1、2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(遼寧卷)數(shù)學(xué)(理科)第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2014遼寧,理1)已知全集U=R,A=x|x0,B=x|x1,則集合U(AB)=().A.x|x0B.x|x1C.x|0 x1D.x|0 x1答案:D解析:AB=x|x0或x1,U(AB)=x|0 xbcB.acbC.cabD.cba答案:C解析:0a=2-1320=1,b=log213log4.(2014遼寧,理4)已知m,n表示兩條不同直線,表示平面.下列說法正確的是().A.若m,n,則mnB.若m,n,則mnC.若m,mn

2、,則nD.若m,mn,則n答案:B解析:對(duì)A:m,n還可能異面、相交,故A不正確.對(duì)C:n還可能在平面內(nèi),故C不正確.對(duì)D:n還可能在內(nèi),故D不正確.對(duì)B:由線面垂直的定義可知正確.5.(2014遼寧,理5)設(shè)a,b,c是非零向量.已知命題p:若ab=0,bc=0,則ac=0;命題q:若ab,bc,則ac,則下列命題中真命題是().A.pqB.pqC.(p)(q)D.p(q)答案:A解析:對(duì)命題p中的a與c可能為共線向量,故命題p為假命題.由a,b,c為非零向量,可知命題q為真命題.故pq為真命題.故選A.6.(2014遼寧,理6)6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()

3、.A.144B.120C.72D.24答案:D解析:插空法.在已排好的三把椅子產(chǎn)生的4個(gè)空檔中選出3個(gè)插入3人即可.故排法種數(shù)為A43=24.故選7.(2014遼寧,理7)某幾何體三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為().A.8-2B.8-C.8-D.8-答案:B解析:由三視圖知,原幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體挖去兩個(gè)底面半徑為1,高為2的四分之一圓柱,故幾何體的體積為8-2214=8-.故選B8.(2014遼寧,理8)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,若數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列,則A.d0C.a1d0答案:C解析:數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列,2a1a1ana1an+1,a1(an+1-an)0.an為公差為

4、d的等差數(shù)列,a1d0,則可得切線方程為y-3=k(x+2).聯(lián)立方程y-3=k(x+2),y2=8x,消去x得ky2由相切得=64-4k(24+16k)=0,解得k=12或k=-2(舍去),代入(*)解得y=8,把y=8代入y2=8x,得x=8,即切點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,8),又焦點(diǎn)F為(2,0),故直線BF的斜率為411.(2014遼寧,理11)當(dāng)x-2,1時(shí),不等式ax3-x2+4x+30恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A.-5,-3B.-C.-6,-2D.-4,-3答案:C解析:當(dāng)x-2,1時(shí),不等式ax3-x2+4x+30恒成立,即當(dāng)x-2,1時(shí),不等式ax3x2-4x-3(*)恒成立

5、.(1)當(dāng)x=0時(shí),aR.(2)當(dāng)0 x1時(shí),由(*)得ax2-設(shè)f(x)=1x-4x2-3x3當(dāng)0 x1時(shí),x-90,f(x)0,f(x)在(0,1上單調(diào)遞增.當(dāng)0 x1時(shí),可知af(x)max=f(1)=-6.(3)當(dāng)-2x0時(shí),由(*)得a1x令f(x)=0,得x=-1或x=9(舍).當(dāng)-2x-1時(shí),f(x)0,當(dāng)-1x0,f(x)在-2,-1)上遞減,在(-1,0)上遞增.x-2,0)時(shí),f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.可知af(x)min=-2.綜上所述,當(dāng)x-2,1時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍為-6a-2.故選C.12.(2014遼寧,理12)已知定義在0,1上的函數(shù)f(x

6、)滿足:f(0)=f(1)=0;對(duì)所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|12若對(duì)所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,則k的最小值為().A.12B.14C.12答案:B解析:不妨令0 xy1,則|f(x)-f(y)|12法一:2|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(x)-f(y)-f(y)-f(1)|f(x)-f(0)|+|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(1)|12|x-0|+12|x-y|+12|y-1|=12x+12(y-x)+12(1-y)=12,即得|f(x)-f(y)|14,對(duì)所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,只需k大于|f

7、(x)-f(y)|的最大值即可.故k法二:當(dāng)|x-y|12時(shí),|f(x)-f(y)|12時(shí),|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(1)-f(y)-f(0)|f(x)-f(1)|+|f(y)-f(0)|12|x-1|+12|y-0|=12(1-x)+12y=12+12(y-x)14,對(duì)所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|1,執(zhí)行否,x=5,y=113,|y-x|=431,執(zhí)行否,x=113,y=299,|y-x|=490,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時(shí),3a-4答案:-2解析:要求|2a+b|最大值,只需求(2a+b)2的最大值.4a2-2ab+4

