1、2021-2022學年湖南省長沙市第二十五中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 若函數(shù)在上可導，且滿足，則（ ）A B C D參考答案：A試題分析：由于恒成立，因此在上時單調遞增函數(shù)，即，故答案為A考點：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系2. 一個體積為12的正三棱柱的三視圖，如圖所示，則此正三棱柱的側視圖面積為（）A12B8C8D6參考答案：D【考點】L!：由三視圖求面積、體積【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是正三棱柱，結合圖中數(shù)據(jù)，求出三棱柱的高與側視圖的面積【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得

2、；該幾何體是正三棱柱，且底面正三角形一邊上的高為2，底面三角形的邊長為=4，三棱柱的體積為V三棱柱=42h=12，三棱柱的高為h=3；側視圖的面積為S側視圖=23=6故選：D3. 若aR，則a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要條件 B必要而不充分條件C.充要條件 C.既不充分又不必要條件參考答案：A 本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，難度較小。若a=2時（a1）(a2) = 0成立。充分性成立。若（a1）(a2) = 0 時，a=1或a=2.必要性不成立4. 設實數(shù)，滿足則的最小值為（ ）A4B2CD 參考答案：C5. （5分）已知函數(shù)f（x）=Asin（x+4）（A0，0，

3、0）的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)f（x）的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，再向右平移個單位，所得到的函數(shù)g（x）的解析式為（） A g（x）=2sinx B g（x）=2sin2x C g（x）=2sinx D g（x）=2sin（2x）參考答案：D【考點】： 函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換【專題】： 三角函數(shù)的圖像與性質【分析】： 由圖象可得A，T，可解得，由圖象過點C（0，1），可得sin4=，結合范圍0，解得4=，可得解析式f（x）=2sin（x+），根據(jù)函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換即可得解解：由圖象可知，A=2，T=4，解得，故f（x）=2sin（x+4），圖象過點C（0

4、，1），1=2sin4，即sin4=，0，04，4=，故f（x）=2sin（x+），若將函數(shù)f（x）的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，所得到的函數(shù)g（x）的解析式為y=2sin（2x+），再向右平移個單位，所得到的函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=2sin2（x）+=2sin（2x）故選：D【點評】： 本題主要考查了三角函數(shù)解析式的求法，函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換規(guī)律，屬于基本知識的考查6. 下列說法錯誤的是()(A)命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為:“若x1,則x2-3x+20”(B)“x1”是“|x|1”的充分而不必要條件(C)若p且q為假命題,則p、q均為假命

5、題(D)命題p:“存在xR,使得x2+x+10”,則非p:“任意xR,均有x2+x+10”參考答案：C略7. 如圖，將直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜邊與直角三角板的角所對的直角邊重合.若，則（ ）A B C. D參考答案：B8. 已知=，則的表達式是（ ）A B C D參考答案：B9. ABC外接圓的半徑為，圓心為，且，則的值是 （ ）A. 2 B. 3 C. 1 D. 0參考答案：B 10. 已知向量=（1，2），=（a，1），若，則實數(shù)a的值為（）A2BCD2參考答案：D【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系【分析】直接利用向量垂直數(shù)量積為0列式求得a值【解答】解：=

6、（1，2），=（a，1），由，得1a+2（1）=0，即a=2故選：D二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 如圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為 。 參考答案：略12. 某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為20，40），40，60），60，80），80，100），若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學生人數(shù)是 參考答案：50考點：頻率分布直方圖 專題：概率與統(tǒng)計分析：由已知中的頻率分布直方圖，我們可以求出成績低于60分的頻率，結合已知中的低于60分的人數(shù)是15人，結合頻數(shù)=頻率總體容量，即可得到總體容量

