1、1矩陣及其運算教學(xué)要求：理解矩陣的定義、掌握矩陣的基本律、掌握幾類特殊矩陣（比如零矩陣，單位矩陣，對稱矩陣和反對稱矩陣）的定義與性質(zhì)、注意矩陣運算與通常數(shù)的運算異同。能熟練正確地進行矩陣的計算。知識要點：一、矩陣的基本概念矩陣，是由附加個數(shù)組成的一個陽行列的矩形表格，通常用大寫字母也風(fēng)二表示，組成矩陣的每一個數(shù)，均稱為矩陣的元素，通常用小寫字母其元素他也，叫表示，其中下標(biāo)g都是正整口q-G以11WL2必5電1電3,0覬-ZL數(shù)，他們表示該元素在矩陣中的位置。比如，Ui限-題J或且二1%.%選表示一個新乂君矩陣，下標(biāo)仃表示元素%位于該矩陣的第工行、第J歹u。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。特別地，一

2、個/燈矩陣鼻）,也稱為一個幽維列向量；而一個收網(wǎng)矩陣以二回憶，外，也稱為一個漢維行向量。當(dāng)一個矩陣的行數(shù)掰與烈數(shù)相等時，該矩陣稱為一個階方陣。對于方陣，從左上角到右下角的連線，稱為主對角線；而從左下角到右上角的連線稱為付對角線。若一個階方陣的主對角線上的元素都是1,而其余元素都是零，則稱為單位矩陣，記為耳，即：TOC o 1-5 h z1001-0凡=_I?？?1m。如一個階方陣的主對角線上（下）方的元 HYPERLINK l bookmark4 知0-0、-iiT.=素都是零，則稱為下（上）三角矩陣，例如，用一鼻是4%瓦召_0與聞痕一個溝階下三角矩陣，而10J則是一個階上三角矩陣。今后我們用

3、洶的表示數(shù)域F上的制網(wǎng)矩陣構(gòu)成的集合，而用洶（的或者表示數(shù)域F上的出階方陣構(gòu)成的集合。二、矩陣的運算1、矩陣的加法：如果且=（%）田=（A）是兩個同型矩陣（即它們具有相同的行數(shù)和列數(shù)，比如說ABe凡磔，則定義它們的和A+B仍為與它們同型的矩陣（即工），H十B的元素為和B對應(yīng)元素的和，即：工十二同十%）。給定矩陣月=（%）,我們定義其負矩陣-月為：。這樣我們可以定義同型矩陣的減法為：。由于矩陣的加法運算歸結(jié)為其元素的加法運算，容易驗證，矩陣的加法滿足下列運算律：(1)交換律：；B=B+A；(2)結(jié)合律：工十田十二口十的十C；(3)存在零兀：$+0=0+工=工；(4)存在負元：工十(-百二(-聞十

4、月二U。、數(shù)與矩陣的乘法：設(shè)標(biāo)犀為一個數(shù)，/=(詢)E4泗，則定義與的乘積仍為也陽中的一個矩陣，立且中的元素就是用數(shù)乘A中對應(yīng)的元素的道德，即卷二W由定義可知：(fT。容易驗證數(shù)與矩陣的乘法滿足下列運算律：(1m；(2)用且+b)=nx+/f；(3)(用十“)工二兄力十“熱；(4)(足“)力二義(#力)二“54)。、矩陣的乘法：設(shè)a二(%)為襦距陣，為距陣，則矩陣可以左乘矩陣的(注意：距陣德列數(shù)等與矩陣的行數(shù))，所得的積為一個班4距陣，即，其中C二傳)，并且%二旬+%+十%二Z如齡。據(jù)真的乘法滿足下列運算律(假定下面的運算均有意義)：(1)結(jié)合律：即)u=&g；(2)左分配律：+C)=+zc；

5、(3)右分酉己律：口十E匯二月十SC；(4)數(shù)與矩陣乘法的結(jié)合律：(凡八只口即=雙轉(zhuǎn))；(5)單位元的存在性：44.二4叱4E=4四。#=AA-A若工為I階方陣，則對任意正整數(shù)，我們定義：J,并規(guī)定：#=且由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，我們有：，(#)二心。注意：矩陣的乘法與通常數(shù)的乘法有很大區(qū)別，特別應(yīng)該注意的是：(1)矩陣乘法不滿足交換律：一般來講即便遇s有意義，也未必有意義；倘使，口都有意義，二者也未必相等(請讀者自己舉反例)。正是由于這個原因，一般來講，色十/，#十2十必，(2)兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣，即處二。未必能推出或者E=0(請讀者自己舉反例)。(3)消去律部成立：如果您。上二

6、并且，未必有4、矩陣的轉(zhuǎn)置：“1au%、乂_電1%0如定義：設(shè)Ui明題J為聃踹矩陣，我們定義的轉(zhuǎn)置為41.%盤他_口12電3一個外根矩陣，并用加表示的轉(zhuǎn)置，即：U知時。矩陣的轉(zhuǎn)置運算滿足下列運算律：(1)5吁=；(2)(月十妁二#十或(3)(硒；(4)3。5、對稱矩陣：定義i.n雙階方陣再若滿足條件：史二遇，則稱為對稱矩陣;若滿足條件：加二-卅，則稱再為反對稱矩陣。若設(shè)*二如），則為對稱矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)：勺對任意的=12，跖成立；工為反對稱矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)%二一%對任意的s=成立。從而反對稱局針對角線上的元素必為零。對稱矩陣具有如下性質(zhì)：（1）對于任意噌相矩陣，才H為I階對稱矩陣；而為階對稱矩陣；（2）兩個同階（反）對稱矩陣的和，仍為（反）對稱矩陣；（3）如果兩個同階（反）對稱矩陣打3可交換，即期?二W，則它們的乘積必為對稱矩陣,即即）二近。思考題：為第1為第1個分