1、 復變函數(shù) 與積分變換教材與參考用書教材：復變函數(shù)與積分變換（第三版） 華中科技大學數(shù)學系 高等教育出版社 參考書1 復變函數(shù)與積分變換學習輔導與習題全解 華中科大 高等教育出版社 參考書2 復變函數(shù) 西安交通大學高等數(shù)學教研室 高等教育出版社參考書3 積分變換 東南大學 高等教育出版社3 目 錄第二章 解析函數(shù)第三章 復變函數(shù)的積分第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示第五章 留數(shù)及其應(yīng)用第八章 傅立葉變換第九章 拉普拉斯變換第一章 復數(shù)與復變函數(shù)一、學習本課程的目和的意義復變函數(shù)與積分變換（Function of Complex Variable and Integral Transform）課程介紹

2、 “復變函數(shù)”是“高等數(shù)學”在復數(shù)域的推廣，它的先修課程是“高等數(shù)學” 。高等數(shù)學中的重要概念，如導數(shù)、積分、級數(shù)、微分方程等，在本課程中都有相應(yīng)的定義，但又顯示出新的特點及運算方法。 學習復變函數(shù)需要高等數(shù)學、線性代數(shù)的的知識基礎(chǔ)；同時，復變函數(shù)的知識又能進一步加深對已學過的高等數(shù)學相關(guān)知識的理解。 所謂積分變換，就是通過積分運算，把一個函數(shù)變成另一個更為簡單且易于處理的函數(shù)。它以復變函數(shù)的知識為基礎(chǔ)，且兩者關(guān)系密切。 “復變函數(shù)與積分變換”是一門重要的基礎(chǔ)課，它的后續(xù)課程是電子信息專業(yè)的相關(guān)專業(yè)課程。它與電子技術(shù)，自動控制等課程有密切的聯(lián)系，是解決諸如電磁學、熱學、振動學、彈性理論、頻譜分

3、析的有力工具。 通過本課程的學習，使同學們初步掌握復變函數(shù)與積分變換的基本理論和方法，為學習工程力學、電工學，電磁學、振動力學、電子技術(shù)等課程奠定必要的數(shù)學基礎(chǔ)。二、課程內(nèi)容介紹本課程“復變函數(shù)與積分變換”的內(nèi)容分為兩部分。 第一部分由第一至第五章組成，討論了復數(shù)的運算及相互關(guān)系，其主要研究對象是解析函數(shù)。重點內(nèi)容是復變函數(shù)積分的各種計算；柯西（Cauchy）定理、柯西（Cauchy）積分公式的理解與應(yīng)用；解析函數(shù)的級數(shù)表示；孤立奇點的分類及其留數(shù)的計算。 這一部分介紹的復變函數(shù)的基本內(nèi)容和方法，在自然科學的很多領(lǐng)域，如理論物理、空氣動力學、流體力學、彈性力學及自動控制、電子通信等學科領(lǐng)域有著

4、廣泛應(yīng)用。 第二部分由第八、第九兩章組成，介紹了兩種在工程技術(shù)上十分重要的積分變換，即Fourier變換和Laplace變換。 這一部分內(nèi)容從Fourier級數(shù)出發(fā)，介紹了Fourier積分公式、并由此得到Fourier變換，研究了這個變換的重要性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，引入了更加有效的Laplace變換、Laplace逆變換，討論了變換的重要性質(zhì) 積分變換的思想、理論和方法在自然科學及各種工程技術(shù)領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用，它是不可缺少的重要運算工具。 復變函數(shù) 與積分變換 第一章 復數(shù)與復變函數(shù)內(nèi)容提要： 復變函數(shù)就是自變量為復數(shù)的函數(shù)，本章先學習復數(shù)的概念、性質(zhì)與運算，然后再引入平面上的點集、復變函數(shù)極