7、解答：解：成績低于60分有第一、二組數(shù)據(jù)，在頻率分布直方圖中，對應矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據(jù)的組距為20則成績低于60分的頻率P=（0.005+0.010）20=0.3，又低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學生人數(shù)是=50故答案為：50點評：本題考查的知識點是頻率分布直方圖，結合已知中的頻率分布直方圖，結合頻率=矩形的高組距，求出滿足條件的事件發(fā)生的頻率是解答本題的關鍵13. 已知G為ABC的重心，令，過點G的直線分別交AB、AC于P、Q兩點，且，則=參考答案：3考點： 平面向量的基本定理及其意義專題： 平面向量及應用分析： 顯然，根據(jù)G點為重心，從而可以用表示，而和共線，從

8、而，而已知，從而會最后得到關于的式子：，從而得到，兩式聯(lián)立消去x即可求出答案解答： 解：如圖，=；G為ABC的重心；，；整理得，；消去x得，；故答案為：3點評： 考查向量加法、減法的幾何意義，共線向量基本定理，重心的性質：重心到頂點距離是它到對邊中點距離的2倍，以及向量加法的平行四邊形法則，向量的加法、減法運算，平面向量基本定理14. 曲線C：（為參數(shù)）的兩個頂點之間的距離為 參考答案：2【考點】QH：參數(shù)方程化成普通方程【分析】根據(jù)題意，將曲線的參數(shù)方程變形為普通方程，分析可得曲線C為雙曲線，且兩個頂點的坐標為（1，0），由兩點間距離公式計算可得答案【解答】解：曲線C：，其普通方程為x2y2

9、=1，則曲線C為雙曲線，且兩個頂點的坐標為（1，0），則則兩個頂點之間的距離為2；故答案為：2【點評】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，涉及雙曲線的幾何性質，關鍵是將曲線的參數(shù)方程化為普通方程15. 6已知，表示兩個不同的平面，m為平面內的一條直線，則“”是“m”的 條件（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 參考答案：必要不充分； 16. 已知，則 參考答案：試題分析：因為，所以，可得，故答案為.17. 已知集合A=x|3x7，B=x|4x10，則AB= ，（?RA）B= 參考答案：x|3x10，x|7x10【考點】交、并、補集的混合運算【分析】根據(jù)并集、補集

10、和交集的定義，分別寫出對應的運算結果即可【解答】解：集合A=x|3x7，B=x|4x10，所以AB=x|3x10，?RA=x|x3或x7，所以（?RA）B=x|7x10故答案為：x|3x10，x|7x10三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. （12分）如圖所示，已知圓（x+3）2+y2=100，定點A（3，0），M為圓C上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足=2，?=0，點N的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）求過點Q（2，1）的弦的中點的軌跡方程參考答案：考點：軌跡方程 專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：（1）通過向量關

11、系，判斷點N的軌跡為曲線E滿足橢圓定義，然后求解橢圓的方程即可（2）利用點差法求斜率，即可求過點Q（2，1）的弦的中點的軌跡方程解答：解：（1）=2，?=0，NP為AM的中垂線，|NA|=|NM|又|CN|+|NM|=10，|CN|+|NA|=106，動點N的軌跡是以點C和A為焦點的橢圓，且2a=10，曲線E的方程為：；（2）設直線與橢圓交與G（x1，y1）、H（x2，y2）兩點，中點為S（x，y），設弦的斜率k=，由S（x，y），Q（2，1）兩點可得弦的斜率為k=，=，化簡可得中點的軌跡方程為：16x2+25y232x25y=0點評：本題考查橢圓的定義的應用，軌跡方程的求法，考查計算能力19

12、. （14分）已知函數(shù)y=f（x），若在區(qū)間（2，2）內有且僅有一個x0，使得f（x0）=1成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質M（）若f（x）=sinx+2，判斷f（x）是否具有性質M，說明理由；（）若函數(shù)f（x）=x2+2mx+2m+1具有性質M，試求實數(shù)m的取值范圍參考答案：考點：函數(shù)零點的判定定理專題：計算題；新定義；函數(shù)的性質及應用分析：（）f（x）=sinx+2具有性質M若存在x0（2，2），使得f（x0）=1，解方程求出方程的根，即可證得；（）依題意，若函數(shù)f（x）=x2+2mx+2m+1具有性質M，即方程x2+2mx+2m=0在（2，2）上有且只有一個實根設h（x）=x2+2mx+2

