1、PAGE PAGE 66固體中的應(yīng)力波李 清中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）參考書(shū)：1 王禮立. 應(yīng)力波基礎(chǔ)第2版(2005年8月1日)，國(guó)防工業(yè)出版社2 李玉龍. 應(yīng)力波基礎(chǔ)簡(jiǎn)明教程第1版 (2007年4月1日)，西北工業(yè)大學(xué)3 丁啟財(cái)(美國(guó)). 固體中的非線性波，中國(guó)友誼出版公司4 宋守志. 固體中的應(yīng)力波，煤炭工業(yè)出版社5 楊善元. 巖石爆破動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)，煤炭工業(yè)出版社6 萊茵哈特(楊善元譯). 固體中的應(yīng)力瞬變，煤炭工業(yè)出版社7 徐小荷. 沖擊鑿巖的理論基礎(chǔ)與電算方法，東工出版社8 郭自強(qiáng). 固體中的波，地震出版社目 錄 TOC o 1-3 h z HYPERLINK l _Toc107636538

2、 第0章 緒論 PAGEREF _Toc107636538 h 1 HYPERLINK l _Toc107636539 1 波動(dòng)現(xiàn)象 PAGEREF _Toc107636539 h 1 HYPERLINK l _Toc107636540 2 應(yīng)力波的概念 PAGEREF _Toc107636540 h 1 HYPERLINK l _Toc107636541 3 應(yīng)力波分類 PAGEREF _Toc107636541 h 3 HYPERLINK l _Toc107636542 4 應(yīng)力波理論與其它力學(xué)理論的關(guān)系 PAGEREF _Toc107636542 h 3 HYPERLINK l _Toc

3、107636543 5 應(yīng)力波理論的發(fā)展 PAGEREF _Toc107636543 h 3 HYPERLINK l _Toc107636544 6 應(yīng)力波理論在巖土工程中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc107636544 h 3 HYPERLINK l _Toc107636545 第1章 一維應(yīng)力波基礎(chǔ) PAGEREF _Toc107636545 h 4 HYPERLINK l _Toc107636546 1.1波動(dòng)方程及其解 PAGEREF _Toc107636546 h 4 HYPERLINK l _Toc107636547 1.1.1 一維縱波的波動(dòng)方程 PAGEREF _Toc107

4、636547 h 4 HYPERLINK l _Toc107636548 1.1.2 波的傳播速度 PAGEREF _Toc107636548 h 4 HYPERLINK l _Toc107636549 1.1.3 波動(dòng)方程的解 PAGEREF _Toc107636549 h 5 HYPERLINK l _Toc107636550 1.1.4 解的物理意義 PAGEREF _Toc107636550 h 6 HYPERLINK l _Toc107636551 1.2 應(yīng)力波的幾個(gè)基本參量 PAGEREF _Toc107636551 h 7 HYPERLINK l _Toc107636552 1

5、.3 應(yīng)力波的能量 PAGEREF _Toc107636552 h 7 HYPERLINK l _Toc107636553 1.4 波的衰減 PAGEREF _Toc107636553 h 8 HYPERLINK l _Toc107636554 1.4.1 原因 PAGEREF _Toc107636554 h 8 HYPERLINK l _Toc107636555 1.4.2 度量 PAGEREF _Toc107636555 h 8 HYPERLINK l _Toc107636556 1.4.3 衰減率的測(cè)定 PAGEREF _Toc107636556 h 9 HYPERLINK l _Toc

6、107636557 1.5 考慮桿的橫向效應(yīng)的波動(dòng)方程 PAGEREF _Toc107636557 h 10 HYPERLINK l _Toc107636558 1.6 桿中的扭轉(zhuǎn)波與彎曲波 PAGEREF _Toc107636558 h 12 HYPERLINK l _Toc107636559 1.6.1 扭轉(zhuǎn)波 PAGEREF _Toc107636559 h 12 HYPERLINK l _Toc107636560 1.6.2 彎曲波 PAGEREF _Toc107636560 h 13 HYPERLINK l _Toc107636561 第2章 二維和三維彈性波理論基礎(chǔ) PAGEREF

7、_Toc107636561 h 14 HYPERLINK l _Toc107636562 2.1 彈性體的運(yùn)動(dòng)微分方程 PAGEREF _Toc107636562 h 14 HYPERLINK l _Toc107636563 2.2 彈性體的無(wú)旋波與等容波 PAGEREF _Toc107636563 h 15 HYPERLINK l _Toc107636564 2.2.1 無(wú)旋波(縱波、P波) PAGEREF _Toc107636564 h 15 HYPERLINK l _Toc107636565 2.2.2 等容波(橫波、S波) PAGEREF _Toc107636565 h 16 HYPE

8、RLINK l _Toc107636566 2.3 平面波的傳播 PAGEREF _Toc107636566 h 17 HYPERLINK l _Toc107636567 2.3.1 平面縱波(V/c) PAGEREF _Toc107636567 h 17 HYPERLINK l _Toc107636568 2.3.2 平面橫波(Vc) PAGEREF _Toc107636568 h 18 HYPERLINK l _Toc107636569 2.4 薄板中的應(yīng)力波 PAGEREF _Toc107636569 h 19 HYPERLINK l _Toc107636570 2.4.1 控制方程 P

9、AGEREF _Toc107636570 h 19 HYPERLINK l _Toc107636571 2.4.2 縱波 PAGEREF _Toc107636571 h 20 HYPERLINK l _Toc107636572 2.4.3 橫波 PAGEREF _Toc107636572 h 21 HYPERLINK l _Toc107636573 2.4.4 各種波速關(guān)系 PAGEREF _Toc107636573 h 21 HYPERLINK l _Toc107636574 2.5 球面波 PAGEREF _Toc107636574 h 22 HYPERLINK l _Toc1076365

10、75 2.5.1 波動(dòng)方程及其解 PAGEREF _Toc107636575 h 22 HYPERLINK l _Toc107636576 2.6 柱面波 PAGEREF _Toc107636576 h 23 HYPERLINK l _Toc107636577 第3章 應(yīng)力波的相互作用 PAGEREF _Toc107636577 h 24 HYPERLINK l _Toc107636578 3.1 一維應(yīng)力波在界面的反射和透射 PAGEREF _Toc107636578 h 24 HYPERLINK l _Toc107636579 3.1.1 應(yīng)力波在不同介質(zhì)界面的反射和透射 PAGEREF

11、_Toc107636579 h 25 HYPERLINK l _Toc107636580 3.1.2應(yīng)力波在變截面桿中的反射和透射 PAGEREF _Toc107636580 h 26 HYPERLINK l _Toc107636581 3.2 兩桿相撞的入射波 PAGEREF _Toc107636581 h 27 HYPERLINK l _Toc107636582 3.3 傳播圖與狀態(tài)圖 PAGEREF _Toc107636582 h 29 HYPERLINK l _Toc107636583 3.3.1傳播圖 PAGEREF _Toc107636583 h 29 HYPERLINK l _T

