù)的結(jié) 晶，而且其蒼勁有力的扇骨也向我們展現(xiàn)了一種瑰麗的結(jié)構(gòu)藝術(shù).寒假期間，我翻出家中的全部紙折扇，發(fā)現(xiàn)這些紙折扇在展開(kāi)時(shí)，兩邊夾角度數(shù)雖不盡 相同，但相差不太大.那么，紙折扇展開(kāi)角度大約為多少？又是怎樣被確定下來(lái)的呢？對(duì)于保障扇風(fēng)

2、的功能而言，紙折扇兩邊夾角度數(shù)不應(yīng)太小，要保障其具有一定面積；對(duì) 于保障其耐用性和使用舒適度而言，紙折扇兩邊夾角度數(shù)不應(yīng)太大.那么，是否有為其滿足 美觀的需求，而對(duì)兩邊夾角度進(jìn)行控制？我想，目前紙折扇的藝術(shù)價(jià)值或美學(xué)價(jià)值早已超出 其使用價(jià)值.想到美觀的設(shè)計(jì)需求，不由得使我想到了黃金分割.是的，對(duì)于黃金分割，人們談?wù)摰?內(nèi)容很多，但主要有以下兩個(gè)方面：數(shù)學(xué)意義和美學(xué)價(jià)值.于是我大膽地設(shè)立了我的猜想： 紙折扇的展開(kāi)角度是根據(jù)黃金比例而確定的，或者美麗的紙折扇中蘊(yùn)含著黃金比例.測(cè)量與推算2.1網(wǎng)上紙折扇展開(kāi)角度的測(cè)量與計(jì)算（1）從Internet網(wǎng)上下載16個(gè)清晰的紙折扇的正面拍攝圖，其示意見(jiàn)圖1

3、（左）所示.圖1網(wǎng)上紙折扇示例（2）使用圖片處理軟件Macromedia Fireworks，在紙折扇兩側(cè)畫出兩邊扇骨的平分線， 并交于扇軸處，如圖1 （右）所示.（3）使用量角器測(cè)量?jī)蓷l平分線的夾角，并進(jìn)行記錄，見(jiàn)表1所示：表1網(wǎng)上紙折扇展開(kāi)角度的測(cè)量值單位：度（）扇子序號(hào)測(cè)量值單位：度（）扇子序號(hào)測(cè)量值11402144313341365132613571468146扇子序號(hào)測(cè)量值913710145111461213313139141281513616126（4）計(jì)算網(wǎng)上紙折扇展開(kāi)角度的平均值成=-1丈6測(cè)量值.對(duì)37.4 .2.2實(shí)物紙折扇展開(kāi)角度的測(cè)量與計(jì)算2.2.1展開(kāi)程度的定義和計(jì)算

4、在網(wǎng)上紙折扇夾角的測(cè)量中（如圖1所示），紙扇未全部展開(kāi)，但從網(wǎng)上看它們的展開(kāi) 程度基本相同.為測(cè)量實(shí)物紙折扇展開(kāi)夾角，同樣要保持這些實(shí)物紙折扇的展開(kāi)程度相同. 不同紙折扇的自然展開(kāi)程度不同，那么在實(shí)際測(cè)量中應(yīng)如何控制呢？應(yīng)先制定一個(gè)統(tǒng)一的展 開(kāi)度，以此作為要測(cè)量紙折扇展開(kāi)程度的標(biāo)準(zhǔn).這里我選擇展開(kāi)程度用扇葉間的夾角表示， 如圖2紙折扇的俯視圖中的角A.當(dāng)角Ae 100。時(shí)，紙折扇的展開(kāi)程度與網(wǎng)上紙折扇的展開(kāi) 程度相當(dāng)，同時(shí)也是觀看或使用時(shí)經(jīng)常展開(kāi)的角度.BC圖2紙折扇的俯視圖由于在測(cè)量中難以控制折扇的展開(kāi)度，所以先測(cè)折扇展開(kāi)程度參數(shù)，然后進(jìn)行計(jì)算.設(shè) 扇子的半徑為R，扇骨的數(shù)目為g，折寬為a，