5、限、連續(xù)本章中的許多概念在形式上與微積分學中一些基本概念有相似之處，可以把它們看作微積分學中相應(yīng)的概念及定理在復數(shù)域中的推廣 第一章 復數(shù)與復變函數(shù)1.1 復數(shù)1.2 復數(shù)的三角表示1.3 平面點集的一般概念1.4 無窮大與復球面（不講）1.5 復變函數(shù)第一節(jié) 復數(shù)一、復數(shù)的基本概念 二、復數(shù)的代數(shù)運算 1. 復數(shù)的和、差、積、商、模和與差： 積： 商： 注：復數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律模： 2共軛復數(shù)及性質(zhì) 重要性質(zhì)： 注：復數(shù)的共軛性質(zhì)在實際計算和證明中有廣泛應(yīng)用 例1計算復數(shù) 解：法一（商的公式） 法二（共軛性質(zhì)） 注：某些情況應(yīng)用共軛性質(zhì)計算顯得簡單，在計算中要靈活運用共軛性質(zhì)

6、。例2解：由題意得 例3解：例4證明：證法二：第二節(jié) 復數(shù)的表示法 一、復平面 定義：復數(shù)的模： 復數(shù)的輻角： 主輻角： 注：復數(shù)的輻角Argz是多值的二、復數(shù)的表示法 1復數(shù)的向量表示法 因此 顯然有不等式： 復數(shù)、復平面上點、向量之間一一對應(yīng)2復數(shù)的三角表示法 利用直角坐標與極坐標的關(guān)系： 復數(shù)的三角表示式： 3復數(shù)的指數(shù)表示法 p(44)利用歐拉公式： 復數(shù)的指數(shù)表示式： 注意：復數(shù)的三角表示式不是唯一的，因為輻角有無窮多種選擇，如果有兩個三角表示式相等： 則可以推出： 主輻角值的確定： 例1解：于是例2： 主輻角解： 模 三、用復數(shù)的三角表示及指數(shù)表示作乘除法 即：模輻角定理1：兩個復

7、數(shù)乘積的模等于它們模的乘積，輻角等于它們的輻角之和 說明：定理2：兩復數(shù)的商的模等于它們模的商，輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差 證明：即：模輻角例5用三角表示式和指數(shù)表示式計算下列復數(shù) 解： 四、復數(shù)的乘方與開方、棣摩弗公式 1乘方公式這公式稱棣摩弗公式 2開方公式(p13) 注：例7計算下列各題： 解：即：例8解：其解為 作業(yè)：練習冊 1.1 復數(shù) 練習冊 1.2 復數(shù)的三角表示與指數(shù)表示復習：高等數(shù)學第九章第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第三節(jié) 平面點集的一般概念 研究復變函數(shù)問題，和實函數(shù)一樣，每個復變量都有自己的一、開集與閉集 1.鄰域： 2.內(nèi)點： 3.開集： 4.余集與閉集： 變化范圍，復

8、變量的變化范圍同于二元函數(shù)的變化范圍5邊界： 6孤立點： 7有界集與無界集： 二、區(qū)域 1連通： 設(shè)G中任何兩點都可以用完全屬于G的折線連接起來，則稱G是連通的 2區(qū)域： 連通的開集稱為區(qū)域，記為D 3閉區(qū)域： 區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域，4圓環(huán)域： 5.角形域： 例1試說出下列各式所表示的點集是怎樣的圖形，并指出哪些是區(qū)域： 解： 1光滑曲線 光滑曲線 由若干段光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線 三、平面曲線 2簡單閉曲線 則稱這條曲線為簡單閉曲線 簡單閉曲線 非簡單閉曲線 例2解： 為復數(shù)形式的直線方程 3、復數(shù)形式的一般方程定義：若平面上曲線的一般方程為： 則定義 為復數(shù)形式的一般