12、oc107636584 3.3.2 狀態(tài)圖 PAGEREF _Toc107636584 h 30 HYPERLINK l _Toc107636585 3.4 彈性桿中波的傳播（圖解法舉例） PAGEREF _Toc107636585 h 32 HYPERLINK l _Toc107636586 3.4.1 沖錘撞擊桿件應(yīng)力波的傳播 PAGEREF _Toc107636586 h 32 HYPERLINK l _Toc107636587 3.4.2 雙圓柱活塞撞擊釬桿應(yīng)力波傳播 PAGEREF _Toc107636587 h 33 HYPERLINK l _Toc107636588 3.5 平面

13、波的邊界效應(yīng) PAGEREF _Toc107636588 h 36 HYPERLINK l _Toc107636589 3.5.1 平面波在界面上的垂直入射 PAGEREF _Toc107636589 h 36 HYPERLINK l _Toc107636590 3.5.2 平面波在界面上的傾斜入射 PAGEREF _Toc107636590 h 37 HYPERLINK l _Toc107636591 3.6 應(yīng)力波引起的破裂 PAGEREF _Toc107636591 h 39 HYPERLINK l _Toc107636592 3.6.1金屬絲沖擊波拉伸斷裂 PAGEREF _Toc10

14、7636592 h 39 HYPERLINK l _Toc107636593 3.6.2 Hopkinson壓桿與飛片 PAGEREF _Toc107636593 h 41 HYPERLINK l _Toc107636594 3.6.3 斷裂準(zhǔn)則 PAGEREF _Toc107636594 h 41 HYPERLINK l _Toc107636595 3.6.4 簡(jiǎn)單反射拉伸波引起的層裂或剝裂 PAGEREF _Toc107636595 h 42 HYPERLINK l _Toc107636596 3.6.5 物體形狀對(duì)應(yīng)力波引起破裂的影響 PAGEREF _Toc107636596 h 45

15、 HYPERLINK l _Toc107636591 3.7 沖擊波基本問(wèn)題45 HYPERLINK l _Toc107636597 第4章 固體中的非線性波基礎(chǔ) PAGEREF _Toc107636597 h 48 HYPERLINK l _Toc107636598 4.1 彈塑性加載波及其相互作用 PAGEREF _Toc107636598 h 48 HYPERLINK l _Toc107636599 4.1.1 強(qiáng)間斷彈塑性波的迎面加載 PAGEREF _Toc107636599 h 48 HYPERLINK l _Toc107636600 4.1.2弱間斷彈塑性波的迎面加載 PAGER

16、EF _Toc107636600 h 50 HYPERLINK l _Toc107636601 4.2 卸載波的控制方程和特征線 PAGEREF _Toc107636601 h 51 HYPERLINK l _Toc107636602 第5章 巖石動(dòng)態(tài)力學(xué)性質(zhì)與應(yīng)力波的相互作用 PAGEREF _Toc107636602 h 53 HYPERLINK l _Toc107636603 5.1 巖石動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系與動(dòng)態(tài)強(qiáng)度 PAGEREF _Toc107636603 h 53 HYPERLINK l _Toc107636604 5.2 巖石動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)測(cè)試 PAGEREF _Toc107636604

17、 h 54 HYPERLINK l _Toc107636605 5.3 本構(gòu)關(guān)系對(duì)應(yīng)力波傳播的影響 PAGEREF _Toc107636605 h 54 HYPERLINK l _Toc107636606 5.4 應(yīng)變率相關(guān)的應(yīng)力波理論 PAGEREF _Toc107636606 h 55 HYPERLINK l _Toc107636607 5.4.1 Voigt體 PAGEREF _Toc107636607 h 55 HYPERLINK l _Toc107636608 5.4.2 Maxwell體 PAGEREF _Toc107636608 h 55 HYPERLINK l _Toc1076

18、36609 第6章 應(yīng)力波在巖土工程中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc107636609 h 55 HYPERLINK l _Toc107636610 6.1 應(yīng)力波在沖擊鑿巖中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc107636610 h 55 HYPERLINK l _Toc107636611 6.1.1 沖擊鑿巖的應(yīng)力波的傳遞 PAGEREF _Toc107636611 h 55 HYPERLINK l _Toc107636612 6.1.2 鑿巖機(jī)的鑿入機(jī)理 PAGEREF _Toc107636612 h 55 HYPERLINK l _Toc107636613 6.1.3 入射波形對(duì)鑿入效果

19、的影響 PAGEREF _Toc107636613 h 56 HYPERLINK l _Toc107636614 6.1.4 沖擊鑿巖的破壞原理 PAGEREF _Toc107636614 h 56 HYPERLINK l _Toc107636615 6.2 應(yīng)力波在爆破工程中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc107636615 h 56 HYPERLINK l _Toc107636616 6.3 應(yīng)力波在土動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc107636616 h 56 HYPERLINK l _Toc107636617 6.3.1緒論 PAGEREF _Toc107636617 h 56

20、 HYPERLINK l _Toc107636618 6.3.2 土的動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系及其描述 PAGEREF _Toc107636618 h 58 HYPERLINK l _Toc107636619 6.4 應(yīng)力波在地震工程學(xué)的應(yīng)用 PAGEREF _Toc107636619 h 58 HYPERLINK l _Toc107636620 第7章 應(yīng)力波測(cè)試分析技術(shù)簡(jiǎn)介 了解 PAGEREF _Toc107636620 h 60 HYPERLINK l _Toc107636621 7.1 膨脹環(huán)測(cè)試技術(shù) PAGEREF _Toc107636621 h 60 HYPERLINK l _Toc10

21、7636622 7.2 Hopkinson桿測(cè)試技術(shù) PAGEREF _Toc107636622 h 60 HYPERLINK l _Toc107636623 7.3 Taylor圓柱測(cè)試技術(shù) PAGEREF _Toc107636623 h 61 HYPERLINK l _Toc107636624 7.4 高速?zèng)_擊載荷的實(shí)驗(yàn)技術(shù) PAGEREF _Toc107636624 h 61第0章 緒論1 波動(dòng)現(xiàn)象波動(dòng)現(xiàn)象：水波、聲波、電磁波、光波等。波是一種擾動(dòng)或狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播，波動(dòng)是非常普遍存在的一種運(yùn)動(dòng)形式，一般可分為兩大類：機(jī)械波和電磁波。這里所述的應(yīng)力波屬于機(jī)械波，是機(jī)械擾動(dòng)在連續(xù)介質(zhì)中的

22、傳播過(guò)程。機(jī)械波產(chǎn)生于可變形介質(zhì)的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)，通過(guò)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近的振動(dòng)來(lái)傳遞能量。2 應(yīng)力波的概念介質(zhì)的某部分受力發(fā)生了一種狀態(tài)的擾動(dòng)，離開(kāi)初始平衡位置，與相鄰介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)(變形)，并和周圍介質(zhì)產(chǎn)生壓力差，這種壓力差將導(dǎo)致周圍介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)投入運(yùn)動(dòng)，但由于介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)具有慣性，而使某相鄰質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)滯后，外載荷在表面上的擾動(dòng)就這樣在介質(zhì)中由近及遠(yuǎn)地傳播出去而形成應(yīng)力波。應(yīng)力波理論主要研究力、位移、速度等物理量在固體中傳播的規(guī)律以及它們對(duì)固體的作用效應(yīng)。理論力學(xué)中，物理被認(rèn)為是剛體(不變形)，遵循牛頓慣性定律F=ma材料力學(xué)、彈性力學(xué)，研究物理變形，但不考慮變形而產(chǎn)生的物理運(yùn)動(dòng)，不考慮物理的慣性，遵

