1、數(shù)學(xué)史選講-分形概述講授人：宋德銀江蘇省泰州中學(xué)選修課分形(fractal)分形幾何理論誕生于20世紀(jì)70年代中期，創(chuàng)始人是美國(guó)數(shù)學(xué)家-曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的大自然的分形幾何學(xué) (The Fractal Geometry of Nature)是這一學(xué)科經(jīng)典之作。分形(fractal)是20多年來(lái)科學(xué)前沿領(lǐng)域提出的一個(gè)非常重要的概念，什么是分形呢？曼德?tīng)柌既R特最先引入分形(fractal)一詞，意為“破碎的，不規(guī)則的”。目前對(duì)分形還沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，只能給出描述性的定義。粗略地說(shuō):分形是對(duì)沒(méi)有特征長(zhǎng)度但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的總稱； 分形是整

2、體與局部在某種意義下的對(duì)稱性的集合；分形是具有某種意義下的自相似集合；認(rèn)識(shí)分形如果您從未聽(tīng)說(shuō)過(guò)“分形”，一時(shí)又很難搞清楚分形是什么，有一個(gè)簡(jiǎn)單迅捷的辦法：去市 場(chǎng)買(mǎi)一個(gè)新鮮的菜花(花椰菜)，掰下一枝，切開(kāi)，仔細(xì)觀察，思考其組織結(jié)構(gòu)。這就是分形 ! 分形可以是自然存在的，也可以是人造的?；ㄒ?、樹(shù)木、山 川、云朵、腦電圖、材料斷口等都是典型的分形。閃電、沖積扇、泥裂、凍豆腐、水系、晶簇、蜂窩石、小麥須根系、樹(shù)冠、支氣管、星 系、材料斷口、小腸絨毛、大腦皮層。想想它們的形狀、結(jié)構(gòu)!海岸線的長(zhǎng)度是多少？1967年曼德布羅特在科學(xué)上發(fā)表題為英國(guó)海岸線有多長(zhǎng)?統(tǒng)計(jì)自相似性與分?jǐn)?shù)維數(shù)的 著名論文。此文的原

3、由在于曼德布羅特發(fā)現(xiàn)許多國(guó)家公布的公共邊界線存在極大的誤差，及大國(guó)公布的公共邊界線小，而小國(guó)公布的公共邊界線大。原因在于邊界線是一個(gè)復(fù)雜的曲線，所用的測(cè)量尺度越小，測(cè)量的長(zhǎng)度越大。為了說(shuō)明這一問(wèn)題，考慮下面的科赫曲線。鄉(xiāng)鎮(zhèn)XX年財(cái)政工作總結(jié)范文XX年鄉(xiāng)鎮(zhèn)財(cái)政工作總結(jié)XX年以來(lái),財(cái)政所在縣財(cái)政局和鄉(xiāng)黨委、政府的正確領(lǐng)導(dǎo)和關(guān)心幫助下,按照“三個(gè)代表”的要求,堅(jiān)持黨的路線、方針、政策,以馬克思、列寧主義、毛澤東思想和鄧小平理論為指導(dǎo),按照效能建設(shè)的要求,努力轉(zhuǎn)變思想作風(fēng)、工作作風(fēng)和工作態(tài)度,樹(shù)立為黨委、政府當(dāng)家理財(cái)和全心全意為人民服務(wù)的宗旨意識(shí);強(qiáng)化資金管理,做好節(jié)支增收工作;并與各部門(mén)通力合作,盡

4、心盡力,盡職盡責(zé),全面服從服務(wù)于黨委、政府的心工作;認(rèn)真搞好各項(xiàng)財(cái)政財(cái)務(wù)工作。繼續(xù)搞好“零戶統(tǒng)管”工作,堅(jiān)持收支兩條線管理,做好會(huì)計(jì)電算化工作,努力搞好內(nèi)部制度和環(huán)境衛(wèi)生建設(shè),加強(qiáng)對(duì)財(cái)政違法行為處罰處分條例和紀(jì)律、政策、廉潔從政等有關(guān)法律法規(guī)的學(xué)習(xí)。認(rèn)真學(xué)習(xí)新黨章,嚴(yán)格執(zhí)行預(yù)算法、會(huì)計(jì)法和會(huì)計(jì)基礎(chǔ)工作規(guī)范以及鄉(xiāng)黨委、政府做出的關(guān)于財(cái)政財(cái)務(wù)的有關(guān)批示和決定,搞好會(huì)計(jì)檔案管理工作等?，F(xiàn)從三方面對(duì)2008年的工作情況如下:一、一年來(lái)所做的工作、認(rèn)真制定了XX年財(cái)政工作計(jì)劃。、認(rèn)真貫徹執(zhí)行預(yù)算法、會(huì)計(jì)法和相關(guān)的財(cái)經(jīng)紀(jì)律制度。、節(jié)支增收,努力保工資發(fā)放、保機(jī)構(gòu)正常運(yùn)轉(zhuǎn)。、按照所內(nèi)圖1 柯赫曲線柯赫曲線K