9、方程。例3解： 參數(shù)方程為 由參數(shù)式得復數(shù)形式參數(shù)方程為 定義：若平面上曲線的參數(shù)方程為： 則定義 4、復數(shù)形式的參數(shù)方程 例5 參數(shù)方程為解： 例4* 解： 直線的參數(shù)方程 例6*求下列方程所表示的曲線 解： 四、單連通區(qū)域與多連通區(qū)域 設(shè)D為一平面區(qū)域，若在D中任作一條簡單閉曲線，而曲線內(nèi)部總屬于D，則稱D為單連通區(qū)域，否則是多連通區(qū)域 單連通區(qū)域的特征：屬于D的任何一條簡單閉曲線，在D內(nèi)可經(jīng)過連續(xù) 變形而縮成一點 單連通區(qū)域多連通區(qū)域洞第四節(jié) 無窮大與復球面（不講）一、無窮遠點 為了討論問題方便，我們不但要討論有限復數(shù)，還要討論一個特殊的復數(shù)-無窮大，它是由下式定義的：加法：減法：乘法：

10、除法：而實部、虛部和輻角均沒有意義， 這個點稱為無窮遠點， 復平面加上無窮遠點稱為擴充復平面，擴充復平面上的每一條直線都通過無窮遠點. （3）無窮遠點的鄰域： 復球面定義：球面上的每一點都有唯一的復數(shù)與之對應(yīng)，這樣的球面稱為復球面； 二、復球面 第五節(jié) 復變函數(shù)一、復變函數(shù)的概念 按照這一法則， 1定義：設(shè)設(shè)是一個復數(shù)的集合，如果有一個確定的法則存在，對于集合里的每一個復數(shù) 都有一個或幾個復數(shù)與之對應(yīng)，那么稱是的復變函數(shù)，記作：例1 解： 2復變函數(shù)與二元函數(shù)的關(guān)系 例2（exp）3映射的概念（不講） 在高等數(shù)學中，常把函數(shù)用幾何圖形來表示，對于復變函數(shù)，由于它反映了兩對變量之間的對應(yīng)關(guān)系，因

11、而無法用同一個平面的幾何圖形表示出來，必須把它看成兩個復平面上點集之間對應(yīng)關(guān)系。例3 例4 解： 二、復變函數(shù)的極限和連續(xù) 1復變函數(shù)的極限(p23) 定義1定理1設(shè)函數(shù) 證明： 說明：這個定理是將復變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為求兩個二元函數(shù)的極限問題.定理2如果 例1 證明： 2復變函數(shù)的連續(xù)性(p24) 定理3函數(shù) 例2 解： 說明： 復變函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義與實函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義形式上完全相同，因此高等數(shù)學中的有關(guān)定理依然成立，因此又有有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理4(p26) (1)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）是連續(xù)函數(shù)； (2)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)函數(shù) 定義*：

12、作業(yè)：練習冊 1.1 復數(shù) 練習冊 1.2 復數(shù)的三角表示與指數(shù)表示 復習：一元及二元函數(shù)（偏）導數(shù)的基本概念 第二章 解析函數(shù) 內(nèi)容提要：解析函數(shù)是復變函數(shù)研究的主要對象在理論和實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，本章在介紹復變函數(shù)導數(shù)的概念和求導法則的基礎(chǔ)上，著重講解析函數(shù)的概念，判別方法及重要性質(zhì) 第二章 解析函數(shù)2.1 解析函數(shù)的概念2.2 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系（不講）2.3 初等函數(shù)本章小結(jié) 思考題第一節(jié) 解析函數(shù)的概念一、復變函數(shù)的導數(shù)與微分 1導數(shù)定義 (p30) 說明： 例1解：例2(p31)在全平面內(nèi)處處沒有導數(shù)。證明:例3(p31)證明:在 z = 0 點可導，且導數(shù)等于零，而在

13、其余的點不可導。例4解：2可導與連續(xù)關(guān)系（介紹） 從例2從可以看出： 結(jié)論： 證明：由導數(shù)的定義可知 3求導法則 (p32) 結(jié)論：由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實函數(shù)中導數(shù)在形式上完全相同，而且極限的運算法則也一樣，因而實函數(shù)中的求導法則可推廣到復變函數(shù)中去 4微分的概念 (p30) 復變函數(shù)的微分在形式上與一元實函數(shù)的微分概念一樣，因此類似有： 證明：二、解析函數(shù) 在復變函數(shù)理論中，重要的不是只在個別點可導的函數(shù)，而是在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)處處可導的函數(shù)，即解析函數(shù) 1解析函數(shù)的概念 注意： （1）函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導是等價的； （2）函數(shù)在一點處解析和可導是兩個不等價的概念，即在一 點處