23、循虎克定律現(xiàn)實(shí)的物體，慣性和彈性兼而有之，當(dāng)它受力時(shí)，既改變它的速度又改變它的形狀。物理受力部位的質(zhì)點(diǎn)，克服慣性，發(fā)生速度的變化，這種變化遵循慣性定律(牛頓定律)，速度的變化必然導(dǎo)致變形，變形阻礙速度變化；反過(guò)來(lái)說(shuō)，物理受力部位，由于彈性的作用，必定會(huì)有變形，這種變形符合虎克定律，但在實(shí)現(xiàn)變形時(shí)，質(zhì)點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)變速運(yùn)動(dòng)，變速運(yùn)又阻礙變形的發(fā)展。由此可見(jiàn)，物理內(nèi)部同時(shí)存在著彈性和慣性，相互作用，導(dǎo)致物理中形變和速度的轉(zhuǎn)移，這就是應(yīng)力波。應(yīng)力波得以在連續(xù)介質(zhì)中傳播的基本條件是介質(zhì)的可變形性和慣性。對(duì)于不可變形的剛體，局部的擾動(dòng)（力或位移）可立即傳到整個(gè)物體的每一部分。若介質(zhì)沒(méi)有慣性，則擾動(dòng)的傳遞也是瞬

24、時(shí)完成的，一切實(shí)際材料都具備這兩個(gè)條件，所以一切實(shí)際材料都能傳播應(yīng)力波。固體中的應(yīng)力波的研究主要用于地震、爆作、高速撞擊、爆破、超生波等應(yīng)力波的發(fā)生和傳播過(guò)程。應(yīng)力波波陣面介質(zhì)中擾動(dòng)的區(qū)域和擾動(dòng)未波及的區(qū)域的界面。分析波陣面的前后狀態(tài)參量的變化關(guān)系，有兩種類型。間斷波波陣面前后質(zhì)點(diǎn)微團(tuán)的狀態(tài)參量有一個(gè)有限的差值。狀態(tài)參量發(fā)生躍變，數(shù)學(xué)上叫強(qiáng)間斷。連續(xù)波波陣面前后質(zhì)點(diǎn)微團(tuán)的狀態(tài)參量的差值為無(wú)限小。狀態(tài)參量的分布是連續(xù)的，數(shù)學(xué)上叫弱間斷。強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)間斷波和連續(xù)波是相互轉(zhuǎn)化。彌散波：如介質(zhì)的性質(zhì)使得高應(yīng)力水平增量波具有較低傳播速度，波形在傳播過(guò)程中會(huì)逐漸拉長(zhǎng)、散開(kāi)的連續(xù)波。匯聚波：如介質(zhì)的性質(zhì)使得高應(yīng)

25、力水平增量波具有較高傳播速度，那么處于后面的高波速的增量波不斷追趕前面的較低波速的增量波，使得連續(xù)波波形逐漸縮短。沖擊波：一定條件下，后面具有高波幅的增量波趕上前面波幅的較低的增量波形成以統(tǒng)一波速傳播的強(qiáng)間斷波波陣面，連續(xù)波轉(zhuǎn)化為沖擊波。間斷波中除了沖擊波之外，還有一種等熵的間斷波，這就是彈性間斷波，因?yàn)閺椥宰冃问强赡娴倪^(guò)程，彈性間斷波只是在波形上與連續(xù)波不相同，二者在本質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別。最后介紹關(guān)于加載波與卸載波的概念。固體介質(zhì)不但能承受壓力，而且能承受拉力。對(duì)介質(zhì)加壓，使介質(zhì)壓密就是加載；對(duì)已經(jīng)受壓后的介質(zhì)減壓，使介質(zhì)稀疏就是卸載。當(dāng)波陣面通過(guò)一個(gè)介質(zhì)微團(tuán)時(shí)，其效果是使微團(tuán)壓密的就是加載波（壓

26、縮波）；其效果是使微團(tuán)稀疏的就是卸載波（拉伸波）。加載波和卸載波的波形如圖示。3 應(yīng)力波分類按力的特征分拉伸、壓縮波（稀疏波或縱波）；彎曲波、剪切波（橫波）按波陣面的形狀分平面波、柱面波、球面波按變形特征分無(wú)旋波（膨脹波）、等容波（畸變波）按介質(zhì)的物理特征分彈性波、塑性波、粘彈波、粘塑波按介質(zhì)的幾何特性分一維波（桿波）、二維波（平面波）、三維波（空間波）4 應(yīng)力波理論與其它力學(xué)理論的關(guān)系應(yīng)力波理論是固體動(dòng)力學(xué)的分支。但目前的固體動(dòng)力學(xué)往往集中研究材料在高應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，而把已知材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能、介質(zhì)受到外部動(dòng)載作用的規(guī)律研究讓位于應(yīng)力波理論。但二者是相互依賴而發(fā)展，一方面應(yīng)力波理論的

27、發(fā)展必須建立在對(duì)材料動(dòng)態(tài)力學(xué)性能的了解之上；另一方面，材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能往往必須通過(guò)應(yīng)力波的測(cè)試與分析才能得到。應(yīng)力波理論與其它力學(xué)理論的區(qū)別(1)動(dòng)力學(xué)研究載荷的早期效應(yīng)（瞬時(shí)效應(yīng)，著重研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和變形等物理量隨時(shí)間的變化過(guò)程以及在物理中的傳遞），靜力學(xué)研究的是載荷的后期效應(yīng)（只研究在力的作用下達(dá)到平衡之后的狀態(tài)）；(2)動(dòng)力學(xué)研究載荷對(duì)介質(zhì)的局部效應(yīng)，靜力學(xué)研究載荷對(duì)介質(zhì)的整體效應(yīng)；(3)動(dòng)力學(xué)研究的動(dòng)載有明顯的耦合效應(yīng)，靜力學(xué)研究的靜載作用于固體的應(yīng)力分布不隨介質(zhì)而變。5 應(yīng)力波理論的發(fā)展線彈性波傳播的數(shù)學(xué)理論早在上個(gè)世紀(jì)中葉由柯西(Cauchy)、泊松(Poisson)、斯托克斯(

28、Stokes)等解決，可直到本世紀(jì)四十年代，由于電子技術(shù)的發(fā)展，人們才直觀地在固體中“看到”波，應(yīng)力波理論才開(kāi)始在一些工程領(lǐng)域得到應(yīng)用。與此同時(shí)，Donnell、Taylor等人在理論上又發(fā)展了塑性波理論。五十年代前后，考慮應(yīng)變率效應(yīng)的粘塑性波理論又得到了發(fā)展。應(yīng)力波理論特別在地球物理勘探中的“實(shí)時(shí)采集與數(shù)據(jù)處理”技術(shù)得到了迅速發(fā)展。6 應(yīng)力波理論在巖土工程中的應(yīng)用爆破工程、鑿巖工程、樁基工程、巖石動(dòng)態(tài)力學(xué)、土動(dòng)力學(xué)、地震工程與抗震工程、地球化學(xué)勘探。第1章 一維應(yīng)力波基礎(chǔ)1.1波動(dòng)方程及其解1.1.1 一維縱波的波動(dòng)方程如圖1-1所示，在一等截面的一維桿中取一微段dx，截面面積為A?；炯僭O(shè)

