1、關(guān)于函數(shù)的極值最大值與最小值第1頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四一、函數(shù)的極值定義 設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義, 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于x0的x都有極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. 極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).(1) 成立, 則稱 為 f(x)的極大值, 稱 為f(x)的極大值點(diǎn)；(2) 成立, 則稱 為f(x)的極小值, 稱 為f(x)的極小值點(diǎn)；1. 極值的定義第2頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2) 對(duì)常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或不存在的點(diǎn)上.1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).第3頁(yè)，共

2、23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四2. 極值存在的必要條件定理1 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo), 且在x0處取得極值, 那么f (x0)0. 證明:以f(x0)是極大值來證明.因?yàn)閒(x0)是極大值, 故在x0的某鄰域內(nèi),對(duì)任意的 都有所以,當(dāng) 時(shí),所以當(dāng) 時(shí),所以第4頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四 使導(dǎo)數(shù)f (x)為零的點(diǎn)(方程f (x)0的實(shí)根)稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn). 思考: 極值點(diǎn)是否一定是駐點(diǎn)? 駐點(diǎn)是否一定是極值點(diǎn)?第5頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四3. 極值的判別法定理2 (第一充分條件) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)

3、x0連續(xù), 且在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點(diǎn)x0可除外). 如果在該鄰域內(nèi) 如果f(x)在x0的兩側(cè)保持相同符號(hào), 則x0不是f(x)的極值點(diǎn).第6頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四因此可知x0為f(x)的極大值點(diǎn).同理可說明情形(2).說明:對(duì)于情形(1)，由判別定理可知,當(dāng) 時(shí), f(x)單調(diào)增加,當(dāng) 時(shí), f(x)單調(diào)減少,第7頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四的符號(hào), 依定理判定xi 是否為f(x)的判定函數(shù)極值一般步驟(3) 判定每個(gè)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)兩側(cè)(在xi 較小的鄰域內(nèi))極值點(diǎn).第8頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期

4、四可知x=0為y的極小值點(diǎn), 極小值為0.例1.所給的函數(shù)定義域?yàn)榻?非極值極小0+0+0y1(0, 1)0 x第9頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四例2. (1) f(x)在( )內(nèi)連續(xù) 除x1外處解: (3) 列表判斷x1為不可導(dǎo)點(diǎn)得駐點(diǎn)x1 (2) 令f (x)0可導(dǎo) 且( 1)1(1 1)1(1 )不可導(dǎo)0 x f (x) f(x)0第10頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四定理3 (第二充分條件) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù), 且則證: (1)存在x0的某鄰域, 使由判別法1知同理證(2).第11頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日

5、，11點(diǎn)7分，星期四說明: 當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)易求, 且駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù) 時(shí), 利用判定極值的第二充分條件判定駐點(diǎn) 是否為極值點(diǎn)比較方便.但當(dāng) f (x0)0時(shí) 只能用方法1判斷.第12頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四例3. 求函數(shù)f(x)(x21)31的極值 解: f (x)6x(x21)2 令f (x)0 求得駐點(diǎn)x11 x20 x31 f (x)6(x21)(5x21) 因?yàn)閒 (0)60 所以f (x)在x0處取得極 小值 極小值為f(0)0 無(wú)法用定理3-8判別 在1的左右鄰域內(nèi)f (x)0 所以f(x)在1處沒有極值 同理, f(x)在1處也沒極值 因?yàn)閒 (1

6、)f (1)0第13頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四二、最大值最小值問題 怎樣求函數(shù)的最大值和最小值? x1x2x3x4x5Mm觀察與思考： 觀察下面的函數(shù)在哪些點(diǎn)有可能成為最大值或最小值點(diǎn)?第14頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四 其最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中的最小者 極值與最值的關(guān)系:x1x2x3x4x5Mm 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間端點(diǎn)及區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)處取得. 函數(shù)在閉區(qū)間a b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中的最大者;第15頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11

7、點(diǎn)7分，星期四最大值和最小值的求法: (1)求出函數(shù)f(x)在(a b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn) 設(shè)這些點(diǎn)為x1 x2 xn; (2)計(jì)算函數(shù)值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;x1x2x3x4x5Mm (3)判斷: 最大者是函數(shù)f(x)在a b上的最大值 最小者是函數(shù)f(x)在a b上的最小值第16頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四例4. 求在上的最大值與最小值.解:令得駐點(diǎn)因?yàn)樗缘?7頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四 例5. 工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km A點(diǎn)到火車站B的距離為100km 欲修一條從工廠到鐵路的公路CD 已知

8、鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5 為使火車站B與工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省 問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？DC20kmAB100km解: x 設(shè)ADx(km) y5kCD3kDB (k是某個(gè)正數(shù)) B與C間的運(yùn)費(fèi)為y 則 DB=100 x 即)100(340052xkxky-+=(0 x100). 第18頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四其中以y|x15380k為最小因此當(dāng)AD15km時(shí) 運(yùn)費(fèi)最省 由于y|x0400k y|x15380k 第19頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四解: 設(shè)觀察者與墻的距離為x(m),則令得駐點(diǎn)根據(jù)問題的實(shí)際意義, 觀察者最佳站位存在, 駐點(diǎn)又唯一,因此他站在距墻 2.4 m 處看圖最清楚 .例6. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上, 它的底邊高于觀察者的眼睛1.8 m, 問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最清楚(視角 最大) ? 第20頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)7分，星期四特殊情況下的最大值與最小值: 若 f(x)在一區(qū)間(有限或無(wú)限 開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且有且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0 則： 當(dāng)f(x0)是極大值時(shí) f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值 說明當(dāng)f(x0)是極小值時(shí) f(x0)就是f(x)在該區(qū) 區(qū)間上的最小值 第21頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日