14、可導不一定在該點解析； 例5解：所以在整個復平面處處解析（見例1）所以在整個復平面處處不解析（見例4）函數(shù)在復平面上處處不解析.（見例3） 結(jié)論1：在區(qū)域D內(nèi)解析函數(shù)的和、差、積、商（除去分母為0的點）在D內(nèi)解析結(jié)論2：設(shè)函數(shù)特別地：任何有理分式函數(shù)例（2函數(shù)解析的條件定理1：(p33）(證明從略)證明：必要性且沿平行于實軸方向： 沿平行于虛軸方向： 充分性注：導數(shù)的計算公式（p34）：定理2(p34):函數(shù)注2：函數(shù)在區(qū)域解析的一個充分條件：注1：例1討論下列函數(shù)的可導性和解析性(p35) 解：解：例2解：例3解：例4(p35了解)證明： 例5證明*： 由復合函數(shù)偏導數(shù)求法知： 在復平面內(nèi)解

15、析，例6：設(shè)求：例7（不講）證明： 下面分兩種情況討論： 因為由隱函數(shù)求導法知： 此時知曲線在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的，它們依然互相正交 作業(yè)節(jié)1.1 和 中的問題解答、1（4），31（4），2（1）（2），3（2）（4）作業(yè)：練習冊解析函數(shù)的概念第二節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)關(guān)系（不講） 平面靜電場中的電位函數(shù)、無源無旋的平面流速場中的勢函數(shù)與流函數(shù)都是一種特殊的二元實函數(shù)，即所謂的調(diào)和函數(shù)，它們都與某種解析函數(shù)有著密切的關(guān)系下面給出調(diào)和函數(shù)的定義 一、調(diào)和函數(shù)的概念 定義1： (調(diào)和函數(shù))定理1：設(shè)函數(shù) 證明： 解析函數(shù)有任意階導數(shù)，并且解析函數(shù)的導數(shù)仍是解析函數(shù). 二、共軛調(diào)

16、和函數(shù) 定義2：(共軛調(diào)和函數(shù))定理2：復變函數(shù) 根據(jù)這個定理，可以利用一個調(diào)和函數(shù)和它的共軛調(diào)和函數(shù)作出一個解析函數(shù) 三、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 例1解：例2解：用不定積分法 湊x+iy形式例3解：為什么與積分路徑無關(guān)？第三節(jié) 初等函數(shù) 本節(jié)將把實變函數(shù)中的一些初等函數(shù)推廣到復變函數(shù)中，研究它們的性質(zhì)，并討論它們的解析性 一、指數(shù)函數(shù)(p41) 1.定義：2性質(zhì)：0、有關(guān)知識回顧：(證明見后)證明（2）：例1解：據(jù)指數(shù)的定義，有 例2解：因為 二、三角函數(shù) p(47) 0有關(guān)知識回顧： 兩式相加與相減，分別得： 1、三角函數(shù)定義 p(47) (1) 實變量三角函數(shù)的性質(zhì)(2) 解析拓廣(3

17、) 歐拉公式2、性質(zhì) 3、三角公式 例3、計算：例4求下列方程的解解：三、對數(shù)函數(shù)(p43) 與實變量函數(shù)一樣，對數(shù)函數(shù)的定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù) 1.定義：2、幾點說明：注: Lnz的分支（p43）例5解：3性質(zhì)：注意：解析。注：四冪函數(shù)(p45)定義： 注1：規(guī)定當 a 為正實數(shù)且 z = 0 時，注2：是無窮多值函數(shù)。注意：(2),(3),(4)中的函數(shù)均為多值函數(shù)，它們的例6解：五、反三角函數(shù)（不講或介紹） 六、雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)（不講） 1雙曲函數(shù)性質(zhì)： 公式： 2反雙曲函數(shù) 作業(yè)：練習冊: 2.3 初等函數(shù)(打星 號的題不作要求)復習：（高等數(shù)學下冊）對坐標的 曲線積分概念、計算方