29、為桿的橫截面在變形過(guò)程中保持平面，不考慮橫向擴(kuò)展效應(yīng)，桿上只分布沿截面均勻分布的軸向應(yīng)力，因而位移u、工程應(yīng)變、質(zhì)點(diǎn)速度v和應(yīng)力都只是x和t的函數(shù)。其左截面mn與右截面上的作用力F、分別為， 1微元體dx所受的慣性力為：由牛頓定律，得微元體平衡方程即 （1-1）方程1-1是一維縱波的波動(dòng)方程，c為縱波的波速。1.1.2波動(dòng)方程中的c為稱為波速，（縱波波速）。根據(jù)能量守衡定律和沖量定理可以推導(dǎo)。取一單位面積細(xì)長(zhǎng)的桿，一端受到撞擊，撞擊后桿端的初速度為v0，受力為0。經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，擾動(dòng)擴(kuò)展到長(zhǎng)為l的區(qū)域，在此范圍質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為v0，內(nèi)力為0，則時(shí)間t內(nèi)有外力作功擾動(dòng)區(qū)域的動(dòng)能擾動(dòng)區(qū)域的位能根據(jù)

30、能量守衡定律有 （1）根據(jù)沖量定理有 （2）所以有 （3）可見(jiàn)細(xì)長(zhǎng)桿受撞擊后，力與質(zhì)點(diǎn)速度v0并非無(wú)關(guān)，而是成正比。將（3）式代入（2）式，得到縱波的傳播速度同樣可以彈性橫波的波速以上波速推導(dǎo)中，應(yīng)用了線彈性本構(gòu)關(guān)系，事實(shí)上只要，既應(yīng)力是應(yīng)變的單值函數(shù)，而與應(yīng)變率無(wú)關(guān)，波動(dòng)方程（1-1）就成立。1.1.方程（1-1）的解法有分離變量法（駐波法）、積分變換法及行波法等，其中行波法對(duì)求解波動(dòng)方程最為有效。令、，則、，故 （1） （2）將（1）和（2）式代入波動(dòng)方程，得 （3）對(duì)（3）式先對(duì)積分，得對(duì)（3）式先對(duì)積分，得于是有u=f(x+ct)+g(x-ct) （1-2）公式（1-2）是一維波動(dòng)方程

31、的通解。1.1.4 解的物理意義在某范圍內(nèi)（-l，l）的擾動(dòng)，在t時(shí)間之后，分為右行波和左行波。右行波的前后沿分別沿著直線和前進(jìn)，而左行波的前后沿分別沿著直線和前進(jìn)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間之后，分解右行波和左行波的形狀不隨時(shí)間和位置的變化而變化，前進(jìn)的速度均為。1.2 應(yīng)力波的幾個(gè)基本參量右行波u=f(x-ct)：（1）應(yīng)變（2）質(zhì)點(diǎn)速度 2 （1-3）（3）應(yīng)力 （1-4）（4）波阻率：表示單位質(zhì)點(diǎn)速度所需要的應(yīng)力如v=10m/s，（B25釬桿）對(duì)于鋼材部分巖石的應(yīng)力波參量如下表所示。部分巖石的應(yīng)力波參量巖石縱波速度m/s巖石比重T/m3波阻率(N/mm2)/(m/s)砂巖140040002.55310

32、頁(yè)巖140030002.3037大理巖350060002.65916石英巖500055002.651316.5板巖350055002.65914.5花崗巖300050002.65813玄武巖450060002.501318巖石的波阻率只有幾到十幾，遠(yuǎn)比鋼材要低，表明巖石中產(chǎn)生單位質(zhì)點(diǎn)速度所需要的應(yīng)力比鋼材中要低得多。1.3 應(yīng)力波的能量一維桿中位能（彈性能） 3一維桿中動(dòng)能dx微段所具有的總能量為應(yīng)力波的總能量為 （1-5）結(jié)論（1）波動(dòng)過(guò)程中，對(duì)任一微段在任一時(shí)刻具有的動(dòng)能和位能都相等，這是波動(dòng)和振動(dòng)的本質(zhì)區(qū)別，一個(gè)作純振動(dòng)的系統(tǒng)，盡管總能量不變，但總存在著動(dòng)能和位能的轉(zhuǎn)換。結(jié)論（2）任一微

33、段所具有的總能量是應(yīng)力或應(yīng)變的函數(shù)，應(yīng)力和應(yīng)變是一種波動(dòng)過(guò)程，因此能量也是一個(gè)波動(dòng)過(guò)程，對(duì)任一微段來(lái)說(shuō)，其能量是不守衡，沿著波傳播的方向，該段波源獲得能量，使其能量逐漸增大，又逐漸把自身能量傳遞給后面的介質(zhì)，能量隨著波動(dòng)過(guò)程而有規(guī)律地傳播，波動(dòng)是能量傳遞的一種方式。1.4 波的衰減1.4.1 原因真實(shí)物質(zhì)很少是理想的彈性體，而常常是彈塑性或粘彈性等。當(dāng)波在粘彈性介質(zhì)中傳播時(shí)，因存在內(nèi)摩擦，將產(chǎn)生能量的損耗；當(dāng)波在熱彈性體中傳播時(shí)，在應(yīng)力波通過(guò)時(shí)，固體一部分受壓，另一部分發(fā)生膨脹，壓縮部分溫度升高，膨脹部分溫度降低，這種溫度梯度的出現(xiàn)，將在固體中引起熱的傳遞，并伴隨著不可逆過(guò)程的發(fā)生，使應(yīng)力波因

34、熱耗散而發(fā)生衰減?？傊ǖ乃p來(lái)源于內(nèi)摩擦和外摩擦的作用：內(nèi)摩擦由材料的粘彈和熱彈性決定；外摩擦決定于材料所處的工作環(huán)境。1.4.2 度量度量波的衰減程度通常采用衰減系數(shù)、損耗因子Q-1。（1）衰減率 振幅衰減率、應(yīng)力衰減率 （1-6）表示應(yīng)力波在單位長(zhǎng)度上的振幅衰減。， （1-7）其中，0為在x=0處的應(yīng)力波幅值；為在任一位置x處的應(yīng)力波幅值，相當(dāng)于前面的max。（2）損耗因子Q-1 Q品質(zhì)因素 （1-8）式中 w一次應(yīng)力循環(huán)所損失的能量；w應(yīng)變達(dá)到最大時(shí)所貯存的彈性能。（3）能量衰減率 （1-9）由此可見(jiàn)能量衰減率是振幅衰減率的兩倍。（4）損耗因子Q-1與衰減率的關(guān)系 （1-10）1.4.

