1、.高考復(fù)習(xí)專題：平面向量 平面向量的概念及其線性運算向量專題復(fù)習(xí)1.向量的有關(guān)概念：1向量的定義：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。2零向量：長度為0的向量叫零向量,記作：.3單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量。任意向量的單位化：與共線的單位向量是.4相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量。5平行向量又叫共線向量,記作：. = 1 * GB3 向量與共線,則有且僅有唯一一個實數(shù),使；規(guī)定：零向量和任何向量平行；兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定相等；6向量的加法和減法滿足平行四邊形法則或三角形法則

2、；2.平面向量的坐標表示及其運算：1設(shè),則；2設(shè),則；3設(shè)、兩點的坐標分別為,則=；4設(shè),向量平行；5設(shè)兩個非零向量,則,所以；6若,則；7定比分點：設(shè)點是直線上異于的任意一點,若存在一個實數(shù),使,則叫做點分有向線段所成的比,點叫做有向線段的以定比為的定比分點；當分有向線段所成的比為,則點分有向線段所成的比為.注意： = 1 * GB3 設(shè)、,分有向線段所成的比為,則, 在使用定比分點的坐標公式時,應(yīng)明確,、的意義,即分別為分點,起點,終點的坐標。在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件,靈活地確定起點,分點和終點,并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比.當時,就得到線段的中點公式.的符號與分點的位置之間的關(guān)系：當點在

3、線段上時；當點在線段的延長線上時；當點在線段的反向延長線上時；3.平面向量的數(shù)量積：1兩個向量的夾角：對于非零向量、,作,稱為向量、的夾角。2平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量、,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積或內(nèi)積或點積,記作：,即.零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意：向量的數(shù)量積是一個實數(shù),不再是一個向量。3在上的投影為,投影是一個實數(shù),不一定大于0.4的幾何意義：數(shù)量積等于與在上的投影的乘積。5向量數(shù)量積的應(yīng)用：設(shè)兩個非零向量、,其夾角為,則,當時,為直角；當時,為銳角或同向；當時,為鈍角或反向；6向量三角不等式：當同向,；當反向,；當不共線；4.平面向量的分解定理1平面向量分解

4、定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量,有且只有一對實數(shù)、,使成立,我們把不共線的向量、叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。2O為平面任意一點,A、B、C為平面另外三點,則A、B、C三點共線且.5.空間向量空間向量是由平面向量拓展而來的,它是三維空間里具有大小和方向的量,它的坐標表示有x,y,z.空間向量的性質(zhì)與平面向量的性質(zhì)相同或相似,故在學(xué)習(xí)空間向量時,可進行類比學(xué)習(xí)。如,若eq oMP,sup6、eq oMA,sup6、eq oMB,sup6三個向量共面,則.同時,對于空間任意一點O,存在,其中_1_考點一：向量的概念例1給出下列四個命題：若|a|b|,則a

5、b或ab； 若,則四邊形ABCD為平行四邊形；若a與b同向,且|a|b|,則ab；,為實數(shù),若ab,則a與b共線其中假命題的個數(shù)為 A1 B2 C3 D4答案D.下列說法中錯誤的是A有向線段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向線段B若向量a和b不共線,則a和b都是非零向量C長度相等但方向相反的兩個向量不一定共線D方向相反的兩個非零向量必不相等 答案C例2已知兩個非零向量a,b滿足|ab|ab|,則下面結(jié)論正確的是 Aab Bab C|a|b| Dabab如圖在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,則 _.設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點,ADeq fAB,BEeq fBC

6、.若,則12的值為_答案B2eq f1在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F,若A.eq faeq fb B.eq faeq fb C.eq faeq fb D.eq faeq fb 易誤警示平面向量線性運算中的易誤點典例設(shè)a是已知的平面向量且a0.關(guān)于向量a的分解,有如下四個命題：給定向量b,總存在向量c,使abc；給定向量b和c,總存在實數(shù)和,使abc；給定單位向量b和正數(shù),總存在單位向量c和實數(shù),使abc；給定正數(shù)和,總存在單位向量b和單位向量c,使abc.上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個數(shù)是A1 B2

7、 C3 D4答案B下列命題中正確的是A向量a,b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù),使baB在ABC中,C不等式|a|ab|ab|a|b|中兩個等號不可能同時成立D向量a,b不共線,則向量ab與向量ab必不共線第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示1兩個向量的夾角定義：已知兩個非零向量a和b,作則AOB叫做向量a與b的夾角范圍：向量夾角的范圍是0,a與b同向時,夾角0；a與b反向時,夾角.向量垂直：如果向量a與b的夾角是eq f,則a與b垂直,記作ab.2平面向量基本定理及坐標表示平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1,2,使

8、a1e12e2.其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底平面向量的坐標表示：在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底對于平面內(nèi)的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y,使得axiyj,這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序數(shù)對叫做向量a的坐標,記作a,其中x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a在y軸上的坐標3平面向量的坐標運算若a,b,則ab；若A,B,則；若a,則a；若a,b,則abx1y2x2y1.例1在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點若其中,R,則_. 答案eq feq avs4

9、al：在本例條件下,若試用c,d表示：如圖,在ABC中,AB2,BC3,ABC60,AHBC于點H,M為AH的中點若則_.答案：eq f1在下列向量組中,可以把向量a表示出來的是Ae1,e2 Be1,e2Ce1,e2 De1,e2解析：選B例3已知向量a,b,若ab,則實數(shù)m等于Aeq rB.eq rCeq r或eq r D0設(shè)向量a,b滿足|a|2eq r,b,且a與b的方向相反,則a的坐標為_若三點A,B,C共線,則eq feq f的值等于_答案Ceq f1已知點A,B,則與向量AB同方向的單位向量為A.eq blcavs4alco1f,f B.eq blcavs4alco1f,f C.e

10、q blcavs4alco1f,f D.eq blcavs4alco1f,f2已知向量a,b,c,若c,則m_.答案：eq f3已知點A,B,C,則AC與OB的交點P的坐標為_答案： 易誤警示平面向量坐標運算中的易誤點用平面向量解決相關(guān)問題時,在便于建立平面直角坐標系的情況下建立平面直角坐標系,可以使向量的坐標運算更簡便一些典例向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab,則eq f_.答案4答案：2第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用1平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為,把數(shù)量|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積,記作ab.即ab|a|b|cos ,規(guī)定0a

11、0.2向量數(shù)量積的運算律abba；ba；cacbc.3平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a,b,結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|eq r|a|eq rxoalyoal夾角cos eq fcos eq fx1x2y1y2,rxoalyoalrxoalyoalab的充要條件ab0 x1x2y1y20例1已知菱形ABCD的邊長為2,BAD120,點E,F 分別在邊BC,DC上,BC3BE,DCDF.若則 的值為_如圖,在矩形ABCD中,ABeq r,BC2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若、答案2eq req avs4al：在本例中,若四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點E是AB上的動點,求的值及的最大值答案：1.1若向量a,b,c,滿足條件c30,則x_.答案：42已知e1,e2是夾角為eq f的兩個單位向量,ae12e2,bke1e2,若ab0,則實數(shù)k的值為_答案：eq f例2在平面直角坐標系中,O 為原點,A,B0,eq r,C,動點D滿足 4,6 Beq r1,eq r1 C2eq r,2eq r Deq r1,eq r1平面向量a,b,cmab,且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m_.答案D21若a,b,則2ab與ab的夾角等于Aeq f B.eq