8、b2-c=0,4a2+b2=c+2ab-3b2.(2a+b)2=4a2+b2+4ab=c+2ab-3b2+4ab=c+6ab-3b2=c+3b(2a-b)=c+322b(2a-b)c+322即(2a+b)285c,當(dāng)且僅當(dāng)2b=2a-b,即3b=2a時(shí)取到等號(hào),即(2a+b)2取到最大值故3b=2a時(shí),|2a+b|取到最大值.把3b=2a,即b=2a3代入4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=4093a-4當(dāng)1a=43時(shí),3三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)(2014遼寧,理17)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且ac.已知BAB

9、C=2,cos B=13,b=3(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.分析:(1)將條件中的BABC=2,轉(zhuǎn)化為邊角的量表示,可得a與c的關(guān)系,再結(jié)合余弦定理列方程組求解.(2)由(1)及正弦定理可得sin C,進(jìn)而求出cos C,再由兩角差的余弦公式求出cos(B-C)的值.解:(1)由BABC=2,得cacos B=2.又cos B=13,所以ac=6由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,因ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=1-由正弦定理,得sin C=cbsin B

10、=23因a=bc,所以C為銳角,因此cos C=1-于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1379+18.(本小題滿分12分)(2014遼寧,理18)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率;(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).分析:(1)先由頻率分布直方圖計(jì)算出日銷售量不低于100和日銷售量低于50的

11、概率.再由3天中連續(xù)2天日銷售量不低于100,可分為第1,2天或第2,3天日銷售量不低于100兩種情況,從而由獨(dú)立事件概率公式求值.(2)由題意知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,則可列出分布列及求出期望、方差.解:(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”,A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另一天銷售量低于50個(gè)”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為P(X=0)=C30(

12、1-0.6)3=0.P(X=1)=C310.6(1-0.6)2=0.P(X=2)=C320.62(1-0.6)=0.P(X=3)=C330.63=0.分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄B(3,0.6),所以期望E(X)=30.6=1.8,方差D(X)=30.6(1-0.6)=0.72.19.(本小題滿分12分)(2014遼寧,理19)如圖,ABC和BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F分別為AC,DC的中點(diǎn).(1)求證:EFBC;(2)求二面角E-BF-C的正弦值.分析:法一:幾何法.(1)證明線線垂直,可由線面垂直證得,

13、可尋求過EF的平面與BC垂直即可.(2)由面面垂直可得線面垂直,再利用線面垂直性質(zhì)構(gòu)造二面角求解.法二:建立空間直角坐標(biāo)系.(1)求各點(diǎn)坐標(biāo),利用向量垂直的條件證明線線垂直.(2)平面BFC的法向量易求出,平面BEF的法向量可運(yùn)用法向量條件求得,再運(yùn)用公式求出兩法向量夾角的余弦值,進(jìn)而求出所求正弦值.(1)證明:(方法一)過E作EOBC,垂足為O,連OF,由ABCDBC可證出EOCFOC.圖1所以EOC=FOC=2,即FO又EOBC,因此BC面EFO.又EF面EFO,所以EFBC.圖2(方法二)由題意,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)

14、過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.易得B(0,0,0),A(0,-1,3),D(3,-1,0),C(0,2,0),因而E0,12,32,F32,12,0,所以,EF=32從而EFBC,所以EF(2)解:(方法一)在圖1中,過O作OGBF,垂足為G,連EG.由平面ABC平面BDC,從而EO面BDC.又OGBF,由三垂線定理知EGBF.因此EGO為二面角E-BF-C的平面角.在EOC中,EO=12EC=12BCcos 30=由BGOBFC知,OG=BOBCFC=3因此tanEGO=EOOG=2從而sinEGO=255,即二面角E-BF-C正弦值為(方法二)在圖2中,平面BFC

15、的一個(gè)法向量為n1=(0,0,1).設(shè)平面BEF的法向量n2=(x,y,z).又BF=由n2BF=0,n2BE=0得其中一個(gè)n2設(shè)二面角E-BF-C大小為,且由題意知為銳角,則cos =|cos|=n1因此sin =25=2520.(本小題滿分12分)(2014遼寧,理20)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸、y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P(如圖).雙曲線C1:x2a2-y2b(1)求C1的方程;(2)橢圓C2過點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn),直線l過C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A,B兩點(diǎn).若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P,求l的方程.分析:(1)設(shè)出切點(diǎn)P的坐標(biāo),利用直線和圓相切