35、3 衰減率的測(cè)定， （1-11）但在巖土工程中，品質(zhì)因素Q或損耗因子Q-1的應(yīng)用更為普及，大量科研表明損耗因子Q-1對(duì)巖石物理性質(zhì)變化的反映比聲速更明顯和可靠。由于衰減系數(shù)在很寬的頻率范圍內(nèi)是線性函數(shù)，因而Q-1與頻率無(wú)關(guān)，這時(shí)。損耗因子的測(cè)試大多采用頻譜振幅比法，該方法涉及到頻譜分析技術(shù)，比較復(fù)雜。參考應(yīng)用聲學(xué)1987（4）或地震研究1983（4）等有關(guān)文獻(xiàn)。1.5 考慮桿的橫向效應(yīng)的波動(dòng)方程前面討論的一維應(yīng)力縱波理論都假設(shè)桿的平截面在變形后仍保持平截面，并在平截面上只作用著均勻的軸向應(yīng)力x。這時(shí)實(shí)際忽略了桿中質(zhì)點(diǎn)橫向運(yùn)動(dòng)的慣性作用，即忽略了桿的橫向收縮或膨脹，因而是一種近似理論，通常稱為初

36、等理論或工程理論。由材料力學(xué)可知，廣義虎克定律如下，當(dāng)一維桿受x作用時(shí)，即y=z=0時(shí)，即，單位體積的平均橫向動(dòng)能為式中 rg截面對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，上面在推導(dǎo)一維波動(dòng)方程時(shí)，是從分析桿中微段的受力著手，在運(yùn)動(dòng)著的微元體上作用著一對(duì)靜力平衡的力A和一非靜力平衡的力。非靜力平衡的力與微元體的縱向慣性有關(guān)，其所作的功轉(zhuǎn)化為微元體的縱向動(dòng)能，單位時(shí)間所作的功等于縱向動(dòng)能的增加率，即整理后，微元桿端的運(yùn)動(dòng)方程為 （1-12）一對(duì)靜力平衡的力A所作的功，在初等理論中全部轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能。在計(jì)及橫向運(yùn)動(dòng)的情況下，下可看作由兩部分組成：一部分使微元體應(yīng)變能增加，另一部分轉(zhuǎn)變成了桿的橫向動(dòng)能。這樣，就單位時(shí)間、單位

37、體積而言，有 （1-13）當(dāng)橫向動(dòng)能相關(guān)的第二項(xiàng)可忽略時(shí)，上式可以作這樣的理解：在考慮了橫向慣性后，Hook定律應(yīng)被上式所表示的新的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系所代替。既然橫向修正項(xiàng)與成正比，顯然只有在載荷隨時(shí)間有十分顯著變化的情況下，這一修正才是必要。將（1-13）式代入（1-12）式，并將代入，得 （1-14）與（1-1）對(duì)照可知，等號(hào)右邊的第二項(xiàng)代表橫向慣性效應(yīng)，有了這一項(xiàng)，桿中的彈性縱波將不再如初等理論中那樣恒速傳播，而是對(duì)不同頻率f（或波長(zhǎng)）的諧波將以不同的波速（相速）c傳播。取，式中k為波數(shù)，；c為相速度，代入式（1-14），得化簡(jiǎn)得令，（相對(duì)波速），則當(dāng)時(shí)，近似有對(duì)于半徑為R的圓柱桿，得 （1-

38、15）式（1-15）是考慮橫向慣性修正的Rayleigh近似解。當(dāng)時(shí)，可不考慮橫向效應(yīng)，對(duì)圓截面桿，有，=0.29，即由式（1-15）可知，高頻波（短波）的傳播速度低，而低頻波（長(zhǎng)波）的傳播速度較高。對(duì)于線彈性波來(lái)說(shuō)，既然任意波形的波總可看作由不同頻率的諧波分量迭加組成，而不同頻率的諧波分量現(xiàn)在將各自按自己的相速傳播，因此波形不能再保持原形而必定在傳播過(guò)程中分散開(kāi)來(lái)，即發(fā)生所謂波的彌散，又叫幾何彌散，不同于非線性本構(gòu)彌散和粘性彌散。1.6 桿中的扭轉(zhuǎn)波與彎曲波桿中的橫波包括扭轉(zhuǎn)波和彎曲波。1.6.1 扭轉(zhuǎn)波桿中的扭轉(zhuǎn)波波動(dòng)方程的推導(dǎo)與縱波波動(dòng)方程（1-1）完全類似，形式也相同。 （1-16）c

39、t為彈性扭轉(zhuǎn)波波速，與無(wú)限介質(zhì)中的剪切波波速相一致。因?yàn)椋?00.5，所以，即縱波傳播速度是扭轉(zhuǎn)波或剪切波的1.41.7倍。鋼材中的縱波速度為5100m/s，而剪切波為3220m/s。需要指出的是：在圓截面桿中，不同頻率的扭轉(zhuǎn)波都以相同的相速，不發(fā)生彌散現(xiàn)象。1.6.2 彎曲波桿中的彎曲波波動(dòng)方程為 （1-17）彎曲波的波速是變化的，波形也是變化，是一種比較復(fù)雜的波。不作要求。第2章 二維和三維彈性波理論基礎(chǔ)2.1 彈性體的運(yùn)動(dòng)微分方程仍采用線彈性假設(shè)和小位移假設(shè)，則彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程都將不變。幾何方程，物理方程其中，將幾何方程代入物理方程得出用位移表示應(yīng)力分量的彈性方程但是波動(dòng)問(wèn)

40、題中微元體的慣性是不可忽略，因而靜態(tài)平衡微分方程用運(yùn)動(dòng)方程代替，即在平衡微分方程中加上慣性項(xiàng)。同時(shí)在波動(dòng)問(wèn)題中，一般體積力是可以忽略，因而具有如下的運(yùn)動(dòng)微分方程（靜力平衡方程運(yùn)動(dòng)微分方程）。 （2-1a） （2-1b） （2-1c）將上式應(yīng)力分量用位移分量表示，即將（3）式代入式（2-1），得式中，、是拉密首先用來(lái)表示物理彈性的的兩個(gè)常數(shù)，因而稱為拉密（梅）常數(shù)。2.2 彈性體的無(wú)旋波與等容波運(yùn)動(dòng)方程或波動(dòng)方程（2-2）的通解是難以獲得，現(xiàn)作如下處理。 （2-2a） （2-2b） （2-2c）2.2.1 無(wú)旋波(縱波、P波)將式（2-2）兩邊分別對(duì)x、y、z微分，然后相加，得 （2-3）改寫(xiě)后

41、，得因方程（2-3）或（2-4）中僅含體積應(yīng)變，而不含旋轉(zhuǎn)擾動(dòng)，因而稱為無(wú)旋波或膨脹波，也就是通常所說(shuō)的縱波或P波。無(wú)旋波也可以通過(guò)位移勢(shì)函數(shù)滿足、來(lái)求得。2.2.2 等容波(橫波、S波)將式（2-2b）對(duì)x微分減去式（2-2a）對(duì)y微分，得令，有在彈性體中的任意一點(diǎn)，是x方向的線段繞z軸的旋轉(zhuǎn)角，而是y方向的線段繞z軸的旋轉(zhuǎn)角，因而是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角的平均值，可以表示彈性體在該點(diǎn)的繞z軸的旋轉(zhuǎn)量。作相應(yīng)處理后，得因方程（2-5）只有旋轉(zhuǎn)量，而沒(méi)有體積應(yīng)變e，故稱為等容波，也就是通常所說(shuō)的橫波或S波。其中。等容波也可以通過(guò)令=0代入式（2-2）來(lái)求得。2.3 平面波的傳播波前為平面的波稱為平面波。當(dāng)

