1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征(4142)課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征(4142)課件 考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 還要看他彈著點的范圍是否小, 即數(shù)據(jù)的波動是否小. 由上面例子看到，與隨機變量有關的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機變量，但能清晰地描述隨機變量在某些方面的重要特征 ,這些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要意義. 本章主要內容 數(shù)學期望、方差、協(xié)方差、相關系數(shù)、矩 考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 還一、數(shù)學期望的概念三、數(shù)學期望的性質二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望第一節(jié) 數(shù)學期望一、數(shù)學期望的概念三、數(shù)學期望的性質二、隨機變量

2、函數(shù)的數(shù)學期 設某射擊手在同樣的條件下,瞄準靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個隨機變量).射中次數(shù)記錄如下引例 射擊問題試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù) k命中次數(shù)頻率一、數(shù)學期望的概念 設某射擊手在同樣的條件下,瞄準靶子相繼射擊9解平均射中環(huán)數(shù)解平均射中環(huán)數(shù)1. 離散型隨機變量的數(shù)學期望1. 離散型隨機變量的數(shù)學期望射擊問題 “平均射中環(huán)數(shù)”即為隨機變量 X 的數(shù)學期望設射手命中的環(huán)數(shù)為隨機變量 X ，射擊問題 “平均射中環(huán)數(shù)”即為隨機變量 X 的數(shù)學期望關于定義的幾點說明 (1) E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權平均,與一般的平均值不同 , 它從本質上體現(xiàn)了隨機

3、變量 X 取值的真正的平均值, 也稱均值. (2) 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要求是因為數(shù)學期望是反映隨機變量X 取可能值的平均值,它不應隨可能值的排列次序而改變.關于定義的幾點說明 (1) E(X)是一個實數(shù)隨機變量 X 的算術平均值為假設它從本質上體現(xiàn)了隨機變量X 取值的平均程度.隨機變量 X 的期望為隨機變量 X 的算術平均值為假設它從本質上體現(xiàn)了隨機變量X 試問哪個射手技術較好?實例1 誰的技術比較好?乙射手甲射手試問哪個射手技術較好?實例1 誰的技術比較好?乙射手甲射解故甲射手的技術比較好.解故甲射手的技術比較好.實例2 發(fā)行彩票的創(chuàng)收

4、利潤 某一彩票中心發(fā)行彩票 10萬張, 每張2元. 設頭等獎1個, 獎金 1萬元, 二等獎2個,獎金各 5 千元;三等獎 10個, 獎金各1千元; 四等獎100個, 獎金各100元; 五等獎1000個, 獎金各10 元.每張彩票的成本費為 0.3 元, 請計算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤.解設每張彩票中獎的數(shù)額為隨機變量X, 則實例2 發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤 某一彩票中每張彩票平均可賺每張彩票平均能得到獎金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行 10 萬張彩票的創(chuàng)收利潤為每張彩票平均可賺每張彩票平均能得到獎金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行 實例3 如何確定投資決策方向? 某人有10萬元現(xiàn)金，想投資于某項目，預估成功的機會為 30%

5、，可得利潤8萬元 ， 失敗的機會為70%，將損失 2 萬元若存入銀行，同期間的利率為5% ，問是否作此項投資?解設 X 為投資利潤，則存入銀行的利息:故應選擇投資.實例3 如何確定投資決策方向? 某人有實例4商店的銷售策略實例4商店的銷售策略解X 的分布函數(shù)為解X 的分布函數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征(4142)課件2.連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的定義2.連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的定義解因此, 顧客平均等待5分鐘就可得到服務.實例5 顧客平均等待多長時間? 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間 X(以分鐘計)服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務的平均時間?解因此, 顧客平均等待5

6、分鐘就可得到服務.實例5 顧客平均1. 離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望例6 設隨機變量 X 的分布律為1. 離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望為若 Y=g(X), 且則有離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望為若 Y=g(X), 且則有2. 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望若 X 是連續(xù)型的,它的概率密度為 f (x) , 則例7 設隨機變量 求2. 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望若 X 是連續(xù)型的,它的概3. 二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望設隨機變量 (X,Y) 的聯(lián)合分布律為例8求3. 二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望設隨機變量 (X,Y) 的

7、聯(lián)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征(4142)課件1. 設 C 是常數(shù), 則有2. 設 X 是一個隨機變量,C 是常數(shù), 則有三、數(shù)學期望的性質3. 設 X, Y 是兩個隨機變量, 則有4. 設 X, Y 是相互獨立的隨機變量, 則有1. 設 C 是常數(shù), 則有2. 設 X 是一個隨機變量解實例9解實例9概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征(4142)課件實例10分組驗血實例10分組驗血解解概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征(4142)課件一、隨機變量方差的概念及性質三、例題講解二、重要概率分布的方差第二節(jié)方差一、隨機變量方差的概念及性質三、例題講解二、重要概率分布的方1.

8、概念的引入 方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量取值離散程度的量.實例 有兩批燈泡,其平均壽命都是 E(X)=1000小時. 一、隨機變量方差的概念及性質 1. 概念的引入 方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量取值離散2. 方差的定義2. 方差的定義 方差體現(xiàn)隨機變量 X 取值的離散程度. 注： 方差是一個無量綱的的量3. 方差的意義 如果 D(X) 值小, 則表示X 的取值比較集中, 以 E(X) 作為隨機變量的代表性好. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值離散程度大, E(X) 的代表性差; 方差體現(xiàn)隨機變量 X 取值的離散程度. 注： 離散型隨機變量的方差 連續(xù)型隨機變量的方差4. 隨機變量方差的計

9、算 (1) 利用定義計算 離散型隨機變量的方差 連續(xù)型隨機變量的方差4. 隨機(2) 利用公式計算(2) 利用公式計算5. 方差的性質(1) 設 C 是常數(shù), 則有(2) 設 X 是一個隨機變量, C 是常數(shù), 則有(3) 設 X, Y 相互獨立, D(X), D(Y) 存在, 則5. 方差的性質(1) 設 C 是常數(shù), 則有(2) 設 X1. 兩點分布 已知隨機變量 X 的分布律為則有二、重要概率分布的方差1. 兩點分布 已知隨機變量 X 的分布律為則有二、重要2. 二項分布 則有 設隨機變量 X 服從參數(shù)為 n, p 二項分布,其分布律為2. 二項分布 則有 設隨機變量 X 服3. 泊松分

10、布 則有3. 泊松分布 則有所以所以4. 均勻分布則有4. 均勻分布則有結論 均勻分布的數(shù)學期望位于區(qū)間的中點.結論 均勻分布的數(shù)學期望位于區(qū)間的中點.5. 指數(shù)分布 則有5. 指數(shù)分布 則有概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征(4142)課件6. 正態(tài)分布則有6. 正態(tài)分布則有概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征(4142)課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征(4142)課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章隨機變量的數(shù)字特征(4142)課件分布參數(shù)數(shù)學期望方差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布分布參數(shù)數(shù)學期望方差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)解三、例題講解例1解三、例題講解例1于是于是 已知離散型隨機變量的所有可能取值為 1，2，3； 且 E(X)=2.3, D(X)=0.61,例2求 X 的分布律。 已知離散型隨機變量的所有可能取值為 例2 隨機變量的標準化令則