5、och曲線的生成過(guò)程第1步Koch曲線的生成過(guò)程第2步Koch曲線的生成過(guò)程第3步Koch曲線的生成過(guò)程第4步Koch曲線與雪花曲線連接在一起的三段Koch曲線構(gòu)成一個(gè)雪花曲線科赫曲線F 的長(zhǎng)度為事實(shí)上，對(duì)于每個(gè)k，E k的長(zhǎng)度為隨機(jī)Koch曲線對(duì)海岸線的模擬科赫曲線F的自相似維數(shù)由于F 的長(zhǎng)度為，而面積為0，因此F的維數(shù)既不是1，也不是2，而是一個(gè)介于1與2之間的分?jǐn)?shù)?？坪涨€F的自相似維數(shù)為康托爾集F及構(gòu)造過(guò)程設(shè)E0是單位長(zhǎng)直線段， E1是由E0除去中間13的線段所得到圖形,它包含四個(gè)線段。對(duì)E1的每個(gè)線段都進(jìn)行同一過(guò)程來(lái)構(gòu)造E2 ，依此類(lèi)推。于是得到一個(gè)曲線序列E k，其中E k是把E

6、k-1的每一個(gè)直線段中間13除去而得到的；當(dāng)k充分大時(shí)，曲線E k和E k-1只在精細(xì)的細(xì)節(jié)上不同，當(dāng)k時(shí)，曲線序列E k趨于一個(gè)極限曲線F，圖2 康托爾三分集康托爾集F的特性康托爾集曲線F是自相似的，兩個(gè)部分與整體的相似比例為1/3；F具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體；F是不規(guī)則的，不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述；F 中點(diǎn)的數(shù)目為，而長(zhǎng)度為0；康托爾集F 的長(zhǎng)度為0事實(shí)上，對(duì)于每個(gè)k，E k的長(zhǎng)度為康托爾集F的自相似維數(shù)由于康托爾集F中點(diǎn)的數(shù)目為，而長(zhǎng)度為0，因此F的維數(shù)既不是0，也不是1，而是一個(gè)介于0與1之間的分?jǐn)?shù)?？坪涨€F的自相似維數(shù)為謝爾賓斯基地毯波蘭著名數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在

7、1915-1916年期間構(gòu)造了幾個(gè)典型的例子， 這些怪物常稱作“謝氏地毯”、“謝氏三角”、“謝氏海綿” 。如今，講分形都要提到。它們不但有趣，而且有助于形象地理解分形。 圖3 謝爾賓斯基三角形 分形將分形看作具有如下性質(zhì)的集合:1.F具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體。2.F是不規(guī)則的，以致于不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述。3.F通常具有某種自相似性，或許是近似的或許是統(tǒng)計(jì)意義下的。4.F在某種方式下定義的“分維數(shù)”通常大于F的拓?fù)渚S數(shù)。5.F的定義常常是非常簡(jiǎn)單的，或許是遞歸的。分形理論是一門(mén)橫斷學(xué)科分形理論是一門(mén)交叉性的橫斷學(xué)科，從振動(dòng)力學(xué)到流體力學(xué)、天文學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，從分子生物

8、學(xué)到生理學(xué)、生物形態(tài)學(xué)，從材料科學(xué)到地球科學(xué)、地理科學(xué)，從經(jīng)濟(jì)學(xué)到語(yǔ)言學(xué)、 社會(huì)學(xué)等等，無(wú)不閃現(xiàn)著分形的身影。分形理論已經(jīng)對(duì)方法論和自然觀產(chǎn)生強(qiáng)烈影響，從分形的觀點(diǎn)看世界，我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)世界是以分形的方式存在和演化著的世界。 陳省身的觀點(diǎn)歷史上幾何學(xué)可分為六個(gè)時(shí)期：1)公理(歐幾里德)；2)坐標(biāo)(笛卡爾，費(fèi)馬)；3)微積分(牛頓，萊布 尼茲)；4)群(克萊因，李)；5)流形(黎曼)；6)纖維叢(嘉當(dāng)，惠特尼)。7 )分形幾何（曼德布羅特）分形的特性英國(guó)數(shù)學(xué)家Falconer在分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用一書(shū)中認(rèn)為：分形的定義應(yīng)該以生物學(xué)家給出“生命”定義的類(lèi)似方法給出，即不尋求分形的確切簡(jiǎn)明的定義