42、觀察區(qū)域與波源相距很遠(yuǎn)時(shí)，波前的曲率半徑為無(wú)窮大，波前可以當(dāng)作平面處理。平面波僅有兩種形式?？v波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向平行于波的傳播方向，又稱為P波；橫波質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向垂直于波的傳播方向，又稱為S波。2.3.1 平面縱波(V/c)（1）波動(dòng)方程將波的傳播方向取為x軸，則彈性體的位移分量可表示為，v=w=0由此可以得出、代入波動(dòng)方程（2-2），其中式（2-2b）、（2-2c）為恒等式，而式（2-2a）為該方程的形式與一維桿中的縱波的初等理論的波動(dòng)方程相一致，但那是一維應(yīng)力問(wèn)題，而現(xiàn)在討論的平面縱波實(shí)際是一維應(yīng)變問(wèn)題。平面縱波的v=w=0、，相當(dāng)于在與波的傳播方向（x軸）相垂直的方向物體的橫向尺寸有無(wú)限大，以

43、致于阻礙了任何橫向運(yùn)動(dòng)。波動(dòng)方程（2-6）的通解為u=u1+u2=f1(x-c1t)+f2(x+c1t)考慮一個(gè)右行波（2）應(yīng)力狀態(tài)平面縱波中只有、，體積應(yīng)變，代入2-1中的物理方程，得由此可知，由于側(cè)向應(yīng)力y、z的存在，平面縱波實(shí)際上處于三向應(yīng)力狀態(tài)。2.3.2 平面橫波(Vc)將波的傳播方向取為x軸，位移方向與y軸一致，則彈性體的位移分量可表示為，u=w=0由此可以得出e=0、代入波動(dòng)方程（2-2），其中式（2-2a）、（2-2c）為恒等式，而式（2-2b）為波動(dòng)方程（2-8）的通解v=v1+v2 =f1(x-c2t)+f2(x+c2t)考慮一個(gè)右行波與之相應(yīng)的平面橫波只有一個(gè)應(yīng)變分量xy

44、和一個(gè)應(yīng)力分量xy其余應(yīng)變分量和應(yīng)力分量均為零。與位移相應(yīng)，彈性體中的質(zhì)點(diǎn)沿y方向的速度分量為而彈性體中的質(zhì)點(diǎn)沿x方向、z方向的速度分量均為零。由本節(jié)和上一章有關(guān)公式，注意到應(yīng)變分量與質(zhì)點(diǎn)速度分量的關(guān)系不因波的類型變化而變化，只是比例系數(shù)即波速發(fā)生改變。2.4 薄板中的應(yīng)力波2.4.1 控制方程運(yùn)動(dòng)方程幾何方程，物理方程或 將物理方程代入運(yùn)動(dòng)方程并利用幾何方程，得波動(dòng)方程 （2-9a） （2-9b）式中，。2.4.2 縱波只有、，而xy=0或。將波動(dòng)方程（2-9a）對(duì)x求導(dǎo)，方程（2-9b）對(duì)y求導(dǎo)，然后相加，得化成改寫(xiě)為 （2-10）其中，。2.4.3 橫波令、，xy0，則，則波動(dòng)方程（2-

45、9）變?yōu)?（2-11）其中。兩式合并，得2.4.4 各種波速關(guān)系（1）一維桿中縱波波速（2）二維薄板中縱波波速（3）三維彈性體的縱波波速（平面縱波是特例）（4）桿中扭轉(zhuǎn)波波速ct、二維薄板中的橫波波速cs、三維彈性體的橫波波速（平面橫波是特例）c2對(duì)于一般材料有00.5，顯然c2c0cd，并有，cdc1故c2c0cdc1也就是說(shuō)橫波的傳播速度不隨物理所占空間的維數(shù)的多少而變化，波速值也是最??；而彈性縱波的傳播速度卻與物理所占空間的形式（維數(shù)）相關(guān)，彈性縱波的傳播速度隨物理所占維數(shù)增加而提高。2.5 球面波（參見(jiàn)固體中的應(yīng)力波3-4、P20-24，應(yīng)力波基礎(chǔ)第八章）爆炸或高度集中的沖擊荷載產(chǎn)生的

46、非平面波，在實(shí)際應(yīng)用中有重要的作用。球面波與平面波的顯著區(qū)別是隨著波的傳播，其波前表面積成幾何增長(zhǎng)，從而迅速地改變波形中應(yīng)力分布。2.5.1 波動(dòng)方程及其解球面波在介質(zhì)中傳播時(shí)，其位移存在一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，滿足，于是，將上式代入式（2-2），得球面波的波動(dòng)方程 （2-12）設(shè)方程（2-12）的解為其中，r是任意點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的矢徑，于是有 （2-13）有 （2-14）同樣 （2-15） （2-16）將式（2-14）、式（2-15）、式（2-16）代入式（2-12），得 （2-17）或 （2-18）式（2-18）為球面彈性波的波動(dòng)方程，解可寫(xiě)成 （2-19）式中、為任意函數(shù)。是由原點(diǎn)向外傳播的擾動(dòng)，波

47、速為c1；是向著原點(diǎn)傳播的擾動(dòng)，波速為c1。附注：（1）P20倒數(shù)第三式有誤，應(yīng)為，式（3-29）中c1差一個(gè)平方。（2）P23的圖3-4并不是波前的應(yīng)力歷程圖，而是波前經(jīng)過(guò)某球面以后，該面上的應(yīng)力歷程圖；（3）該圖縱坐標(biāo)乘上了系數(shù)，同一張圖上不同曲線不能比較大小。（4）對(duì)同一條曲線而言，其橫坐標(biāo)上的r是不變的，即只有t在變，但不同曲線的r不相同。2.6 柱面波（參見(jiàn)固體中的應(yīng)力波3-5、P24-27，應(yīng)力波基礎(chǔ)第八章P194-195）對(duì)應(yīng)力狀態(tài)的分析，同樣要注意球面波的三個(gè)注意點(diǎn)。第3章 應(yīng)力波的相互作用3.1 一維應(yīng)力波在界面的反射和透射應(yīng)力波如其它波一樣，在介質(zhì)密度、彈性模量或截面積有顯

