1、數(shù)學(xué)精神與方法第六講 運(yùn)算與迭代的威力（二）3.2 經(jīng)典數(shù)學(xué)的統(tǒng)一 “數(shù)形合一”（續(xù)）上一節(jié)我們已看到怎樣從ZFC系統(tǒng)制定出自然數(shù)系，整數(shù)系，直至有理數(shù)系。本節(jié)將帶領(lǐng)大家看一看：怎樣由有理數(shù)系制定出實(shí)數(shù)系？怎樣理解實(shí)數(shù)系與直線的統(tǒng)一？怎樣理解數(shù)與形的統(tǒng)一？無理量的存在性思考題：證明上述命題。分析數(shù)學(xué)的基本問題 怎樣將有理數(shù)系擴(kuò)充成一個(gè)完備的有序數(shù)系，從而達(dá)成“數(shù)與直線的統(tǒng)一”呢？ 這事實(shí)上是事關(guān)“分析數(shù)學(xué)”基礎(chǔ)的一個(gè)大問題。 牛頓和萊布尼茲在17世紀(jì)發(fā)明的微積分理論，被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”，開啟了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。然而，牛頓和萊布尼茲的微積分是不嚴(yán)格

2、的，特別在使用無窮小概念上是隨意和混亂的。這種狀況長期困擾著數(shù)學(xué)家們，長達(dá)200年之久。 數(shù)學(xué)家們經(jīng)過幾代人的不懈努力才搞清楚，徹底消除微積分理論的漏洞，靠的是有理數(shù)系的“完備化”思想，即將有理數(shù)系擴(kuò)充成一個(gè)完備的有序數(shù)系實(shí)數(shù)系的理論。牛頓（Isaac Newton, 16421727)，最偉大的科學(xué)家之一。自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理于1687年出版。萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz, 16461716），德國數(shù)學(xué)家，微積分的創(chuàng)立者。牛頓與萊布尼茨牛頓和萊布尼茨都是他們所處時(shí)代的科學(xué)巨人，他們在相互獨(dú)立的情況下各自創(chuàng)立了微積分。就發(fā)明時(shí)間而言，牛頓早于萊布尼茨；就發(fā)表時(shí)間而

3、言，萊布尼茨先于牛頓。微積分發(fā)明權(quán)的爭論被認(rèn)為是“科學(xué)史上最不幸的一章”。由此產(chǎn)生的嚴(yán)重影響是，整個(gè)18世紀(jì)英國與歐陸國家在數(shù)學(xué)發(fā)展上分道揚(yáng)鑣。雖然牛頓在微積分應(yīng)用方面的輝煌成就極大地促進(jìn)了科學(xué)的進(jìn)步，但由于英國數(shù)學(xué)家固守牛頓的傳統(tǒng)而使自己逐漸遠(yuǎn)離了分析的主流。分析的進(jìn)步，在18世紀(jì)，主要是由歐陸國家的數(shù)學(xué)家在發(fā)展萊布尼茨微積分方法的基礎(chǔ)上而取得的。 柯西（Augustin Louis Cauchy, 1789-1857），法國數(shù)學(xué)家。他對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了清晰和嚴(yán)格的表述與證明方法，使微積分?jǐn)[脫了對(duì)于幾何與運(yùn)動(dòng)的直觀理解和物理解釋，從而形成微積分的現(xiàn)代體系。 外爾斯特拉斯（Ka

4、rl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815-1897），德國數(shù)學(xué)家。他的主要貢獻(xiàn)在函數(shù)論和分析方面。他發(fā)現(xiàn)了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，借助級(jí)數(shù)構(gòu)造了復(fù)變函數(shù)論，開始了分析的算術(shù)化過程。他給出的處處連續(xù)處處不可微的函數(shù)震動(dòng)了數(shù)學(xué)界。在代數(shù)方面，他第一個(gè)給出了行列式的嚴(yán)格定義。他被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”。實(shí)數(shù)的“戴德金分割”理論 鑒于各種實(shí)數(shù)理論本質(zhì)上是一回事，我們只簡介戴德金的實(shí)數(shù)定義方案。如上所見，戴德金定義實(shí)數(shù)的方法以有理數(shù)系 的分割為基礎(chǔ)。數(shù)與構(gòu)造數(shù)的方法達(dá)成了統(tǒng)一！實(shí)數(shù)系的完備性 實(shí)數(shù)系的完備性究竟是什么意思呢？這需從實(shí)數(shù)的大小關(guān)系說起。 戴德金完備性定理 現(xiàn)在

5、建立起來的全序集（R, ）本質(zhì)上已具有將有理數(shù)系Q擴(kuò)充成一個(gè)完備的有序數(shù)系的功能。這里需說明（R, ）具有完備性是什么意思，然后再將Q上的加法和乘法運(yùn)算擴(kuò)充到R上（擴(kuò)充到R上的加法和乘法運(yùn)算是唯一確定的）。這樣，（R, ，+，-）就構(gòu)成了我們理想中的完備有序數(shù)系即我們精神世界中的理想直線。 （R, ）的完備性是什么意思呢？（R, ）的完備性表達(dá)出直線的“連通性”，而在（R, ）上定義算術(shù)四則運(yùn)算則可以表達(dá)出直線的“直性”這里我們不打算陷入定義實(shí)數(shù)之算術(shù)運(yùn)算的細(xì)節(jié)中。那么直線又是什么呢？歐幾里得下定義說：“線只有長度沒有寬度”；這只是不能使用的“假定義”而已。希爾伯特提出：將“直線”作為無定義的原始概念處理。注意：“自然數(shù)是萬物之母”的復(fù)生現(xiàn)在想來， “直線”只是一個(gè)不能加以定義的幾何對(duì)象盡管它在我們心中的影像是那么地確定無疑與其讓它這般地亦真亦幻，不如將它就“等同”于實(shí)數(shù)系（R，+，-）好了。這種“等同”實(shí)現(xiàn)了“數(shù)與直線的統(tǒng)一”。進(jìn)一步，利用笛卡爾的坐標(biāo)幾何的思想就可以實(shí)現(xiàn)“數(shù)與形的統(tǒng)一”。有理數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示法注：注意有理數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示法中有有限個(gè)整數(shù) 被使用；若使用無