5、扇面外沿弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，紙折扇展開(kāi)角度為a， 見(jiàn)圖3所示.圖3紙折扇展開(kāi)程度參數(shù)的定義一、，.A 八根據(jù)以上定義，L= 2si-a(g-2) + sma + 2a ,AAA即：L= sin a(2g -3) + 2a，2a L=兀R.180。.A _ a即：sin 一 a(2g - 3) + 2a =兀R .：2180。Asin a(2g -3) + 2a那么 a = 2x 180。.兀R2.2.2測(cè)量與計(jì)算選取8把紙折扇，測(cè)量其折寬a,記錄其扇骨的數(shù)目&，測(cè)量其半徑R,測(cè)量值見(jiàn) 表2所示.八sin50o(2g - 3)a + 2a 將以上數(shù)值分別代入以=土x 180o進(jìn)行計(jì)算，所得結(jié)果見(jiàn)表3兀R所

6、示1 z計(jì)算實(shí)物紙折扇展開(kāi)角度的平均值，即：以=8 ai 137.1。i=1表2實(shí)物紙折扇展開(kāi)角度參數(shù)的測(cè)量值扇子序號(hào)a/cmg/條R/cm11.852023.0021.902023.1031.801821.0041.502521.5051.602021.3061.851823.5071.402521.2081.801922.80表3實(shí)物紙折扇展開(kāi)角度的計(jì)算值扇子序號(hào)a /。1139.842143.003133.974151.925130.606123.047143.808130.322.3紙折扇的展開(kāi)角度與剩余圓心角關(guān)系的推算按網(wǎng)上紙折扇展開(kāi)角度的平均值a - 137.4。，計(jì)算紙折扇展開(kāi)角

7、度a與剩余圓心角的比值y：137.4。y=一成丁 R 0.617，該值與黃金分割率0.618近似.360。 137.4。按實(shí)物紙折扇展開(kāi)角度的平均值a =137.1。，計(jì)算紙折扇展開(kāi)角度a與剩余圓心角的比值y：137.1。 匚y=f 廠R 0.615，該值也與黃金分割率0.618近似.360。137.1。按網(wǎng)上紙折扇和實(shí)物紙折扇展開(kāi)角度的平均值以0137.2。，計(jì)算紙折扇展開(kāi)角度a與 剩余圓心角的比值y：137.2。、二,y=一待k R 0.616 ,該值與黃金分割率0.618近似.360。 137.2。以上的測(cè)量與推算結(jié)果表明紙折扇的展開(kāi)角度與剩余圓心角的關(guān)系基本符合黃金比率.3.分析3.1

8、紙折扇展開(kāi)角度的確定兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯（Eudoxus）發(fā)現(xiàn)：將一條線段AC分割成大小兩條線段AB、BC，若小段BC AB C與大段AB的長(zhǎng)度之比等于大段AB與線段AC的長(zhǎng)度之 比，即：在一條線段AC上，有一點(diǎn)B,若BC在一條線段AC上，有一點(diǎn)B,若BCAB=AB 則 BCAC”AB的比值為這個(gè)值被稱為黃金分割率，為0.618 033 988 749 89，這種分割稱為黃金分割點(diǎn)B叫做線段AC的黃 金分割點(diǎn).根據(jù)以上原理，按黃金分割設(shè)計(jì)的紙折扇，是指將一個(gè)圓面按黃金分割比例進(jìn)行分割后圖4得到的較小扇形：圖4設(shè)在一個(gè)圓中紙折扇展開(kāi)角度為x，如圖4標(biāo)記.x。-5 1若 =一，則紙折扇

9、展開(kāi)角度x。- 137.50 .360。 x。2通過(guò)以上分析，可以采用黃金分割方式設(shè)計(jì)紙折扇，紙折扇的展開(kāi) 角度大約為黃金分割的內(nèi)涵試想，如果紙折扇不按黃金分割的角度設(shè)計(jì)，那么這樣的紙折扇美觀嗎？我想如果紙 折扇展開(kāi)角度太小或太大就會(huì)不美觀也不實(shí)用.也許是先入為主，也許是對(duì)黃金分割帶有數(shù) 的崇拜、特定含義的崇拜.在現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典注解中解釋道，“黃金分割”因這種比例在造型上比較美觀而得 名.一個(gè)體形完美（或理想）的人，肚臍是人體的黃金分割點(diǎn)，而膝蓋又是人體肚臍以下部 分的黃金分割點(diǎn).舉世聞名的完美建筑一一古希臘巴特農(nóng)神殿的大理石柱廊高恰好占整個(gè)神 殿高度的0.618 .文明古國(guó)埃及的金字塔，形似方