18、法、格 林公式、積分與路徑無關(guān)的條 件。 思考題*一、基本內(nèi)容（要求）： 1 （熟練掌握）復數(shù)的概念與性質(zhì) 2 （熟練掌握） 復數(shù)的表示方法 （代數(shù)、三角、指數(shù)表示法）及其運算公式。 3 （了解）平面上的點集、復變函數(shù)的極限與連續(xù) 4（掌握）函數(shù)在一點可導和在一點解析的概念，函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可導和在區(qū)域內(nèi)解析的概念。 5 （熟練掌握）函數(shù)可導和解析的充分必要條件，函數(shù)可導和解析的充分條件。C-R方程。 6 （熟練掌握）初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）的定義與性質(zhì)。二：例題選講(及作業(yè)中的主要問題)1、練習冊1.1 復數(shù)：1（4）, 3 .2、練習冊1.2 復數(shù)的三角表示（指數(shù)表示）

19、：1（4）， 2（2），3（2）.3、練習冊2.1 解析函數(shù)的概念：1（1），2（2），4（1）.4、練習冊2.3 初等函數(shù)：2（2），3（1），（3）. 三、復習高等數(shù)學下冊第十一章： 第二節(jié) 對坐標的曲線積分的概念、性質(zhì)與計算方法。 第三節(jié) 格林公式、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件。 第三章 復變函數(shù)的積分 內(nèi)容提要：在微積分中，當引入實變量函數(shù)的積分后，可以解決很多的重要的問題，在復變函數(shù)中也一樣，當引入復變函數(shù)的積分后，也可以解決很多理論及實際問題如有了積分可以證明一個區(qū)域上有導數(shù)的函數(shù)就有無窮多階導數(shù)，可以將一般的解析函數(shù)分解成一些最簡單的函數(shù)的迭加，這就給研究解析函數(shù)的性質(zhì)提供了強

20、有力的工具，今后還可以看出用復變函數(shù)的積分給計算某些定積分帶來很大的方便 本章內(nèi)容與實變量二元函數(shù)有緊密關(guān)系，特別是二元函數(shù)的第二類曲線積分的概念、性質(zhì)和計算方法，全微分及積分與的問題，格林公式等 第三章 復變函數(shù)的積分3.1 復積分的概念3.2 柯西積分定理3.3 柯西積分公式3.4 解析函數(shù)的高階導數(shù)本章小結(jié) 思考題第一節(jié) 復積分的概念一、復積分的定義 有向曲線：設(shè)C為平面給定的一條光滑（或按段光滑）的曲線，如果選定C的兩個可能方向的一個作為正方向（或正向），則我們就把C稱為有向曲線與曲線C反方向的曲線記為 簡單閉曲線正向：當曲線上的點P順此方向前進時，鄰近P點的曲線內(nèi)部始終位于P點的左方

21、，這時曲線方向稱為正方向（右手法則）。 定義1： C為區(qū)域D內(nèi)起點為A終點為B的一條有向光滑的簡單曲線 說明：二、復積分存在條件及其計算公式（p55）定理1：證明：說明：三、復積分的性質(zhì)(p58) 因為復積分的實部和虛部都是曲線積分，因此，曲線積分的一些基本性質(zhì)對復積分也成立 證明性質(zhì)*（5）： （估值不等式） 回顧:對坐標的曲線積分的計算法在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為則有：連續(xù), 注：積分下限的參數(shù)值對應(yīng)曲線的起點，積分上限的參數(shù)值對應(yīng)曲線的終點（下限不一定要小于上限）。利用本節(jié)公式計算復積分的基本方法： 注：在已知曲線C的方程的條件下適合用以上方法計算復積分。例1(p56)