48、著變化的界面上，會(huì)發(fā)生反射和透射。如圖細(xì)長(zhǎng)桿中的縱波，經(jīng)過(guò)波阻突變的界面，會(huì)產(chǎn)生透射波和反射波。（入射：incident；反射：reflect；透射：transmission）界面處應(yīng)滿足邊界條件：（1）作用力等于反作用力；（2）界面處的質(zhì)點(diǎn)速度相等。有且令，解得 （3-1a） （3-1b）和 （3-2a） （3-2b） （3-3a） （3-3b）式中，、。通常將和f分別稱為透射系數(shù)和反射系數(shù)，也將T和Q稱為透射系數(shù)和反射系數(shù)。顯然，有表明透射波等于入射波和反射波之和。分兩種情況討論。3.1.1 應(yīng)力波在不同介質(zhì)界面的反射和透射設(shè)A1=A2，1c12c2， （3-4a） （3-4b）（1）因?yàn)?/p>

49、0，故透射波與入射波具有相同性質(zhì)，即壓應(yīng)力波透射后仍為壓應(yīng)力波；拉應(yīng)力波透射后仍為拉應(yīng)力波。f的正負(fù)取決于兩種介質(zhì)波阻率的相對(duì)大小。（2）f 0，反射波應(yīng)力與入射波應(yīng)力同號(hào)（反射加載）；1，T1，透射波應(yīng)力強(qiáng)于入射波應(yīng)力，質(zhì)點(diǎn)速度小于入射波的質(zhì)點(diǎn)速度；特殊情況下，當(dāng)R（2c2）時(shí)，相當(dāng)于彈性波在剛性壁的反射。這時(shí)，有=1、f=1，T=0、Q=-1。剛性壁上v=0、=2i（3）f0，反射波應(yīng)力與入射波應(yīng)力異號(hào)（反射卸載）；1，透射波應(yīng)力弱于入射波應(yīng)力，質(zhì)點(diǎn)速度高于入射波的質(zhì)點(diǎn)速度；特殊情況下，當(dāng)R0（2c20）時(shí)，相當(dāng)于彈性波在自由端的反射。這時(shí)有=0、f=-1，T=2、Q=1。自由端上v=2v

50、i、可見(jiàn)，應(yīng)力波的應(yīng)力在剛性壁的傳播特性與應(yīng)力波的質(zhì)點(diǎn)速度在自由端的傳播特性相同。（4）阻抗匹配兩種不同介質(zhì)，即使、c各不相同，但只要波阻率相同，即2c2=1c1，R=1時(shí)，以上幾種情況如下表所示。應(yīng)力波在不同介質(zhì)界面的反射和透射(A1=A2，R=2c2/1cr/it/ivr/vivt/viR0-10120R1(0，1)(1，2)(-1，0)(0，1)R12-103.1.2應(yīng)力波在變截面桿中的反射和透射設(shè)A1A2，1c1=2c2， （3-5a） （3-5b） （3-6a） （3-6b）（1）因?yàn)門(mén)0，故透射波與入射波具有相同性質(zhì)（同號(hào)）。f或Q的正負(fù)取決于A1、A2的相對(duì)大小。（2）當(dāng)R1，即

51、A2A1時(shí)，相當(dāng)于應(yīng)力波由小截面進(jìn)入大截面。這時(shí)，有f0，反射波應(yīng)力與入射波應(yīng)力同號(hào)（反射加載）；1，即透射波的總力Ft卻大于入射波的總力Fi。（3）當(dāng)R1，即A2A1時(shí)，相當(dāng)于應(yīng)力波由大截面進(jìn)入小截面。這時(shí)，有f1，因而透射波應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度都將高于入射波的相應(yīng)的值；但1，即透射波的總力Ft卻小于入射波的總力Fi?？梢?jiàn)，大軸一端受沖擊時(shí)，另一端如有一小軸相連，將起到“捕波器”的作用。不過(guò)，當(dāng)時(shí)，T2，所以應(yīng)力波每通過(guò)一個(gè)截面積間斷時(shí)，單級(jí)應(yīng)力放大倍數(shù)的極阻為2。注意：由于截面積引起波阻的變化與由于界面性質(zhì)引起的波阻的變化而導(dǎo)致的透射應(yīng)力波相對(duì)于入射應(yīng)力波的強(qiáng)弱變化不同。以上幾種情況如下表所示。

52、應(yīng)力波在變截面桿中的反射和透射(1c1=2c2，R= A2/ Ar/ivr/vit/i，vt/viR0-1020R1(0，1)(-1，0)(0，1)R1-103.2 兩桿相撞的入射波如圖，設(shè)兩彈性桿B1、B2的波阻分別為m1、m2，以V1V2的勻速運(yùn)動(dòng)飛行，在t0=0時(shí)相撞，撞擊后，在撞擊面產(chǎn)生一擾動(dòng)，擾動(dòng)在B1桿中產(chǎn)生一左行波，在B2桿中產(chǎn)生一右行波。撞擊面滿足作用力相等（作用力等于反作用力）、質(zhì)點(diǎn)速度相等（速度連續(xù)條件），有， （3-7）即令，解得、 （3-8）和、 （3-9）= （3-10）式中，稱為撞擊系數(shù)。討論幾種特殊情況。（1）當(dāng)V2=0，V1=V沖時(shí)，相當(dāng)于活塞撞擊釬桿的情況。、

53、 （3-11）式中，。這就象有一個(gè)入射波從B1桿傳到B2桿里去一樣，只不過(guò)是這一入射波的狀態(tài)為、。也就是說(shuō)，撞擊相當(dāng)于整個(gè)沖擊速度一半的波從一桿向另一桿透射了，可以這樣理解，具有整體速度V沖的B1桿可看著一個(gè)右行波（，）和一個(gè)左行波（，）的合成作用，撞擊時(shí)，右行波透過(guò)撞擊面到B2桿里去了，故和波的透射有相同特性。（2）當(dāng)兩彈性桿B1、B2材料相同，截面相同時(shí)，即A11c1=A22c2=Ac，m1=m、 （3-12）和，=如果V2=-V1，則v1=-V1，v2=V1，v1+ V1= v2+ V2=0可見(jiàn)兩根相同的細(xì)桿對(duì)撞后速度為零，但受力卻不為零。（3）當(dāng)A22c2、v2=0時(shí)，即B1v1=-V

54、1，v2=0可見(jiàn)與A11c1=A22c2=、V2=-V3.3 傳播圖與狀態(tài)圖3.3.1傳播圖傳播圖表示波陣面?zhèn)鞑サ能壽E，傳播圖是以時(shí)間t和位置x作坐標(biāo)，對(duì)線彈性波波速c為常數(shù)，因而波陣面?zhèn)鞑ボ壽E稱為傳播線，也叫特征線。傳播線可分為右行波傳播線和左行波傳播線。如圖3-3所示。傳播線的上方是波已到達(dá)過(guò)的地方，傳播線的下方為波未到達(dá)的地方。圖的上方分別繪出了t1、t2時(shí)刻的應(yīng)力分布圖。左、右行波傳播線將x-t平面劃分成四個(gè)區(qū)域0、1、2、3。每一區(qū)域的波動(dòng)參數(shù)、v或、v相同。在有界面的桿中，波陣面遇到界面便產(chǎn)生透射和反射。當(dāng)界面兩側(cè)介質(zhì)性質(zhì)相同，只是截面面積發(fā)生變化時(shí)，透射波的傳播線為入射波的傳播線