16、的性質(zhì),求出切線,進(jìn)而求出切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),運(yùn)用基本不等式求出取最值時(shí)P的坐標(biāo)代入雙曲線方程求得結(jié)果.(2)運(yùn)用待定系數(shù)法求出橢圓方程,將以AB為直徑的圓過點(diǎn)P轉(zhuǎn)化為PAPB=0,運(yùn)用韋達(dá)定理求解.解:(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(x00,y00),則切線斜率為-x0y0,切線方程為y-y0=-x0y0(x-x0),即x0 x+y0y=4.此時(shí),兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S=124x04y0=8x0y0.由x02+y02=42x0y0,知當(dāng)且僅當(dāng)x由題意知2解得a2=1,b2=2.故C1方程為x2-y22=(2)由(1)知C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(3,0),由此設(shè)C

17、2的方程為x23+b12+y2b由P(2,2)在C2上,得23+解得b12=因此C2方程為x26+顯然,l不是直線y=0.設(shè)l的方程為x=my+3,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).由x得(m2+2)y2+23my-3=0.又y1,y2是方程的根,因此y由x1=my1+3,x2=my2+3,得x因?yàn)锳P=(2-x1,2-y1),BP=(2-x2,2-y2).由題意知APBP=0,所以x1x2-2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+4=0.將,代入式整理,得2m2-26m+46-11=0.解得m=362-1或m=-62因此直線l的方程為x-362-1y-3=0或x+6221.(本小題

18、滿分12分)(2014遼寧,理21)已知函數(shù)f(x)=(cos x-x)(+2x)-83(sin x+1),g(x)=3(x-)cos x-4(1+sin x)ln3-2(1)存在唯一x00,2,使f(x0)(2)存在唯一x12,使g(x1)=0,且對(duì)(1)中的x0,有x0+x1分析:(1)先判斷f(x)的單調(diào)性,再運(yùn)用根的存在性定理證明.(2)可構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)1+sinx,再換元后,結(jié)合(1)可求出x0證明:(1)當(dāng)x0,2時(shí),f(x)=-(1+sin x)(+2x)-2x-23cos x0,f2=-2-163所以存在唯一x00,2,使f(x0)(2)考慮函數(shù)h(x)=3(x-)

19、cosx1+sin令t=-x,則x2,時(shí),t記u(t)=h(-t)=3tcost1+sint-4ln1+2t,由(1)得,當(dāng)t(0,x0)時(shí),u(t)0.當(dāng)tx0,2時(shí),u(t在(0,x0)上u(t)是增函數(shù).又u(0)=0,從而當(dāng)t(0,x0時(shí),u(t)0.所以u(píng)(t)在(0,x0上無零點(diǎn).在x0,2上u(t)為減函數(shù),由u(x0)0,u2=-4ln 2x0,所以x0+x1.請(qǐng)考生在第22,23,24三題中任選一題做答.如果多做,則按所做的第一題記分.做答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)下方的方框涂黑.22.(本小題滿分10分)(2014遼寧,理22)選修41:幾何證明選講如圖,EP

20、交圓于E,C兩點(diǎn),PD切圓于D,G為CE上一點(diǎn)且PG=PD,連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A,作弦AB垂直EP,垂足為F.(1)求證:AB為圓的直徑;(2)若AC=BD,求證:AB=ED.分析:(1)證明AB是直徑,即證明BDA=90.由PFA=90,從而尋求BDA=PFA就可證明.(2)要證AB=DE,即證DE為直徑,連DC,即證DCE=90,從而只需證明ABDC即可.證明:(1)因?yàn)镻D=PG,所以PDG=PGD.由于PD為切線,故PDA=DBA.又由于PGD=EGA,故DBA=EGA,所以DBA+BAD=EGA+BAD,從而BDA=PFA.由于AFEP,所以PFA=90.于是BDA=90.故AB是直徑.(2)連接BC,DC.由于AB是直徑,故BDA=ACB=90.在RtBDA與RtACB中,AB=BA,AC=BD,從而RtBDARtACB.于是DAB=CBA.又因?yàn)镈CB=DAB,所以DCB=CBA,故DCAB.由于ABEP,所以DCEP,DCE為直角.于是ED為直徑.由(1)得ED=AB.23.(本小題滿分10分)(2014遼寧,理23)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程;(2)設(shè)直線l:2x+y-2=0與C的交點(diǎn)為P1,