10、錐，大小各異，但這些金字塔的高與底面 的邊長(zhǎng)的比都接近于0.618.達(dá)芬奇的名畫最后的晚餐中，猶大的形象就正處在黃金 分割點(diǎn)上.現(xiàn)代書籍、報(bào)刊的長(zhǎng)寬比例等等，幾乎在所有與視覺(jué)藝術(shù)有關(guān)的領(lǐng)域，都不約而 同地應(yīng)用了 0.618這一分割系數(shù).由此看來(lái)，黃金分割蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)意義和美學(xué)價(jià)值的雙重 內(nèi)涵.數(shù)學(xué)和美學(xué)之間原是天涯若比鄰，中國(guó)傳統(tǒng)的紙折扇蘊(yùn)含著黃金分割理論.4.應(yīng)用為制作扇面展開(kāi)角度為137.5 （扇葉夾角為100），符 合黃金分割比例的紙折扇面，需要符合的數(shù)值應(yīng)該有哪些呢？ 這些數(shù)值又應(yīng)滿足什么關(guān)系呢？假設(shè)要制作折扇的半徑為R，扇面的半徑為r，扇骨的數(shù)目 為g.在我收集到的紙扇中，扇面的長(zhǎng)度與

11、扇子的半徑的比值近 似于0.56，r=0.56R.分別以R、0.44R的半徑在紙上畫兩個(gè)同 心圓，如圖5所示.求：扇面制作的夾角6.設(shè)折寬為a，_137.5FR設(shè)折寬為a，則 a= 180in50(2g 3) + 2，L= (2g-1) a=137.5。兀 R(2g 1) 180lsin50(2g 3) + 2L= (2g-1) a=137.5。所R(2g 1)180。_ 137.5(2g 1)所以，要制作的扇面為外徑為R，內(nèi)徑為0.44R的同心圓中137.5o(2g 1)sin50o(2g 3) + 2所對(duì)應(yīng)180oin50o(2g 3) 所以，要制作的扇面為外徑為R，內(nèi)徑為0.44R的同心

12、圓中137.5o(2g 1)sin50o(2g 3) + 2所對(duì)應(yīng)的部分，所需扇骨為g條，折寬為180。扇50。僥-3） + 2.5.結(jié)束語(yǔ)黃金分割這一數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)有著深遠(yuǎn)的影響，同時(shí)它也潛移默化地影 響著我們的審美觀、思想和行為.紙折扇中蘊(yùn)含著黃金分割理論，這僅僅是小小的例子.黃 金分割與自然界及生活中的許多最佳狀態(tài)或?qū)徝烙兄芮械穆?lián)系，等待著我們的探索、發(fā)現(xiàn) 和運(yùn)用.在這次的數(shù)學(xué)應(yīng)用論文寫作實(shí)踐過(guò)程中，我受益匪淺.首先，我嘗試了應(yīng)用知識(shí)的基本 方法.即在以前的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，從生活的點(diǎn)滴入手，對(duì)所關(guān)注的事物進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)并最終 達(dá)到一定的認(rèn)知程度并加以應(yīng)用.其次，我認(rèn)識(shí)到對(duì)于事物的探究應(yīng)是全面的，即對(duì)其各個(gè) 方面都要有所了解、有所關(guān)注.在分析紙折扇的過(guò)程中，我對(duì)與紙折扇相關(guān)的中國(guó)民間文化 有了一定的了解，為博大精深的民族文化所熏陶.使我在分析單一問(wèn)題的同時(shí)，拓寬了認(rèn)知 范圍.再次，我認(rèn)識(shí)到對(duì)于任何事物的探究應(yīng)抱以一種正確的認(rèn)知態(tài)度.第一，有恒心.測(cè) 量數(shù)據(jù)是一個(gè)非常艱巨的過(guò)程.枯燥無(wú)味，但又要精益求精，要求我們有定力.第二，不斷 進(jìn)取.在紙折扇展開(kāi)角度的測(cè)量過(guò)程中，我先后采用了三種方式，每一種方式選擇都是基于