22、 由此題可以看出，盡管起點、終點都一樣，由于沿不同的曲線積分，積分值是不同的，積分與路徑有關(guān)。（例1略）解：（例1）解： 注意：由此題可以看出，盡管起點、終點都一樣，但由于沿不同的曲線積分，所以積分值也是不同的，積分與路徑有關(guān)例2解：解： 注意：此題說明，沿不同的路徑積分的結(jié)果是相同的，即積分與路徑無關(guān)， 例3（p57）解：綜上所述： 注：這個積分結(jié)果以后常用，它的特點是：積分結(jié)果與積分路線圓周的中心和半徑無關(guān) 例4*(p58)解：例5*p(59)證明：作業(yè)：練習冊 3.1 復積分的概念復習：（高等數(shù)學） 格林公式、積分 與路徑無關(guān)的條件第二節(jié) 柯西積分定理 從上一節(jié)所舉的例子來看: 的任何路

23、線積分值都相同，換句話說，積分是與路徑無關(guān)的 下面我們將討論：積分的值與路徑無關(guān)或沿閉曲線積分值為零的條件。 下面我們將討論：積分的值與路徑無關(guān)或沿閉曲線積分值為零的條件。區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向: 右手法則。定理. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導數(shù),（1）格林公式：0：知識回顧（2）平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)(4

24、) 在 D 內(nèi)每一點都有與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān). 函數(shù)則以下四個條件等價:在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 一、柯西積分定理 即：定理2：（柯西古薩基本積分定理）(p60) 定理2的證明*：說明1：說明2(p60)：定理3(p60)：證明：依柯西-古薩基本定理 該定理表明：單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)的積分與路徑無關(guān) 例6(p61)解：例7 說明：若f (z) 的積分等于零，并非一定有Re f (z) 或Im f (z) 的積分也為零。二、復合閉路定理(p61) 定理4：（閉路變形定理） 一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分不會因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)的變形而改變它的值，這事實稱閉路變形原理 證明：推論：

25、（復合閉路定理） 證明：解：我們分兩步來說明例1（教材p57 例 ）例1（1）解：綜上所述： 注：這個積分結(jié)果以后常用，它的特點是：積分結(jié)果與積分路線圓周的中心和半徑無關(guān) 例2（p62）解：三、原函數(shù)與不定積分 定理5：1積分上限函數(shù) 定理6：證明：2原函數(shù)的概念 結(jié)論： 定理7：證明： 注：定理7類似于微積分學中的基本定理：牛頓萊布尼茲公式 有了定理7，復變函數(shù)的積分就可用跟實變量函數(shù)微積分學中類似的方法計算，分部積分法，換元積分法均可用在復變函數(shù)積分中 例3(p57例3.3)解：例4(p57例3.2)解：例5(p65例3.8)解：例6解：例7解：例8(p65例3.9)解：第三節(jié) 柯西積分公

26、式 一、柯西積分公式 定理8：(柯西積分公式）(p66) 證明：幾點說明：（2）柯西公式提供了計算積分的一個新方法：（3）柯西公式可表成如下形式(p67)（研究函數(shù)的工具）：例1計算下列積分(p68)解：解：解：例2計算下列積分 解：例3（不講）證明：推論1*：（平均值公式）（介紹） 推論2*：二、最大模原理(不講) 定理9：（最大模原理） 這個定理表明一個解析函數(shù)的模，在區(qū)域內(nèi)部的任何一點都達不到最大值，除非這個函數(shù)恒等于常數(shù)這是解析函數(shù)一個非常重要的原理 推論1：推論2：說明：最大模原理不僅是復變函數(shù)論一個很重要的原理，而且在實際上也是很有用的原理，它在流體力學上反映了平面穩(wěn)定流動在無源無旋的區(qū)域內(nèi)流體的最大值不能在區(qū)域內(nèi)達到，而只能在邊界上達到，除非它是等速流體 例4證明：第四節(jié) 解析函數(shù)的高階導數(shù) 一、解析函數(shù)高階導數(shù)公式 一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù)，而且有各高階導數(shù)，它的值也可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示這一點跟實變函數(shù)完全不同，一個實變函數(shù)在某一區(qū)間上可導，它的導數(shù)在這個區(qū)間上是否連續(xù)也不一定 ，更不要說有高階導數(shù)存在了下面我們討論解析函數(shù)的各階導數(shù)的解析問題 再繼續(xù)又可得： 這是求導與積分兩