13、m，即h（x）=x2+2mx+2m在（2，2）上有且只有一個零點討論m的取值范圍，結合零點存在定理，即可得到m的范圍解答：解：（）f（x）=sinx+2具有性質M理由：依題意，若存在x0（2，2），使得f（x0）=1，則x0（2，2）時有sinx0+2=1，即sinx0=1，x0=2k，kZ由于x0（2，2），所以x0=又因為區(qū)間（2，2）內有且僅有一個x0=使得f（x0）=1成立，所以f（x） 具有性質M；（）依題意，若函數(shù)f（x）=x2+2mx+2m+1具有性質M，即方程x2+2mx+2m=0在（2，2）上有且只有一個實根設h（x）=x2+2mx+2m，即h（x）=x2+2mx+2m在（2

14、，2）上有且只有一個零點解法一：（1）當m2時，即m2時，可得h（x）在（2，2）上為增函數(shù)，只需解得交集得m2（2）當2m2時，即2m2時，若使函數(shù)h（x）在（2，2）上有且只有一個零點，需考慮以下3種情況：（）m=0時，h（x）=x2在（2，2）上有且只有一個零點，符合題意（）當2m0即0m2時，需解得交集得?（）當0m2時，即2m0時，需解得交集得（3）當m2時，即m2時，可得h（x）在（2，2）上為減函數(shù)只需解得交集得m2綜上所述，若函數(shù)f（x）具有性質M，實數(shù)m的取值范圍是m或m2或m=0；解法二：依題意，（1）由h（2）?h（2）0得，（42m）（6m+4）0，解得或m2同時需要考

15、慮以下三種情況：（2）由解得m=0（3）由解得，不等式組無解（4）由解得，解得綜上所述，若函數(shù)f（x）具有性質M，實數(shù)m的取值范圍是或m2或m=0點評：本題考查函數(shù)的零點的判斷和求法，考查零點存在定理的運用，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題20. 函數(shù)f（x）=log3（x2+2x8）的定義域為A，函數(shù)g（x）=x2+（m+1）x+m（1）若m=4時，g（x）0的解集為B，求AB；（2）若存在 x0,使得不等式g（x）1成立，求實數(shù)m的取值范圍參考答案：【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質【分析】（1）求出集合A，B，由交集運算的定義，可得AB；（2）若存在使得

16、不等式g（x）1成立，即存在使得不等式m成立，所以m（）min，解得實數(shù)m的取值范圍【解答】解：（1）由x2+2x80，解得：x（，4）（2，+），故則函數(shù)f（x）=log3（x2+2x8）的定義域A=（，4）（2，+），若m=4，g（x）=x23x4，由x23x40，解得：x1，4，則B=1，4所以AB=（2，4； （2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m1成立，即存在使得不等式m成立，所以m（）min 因為=x+1+11，當且僅當x+1=1，即x=0時取得等號所以m1，解得：m1 21. 以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐

17、標方程為.（1）求曲線，公共弦所在的直線的極坐標方程；（2）設點在曲線上，點在曲線上，求的最大值.參考答案：（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以的直角坐標方程為：.曲線可化為，所以曲線的直角坐標方程為.所以兩圓的圓心分別為，則圓心距且，所以兩圓相交.因為相交直線方程為.所以直線坐標方程為：.（2）因為點在曲線上，點在曲線上，所以當有最大值時，為兩圓圓心距與兩圓半徑之和，此時.22. 已知圓O：x2+y2=1過橢圓C：（ab0）的短軸端點，P，Q分別是圓O與橢圓C上任意兩點，且線段PQ長度的最大值為3（）求橢圓C的方程；（）過點（0，t）作圓O的一條切線交橢圓C于M，N兩點，求OMN的面積的最大值參考答案：【考點】橢圓的簡單性質【分析】（）由圓O過橢圓C的短軸端點b=1，線段PQ長度的最大值為3，a+1=3，a=2，即可求得橢圓方程；（）設直線MN的方程，由點到直線的距離公式，求得k2=t21，代入橢圓方程，由