55、的延長(zhǎng)，反射波的傳播線為入射波的傳播線的從界面處折回，其斜率改變符號(hào)。如圖3-4中繪出了A、B兩波遇到界面產(chǎn)生的透、反射波的傳播線，這些傳播線將x-t平面劃分成六個(gè)區(qū)域。應(yīng)當(dāng)注意，界面本身不能分割區(qū)域，一個(gè)區(qū)域可跨在界面的兩側(cè)，即界面兩側(cè)可以有相同的波動(dòng)參數(shù)。3.3.2 狀態(tài)圖狀態(tài)圖是以力F和質(zhì)點(diǎn)速度v構(gòu)成的平面圖，表示了傳播圖中各區(qū)間的波動(dòng)狀態(tài)，揭示了傳播圖中相連區(qū)間（傳播線兩側(cè)）波動(dòng)參數(shù)的相互關(guān)系。傳播圖中每一區(qū)間對(duì)應(yīng)于狀態(tài)圖中一個(gè)點(diǎn)（狀態(tài)點(diǎn)）。如果一個(gè)區(qū)間的狀態(tài)是Fx、vx，現(xiàn)有一狀態(tài)為、的波從相鄰區(qū)間越過(guò)一條傳播線到達(dá)該區(qū)間，就相當(dāng)于狀態(tài)為、的波疊加到狀態(tài)是Fx、vx上來(lái)。將、的波叫疊

56、加波，原狀態(tài)為Fx、vx的波叫被疊加波。設(shè)疊加波、為一個(gè)右行波，則、故即 （3-13a）設(shè)疊加波、為一個(gè)左行波，同理有 （3-13b）以上兩式實(shí)際上是F-v平面上的一對(duì)直線，都過(guò)點(diǎn)（Fx，vx）具有斜率m，這兩條直線稱為相鄰區(qū)間的表征線。疊加波為右行波時(shí)，表征線的斜率為-m，疊加波為左行波時(shí)，表征線的斜率為+m，如圖3-5中的01、02兩線分別為波和左行波的表征線。由此可知，傳播圖中由傳播相隔的兩相鄰區(qū)間，如果由一區(qū)間越過(guò)傳播線進(jìn)入另一區(qū)間，就意味著由波前越過(guò)波陣面進(jìn)入到波后，也就是原來(lái)的狀態(tài)上又疊加了一個(gè)波。式（3-13a）、（3-13b）說(shuō)明了相鄰區(qū)間的狀態(tài)點(diǎn)必然在同一條表征線上，這是一個(gè)

57、十分重要的性質(zhì)。后面講到的圖解法就是憑借這一性質(zhì)得到的。上面的性質(zhì)表明，在傳播圖中由一個(gè)已知狀態(tài)的區(qū)間，跨越一條傳播線到相鄰的區(qū)間時(shí)，在相應(yīng)的狀態(tài)圖上，就是由一已知的狀態(tài)點(diǎn)沿著表征線向相鄰的狀態(tài)點(diǎn)轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移到表征線上的具體位置還需要根據(jù)另一條件決定。這另一條件可以是相鄰另外一個(gè)相鄰區(qū)間的表征線，由兩條表征線相交可確定未知區(qū)間的狀態(tài)點(diǎn)；而對(duì)于邊界上的區(qū)間，可以利用初始條件或邊界條件作為另一條件來(lái)確定待定區(qū)間的狀態(tài)點(diǎn)。圖3-5為與圖3-3相對(duì)應(yīng)的狀態(tài)圖。假設(shè)區(qū)間0的狀態(tài)已知為F0、v0，在狀態(tài)圖上對(duì)應(yīng)于0（F0，v0）點(diǎn)。在0點(diǎn)可以作右行疊加波和左行疊加波的表征線01和02。狀態(tài)點(diǎn)1、2必然位于這

58、兩條表征線上，但要具體定出這兩點(diǎn)還必須根據(jù)邊界條件。譬如若F2、v1為已知的邊界條件，在橫坐標(biāo)v1處作垂直線與右行波表征線01相交得到狀態(tài)點(diǎn)1；在縱坐標(biāo)F2處作水平線與表征線02相交得到狀態(tài)點(diǎn)2。已知狀態(tài)點(diǎn)1、2之后，再?gòu)臓顟B(tài)點(diǎn)2作右行波表征線23與從狀態(tài)點(diǎn)1作左行波表征線13相交得到狀態(tài)點(diǎn)3。圖3-6為與圖3-4相對(duì)應(yīng)的狀態(tài)圖。假設(shè)區(qū)間0的初始狀態(tài)已知為F0、v0，在狀態(tài)圖上對(duì)應(yīng)于0（F0，v0）點(diǎn)。過(guò)0點(diǎn)可以作右行疊加波的表征線01和左行疊加波的表征線02，注意使0、1區(qū)間相隔的傳播線位于左半桿上，因而表征線01的斜率為-m左，表征線02的斜率為+m右。若已知區(qū)間1、2的邊界條件為v1、v

59、2，那么從橫坐標(biāo)v1、v2處作垂直線與表征線相交可得狀態(tài)點(diǎn)1、2。從傳播圖3-4可知，區(qū)間3和已知區(qū)間0、2相鄰，區(qū)間0越過(guò)左行波傳播線到右邊的區(qū)間3，相當(dāng)于在區(qū)間0上疊加了一個(gè)左行波，故從0作左行波的表征線03，斜率為+m左（傳播線位于左半部），從2作右行波的表征線23，斜率為-m右，03、23相交得到狀態(tài)點(diǎn)3，同樣由14、34表征線相交得到狀態(tài)點(diǎn)4，由35、45表征線相交得到狀態(tài)點(diǎn)5。依此類推，所有區(qū)間狀態(tài)都能被解算出來(lái)。各區(qū)間狀態(tài)點(diǎn)確定后，從傳播圖上作時(shí)間剖面，可以得到波形圖；作位置剖面，可以得到任一點(diǎn)的時(shí)程圖或振動(dòng)圖。3.4 彈性桿中波的傳播（圖解法舉例）3.4.1 沖錘撞擊桿件應(yīng)力波

60、的傳播作為典型例子，求解沖錘撞擊桿件應(yīng)力波的傳播。設(shè)，由式（3-11），得同理3.4.2 雙圓柱活塞撞擊釬桿應(yīng)力波傳播如圖3-10，雙圓柱活塞以平均速度撞擊一靜止的釬桿，有，一般地有、，故有6種斜率的表征線，分別為、（+不存在，實(shí)際上只有5種斜率的表征線），分3組繪于圖3-10的上方。為頭部斜率；為柄部斜率；為釬桿斜率。活塞以平均速度撞擊一靜止的釬桿。撞擊前的0、0區(qū)間不受力，故0、0在狀態(tài)圖上對(duì)應(yīng)于v軸的和原點(diǎn)。區(qū)間a與0、0相鄰，過(guò)0點(diǎn)作斜率為-mR的右行疊加波的表征線與過(guò)0點(diǎn)作斜率為ms的左行波的表征線相交，得到區(qū)間a對(duì)應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)。同樣，與區(qū)間b相鄰的有區(qū)間0、a，過(guò)0點(diǎn)作斜率為mh的左