1、PAGE 2023屆安徽省安師大附中等皖江名校高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合， 則（ ）A. B. C. D. 2. 已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）A. B. 1C. D. 23. 某農(nóng)科院學(xué)生為研究某花卉種子的發(fā)芽率和溫度（單位: ）的關(guān)系，在個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖，在至之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是（ ）A. B. C. D. 4. 設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是1，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（ ）

2、A. 3B. 4C. 7D. 135. 某小區(qū)因疫情需求，物業(yè)把招募的5名志原者中分配到3處核酸采樣點(diǎn)，每處采樣點(diǎn)至少分配一名，則不同的分配方法共有（ ）A. 150 種B. 180 種C. 200 種D. 280 種6. 設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最小值為（ ）A. 16B. 8C. 4D. 27. 如圖，某港口一天從6時(shí)到18時(shí)的水深曲線近似滿足函數(shù).據(jù)此可知當(dāng)天12時(shí)的水深為（ ）A. 3.5B. 4C. D. 8. 已知直線：（）被圓：所截的弦長(zhǎng)是圓心到直線的距離的2倍，則A. 6B. 8C. 9D. 119. 在棱長(zhǎng)均等的正三棱柱中，直線與所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 10.

3、 已知奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，則（ ）A. B. C. 1D. 211. 已知球半徑為3，其內(nèi)接圓柱的體積最大值為（ ）A. B. C. D. 12. 設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則_.14. 從2,3,4,5,6這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，則所取3個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為_(kāi)15. 已知點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則到直線的最小距離為_(kāi).16. 若雙曲線的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為_(kāi).三.解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且為與的等比

4、中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求;（2）若，求.19. 為了監(jiān)控某一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程， 從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率是公比為的等比數(shù)列.（1）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率;（2）若將頻率視為概率，從該條生產(chǎn)線的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.20. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面， .（1）求證:;（2）求與平面所成角的余弦值.21. 已知線段的長(zhǎng)度為3，其端

5、點(diǎn)分別在軸與軸上滑動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;（2）當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為 ，且點(diǎn)在第一象限時(shí)，設(shè)動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，且兩直線 的斜率互為相反數(shù)， 求直線的斜率.22. 已知函數(shù).（1）求的單調(diào)性；（2）證明：.1-5：DCCBA 6-10:BACDA 11-12:CD13. 14. 15. 16. 17. 【小問(wèn)1】設(shè)數(shù)列的公差為，則由已知得，因?yàn)椋?，故；【小?wèn)2】由（1）知.所以由得:，所以.18. 【小問(wèn)1】因?yàn)?，由正弦定理得又，所以.故.小問(wèn)2】由余弦定理將代入；解得當(dāng)時(shí)， 滿足 當(dāng)時(shí)，不滿足，故舍去.綜上:.19. 【小問(wèn)1】設(shè)這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)頻率為，則在區(qū)間，內(nèi)的

6、頻率分別為和依題意得，解得所以這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率為【小問(wèn)2】由（1）得， 這此產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，將頻率視為概率得.從該企業(yè)生產(chǎn)的該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件， 相當(dāng)于進(jìn)行了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以 其中.因?yàn)榈乃锌赡苋≈禐?，1，2，3， 且，.所以的分布列為01230.0640.2880.4320216根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式可知，的數(shù)學(xué)期望為.20. 【小問(wèn)1】因?yàn)榈酌鏋檎叫?，且平面，則可得兩兩垂直.以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，因?yàn)椋?所以 所以.故， 所以.【小問(wèn)2】由（1）可知:設(shè)平面的法向量為，則，即取，則.所以.且設(shè)與平面所成角為，則.所以.即與平面所成角的余弦值.21. 【小問(wèn)1】設(shè)，則由已知得 ， 故代入上式整理得: .所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡C 的方程為.【小問(wèn)2】因?yàn)椋?故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，又點(diǎn)在第一象限，故設(shè)的方程為代入整理得 由已知， 設(shè)，則 由已知直線的斜率互為相反數(shù)，則將代入上式整理得將代入化簡(jiǎn) ，由已知不經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 故， 所以.故直線的斜率為.2