9、，而是尋求分形的特性，將分形看作具有某些性質(zhì)的集合。分形幾何的歷史萌芽期：十九世紀(jì)末，二十世紀(jì)初. Cantor集，Weierstrass函數(shù)等的提出.形成期：二十世紀(jì)六、七十年代. Mandelbrot的大量工作. 1. 1967年，Science, 英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？ 2. 1975年，分形對(duì)象：形，機(jī)遇和維數(shù). 分形(fractal)這個(gè)詞源于這本書(shū). 它是從意思 是“不規(guī)則的或者斷裂的”拉丁語(yǔ)“fractus”派生 出來(lái)的.分形幾何的歷史(續(xù))發(fā)展期：二十世紀(jì)八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形與自相似. 給出了自相似集合的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ). 2. Mandel

10、brot, 1982, 自然界的分形幾何. 3. Barnsley, 1988, Fractal everywhere. 4. Falconer, 1990, 分形幾何數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 及其應(yīng)用.分形幾何的研究方法維數(shù)和測(cè)度我們僅討論維數(shù)傳統(tǒng)意義下的維數(shù)： 點(diǎn)是0維的，線是1維的，平面是2維的， 立方體是三維的，用這個(gè)維數(shù)去刻畫(huà)分形集合時(shí)的困難：Cantor集：含有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，長(zhǎng)度為0.Koch曲線：長(zhǎng)度為無(wú)窮，面積為0.分形的盒維數(shù)設(shè) 是一個(gè)有界平面集合,其中 是一個(gè)正方形,將 分成邊長(zhǎng)為 的子正方形. 記 為與 相交的子正方形的個(gè)數(shù),則定義的盒維數(shù)為:幾個(gè)典型自相似集的分形維數(shù)Cantor集: 把

11、Cantor集放大3倍所得到的集合，可以看成是2個(gè)Cantor集合疊加而成，所以它的維數(shù)是ln2/ln3.Koch曲線: 維數(shù)是ln4/ln3.分形維數(shù)的一種定義（1）換種角度看維數(shù). 把線段放大兩倍后，所得線段可以看成是2個(gè)原來(lái)線段疊加而成。 把正方形放大兩倍后，所得正方形可以看成是422個(gè)原來(lái)的正方形疊加而成。 把立方體放大兩倍后，所得立方體可以看成是823個(gè)原來(lái)的立方體疊加而成。圖2 康托爾三分集分形的應(yīng)用領(lǐng)域數(shù)學(xué)中的動(dòng)力系統(tǒng)等;物理中的布朗運(yùn)動(dòng),流體力學(xué)中的湍流等;化學(xué)中酶的構(gòu)造等;生物中細(xì)胞的生長(zhǎng)等;地質(zhì)學(xué)中的地質(zhì)構(gòu)造等;天文學(xué)中土星光環(huán)的模擬等;其它:計(jì)算機(jī),經(jīng)濟(jì)學(xué),社會(huì)學(xué),藝術(shù)等

12、分形的產(chǎn)生-復(fù)函數(shù)迭代用Z表示復(fù)數(shù)，定義在復(fù)平面上的函數(shù) f(Z)稱為復(fù)變函數(shù)。任意給定初始復(fù)數(shù)值 ，定義復(fù)數(shù)序列對(duì)于什么樣的初始值 ，復(fù)數(shù)序列收斂或有界？ Julia集 考慮復(fù)變函數(shù)迭代固定復(fù)參數(shù) c，使得迭代序列有界的初值 在復(fù)平面上的分布圖形稱為Julia集，亦即 迭代序列 有界 Mandelbrot集 固定初值 ，使得迭代序列（2）有界的參數(shù) c 在復(fù)平面上的分布圖形稱為 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 記 則（2）變?yōu)?Julia 集的一個(gè)繪制方法：1、設(shè)定初值 p,q, 最大的迭代次數(shù) N, 圖形的大小 a,b, 及使用的顏色數(shù) K.2、設(shè)定區(qū)域的界值 3、將區(qū)域 分成 的網(wǎng)格，分別以每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)為初值 利用（3）做迭代。如果對(duì)所有的 都有 ，則將象素(i, j) 置為黑色。如果從某一步 n 開(kāi)始，則將象素 (i,j)置為顏色 n mod K。 用IFS繪制分形的一個(gè)方法、設(shè)圖形可視區(qū)域?yàn)榧僭O(shè)采用L 級(jí)灰度的圖像繪制，總迭代次數(shù)為N。、將 V 分成 的網(wǎng)格，