1、（完整（完整word）等差數(shù)列專(zhuān)題等差數(shù)列專(zhuān)題一、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)回顧與技巧點(diǎn)撥.等差數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母蟲(chóng)表示;.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式3.若等差數(shù)列a3.若等差數(shù)列a的首項(xiàng)是a,等差中項(xiàng)01公差是d,則其通項(xiàng)公式為an=a1+(n1)d=(nm)d=p.如果三個(gè)數(shù)*,4，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)，如果人是x和y的等差中項(xiàng)，則Ax+y.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：a,=am+(nm)d(n,mN*).(2)若an為等差數(shù)列，且m+n=p+q

2、,則a+a=a+a(m,n,p,qN*).(3)若匕是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+,ak+2,(k,mN*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)數(shù)列nSm,S2mSm,S31s2m，也是等差數(shù)列:mk+2m(5)S2n_1=(2n1)an。nd(6)若n為偶數(shù)，則S偶一S奇二；若n為奇數(shù)，則S奇一S偶=2中(中間項(xiàng)).等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若已知首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an,則與=錯(cuò)誤!，或等差數(shù)列第的首項(xiàng)是a1,公差是d,則其前n項(xiàng)和公式為Sn=na1+錯(cuò)誤!d.nnn1n.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系S=錯(cuò)誤!n2+錯(cuò)誤!門(mén),數(shù)列2是等差數(shù)列的充要條件是S=An2+Bn(A,B為常數(shù)).最值問(wèn)

3、題nn若a1V0,d0,則Sn存在最小值.在等差數(shù)列凡中，a1若a1V0,d0,則Sn存在最小值.一個(gè)推導(dǎo)利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn=a+a+a+Fan,Sn=an+an一+a,+得:s=najan。n2兩個(gè)技巧已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類(lèi)問(wèn)題，要善于設(shè)元.(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí),可設(shè)為二；a2d；ad,a,a+d,a+2d,.(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí),可設(shè)為,a3d,ad,a+d,a+3d,，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱(chēng)設(shè)元.四種方法等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：對(duì)于nN2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證anan1為同一常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)

4、法:驗(yàn)證2an1=an+an2(n3,neN*)成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an=pn+q；(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn=An2+Bn.注：后兩種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來(lái)證明等差數(shù)列.回顧:.已知等差數(shù)列同中，as=9,a/3,則公差d的值為（）A.B.1C.D.-12.已次口數(shù)列aj的通項(xiàng)公式是a：2n+5,貝I立匕數(shù)列是（）A.以A.以7為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列C.以5為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列B.以7為首項(xiàng)，公差為5的等差數(shù)列D.不是等差數(shù)列3.在等差數(shù)列a中，a=13,a=12,若a=2則n等于（A.3.在等差數(shù)列a中，a=13,a=12,若a=2則n等于（A.4

5、.A.23B.24C.25兩個(gè)數(shù)1與5的等差中項(xiàng)是（B.3C.D.26D.5.（2005黑龍江）如果數(shù)列an是等差數(shù)列，則（）A.a1+a8a4+a5B.ajagaq+asA.a1+a8a4+a5B.ajagaq+asC.a1+a82時(shí)，a=S-S=(12n-n2)-12(n-1)+(n-1)2=13-2n，TOC o 1-5 h znnn-1當(dāng)n=1時(shí)，132x1=11=a,/.a=132n。1n13由a=13-2n0，得n一，/.當(dāng)1n0；當(dāng)n7時(shí)，a0。n2nn(1)1a+(1)1a+a+a=a+a+a23123=S=12x332=27；3a+aa+a+aHFa=a+a+aHFa一(a+

6、a+a10123+a)10=2S-S=2(12x6-62)-(12x10-102)=52.61011n當(dāng)n7時(shí)，a+a+a+a=a+a+a+a一(a+a+a)=2S一S=2(12x6-62)-(12n一n2)=n2-12n+72.6n對(duì)應(yīng)練習(xí)：5、已知S對(duì)應(yīng)練習(xí)：5、已知S為等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和，S100,S100二10，求S110?？键c(diǎn)2：證明數(shù)列是等差數(shù)列【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有:1、定義法：aa【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有:1、定義法：aan+1n=d（neN，d是常數(shù)）oa是等差數(shù)列;2、中項(xiàng)法：2a=a+a(neN)on+1nn+2+n是等差數(shù)列;

7、n3、通項(xiàng)公式法：a=kn+b（k,b是常數(shù)）o（a是等差數(shù)列;4、項(xiàng)和公式法：S4、項(xiàng)和公式法：S=An2+Bn（A,B是常數(shù)，A豐0）on【例4】已知S為等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和，b（a是等差數(shù)列.n求證：數(shù)列求證：數(shù)列（是等差數(shù)列.n解：方法1：設(shè)等差數(shù)列解：方法1：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，nS=na+n(n-1)dn12二.bn（完整（完整word）等差數(shù)列專(zhuān)題（完整（完整word）等差數(shù)列專(zhuān)題11d,：.b-b=a+nd-a-(n-1)d=(常數(shù))n+1ni11d,：.b-b=a+nd-a-(n-1)d=(常數(shù))n+1ni2i22，數(shù)列bn是等差數(shù)列.方法2：:bn=a+2(n-1)d,1

8、,1/.b=a+ndb=a+(n+1)dn+112，n+212.b+b-an+2n1+i(n+1)d+a+：(n-1)d-2a+nd=2b21,n+1.數(shù)列弘n是等差數(shù)列。對(duì)應(yīng)練習(xí)：6、設(shè)S為數(shù)列na的前n項(xiàng)和,nS-pna(neN)，nn+（1）常數(shù)P的值；（2）證：數(shù)列an是等差數(shù)列.考點(diǎn)3:等差數(shù)列的性質(zhì)【解題思路】利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.【例5】1、已知S為等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和則S112、知S為等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和，S=m,S=n(n豐m),則Smm+n解:1、S1111(a+a)11-211X2a6-11a-1100.2、方法1：令S-An2+Bn，則nAn2+Bn-mAm2+B

9、m-nnA(n2-m2)+B(n-m)-m-n.n豐m，/.A(n+m)+B=-1,/.S=A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n);m+n方法2:不妨設(shè)mn(m-n)(a+a)SS-a+a+a+a+a=n+mnm.mnn+1n+2n+3m-1m2:a+a=a+a=-2，1m+nn+1m:Sm+n(m+n)(a+:Sm+n1m1n-=(m+n)；方法3：是等差數(shù)列，：Sn1為等差數(shù)列nnJ三點(diǎn)共線.1)mlnm+n)三點(diǎn)共線.nm-nm-mnm-nSm+nm+nn對(duì)應(yīng)練習(xí)：7、含2n+1個(gè)項(xiàng)的等差數(shù)列其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為（.2n.2n+1n+1AB.nnn-1n+1C.D.n2n8.設(shè)S、T分別是等差數(shù)列8.設(shè)S、T分別是等差數(shù)列a、a的前n項(xiàng)和nnnna則5=b5考點(diǎn)4：等差數(shù)列與其它知識(shí)的綜合【解題思路】1、利用a與S的關(guān)系式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求;2、求出T后，判斷T的單調(diào)性.【例6】已知S【例6】已知S為數(shù)列L的前n項(xiàng)和，S1=n2211+n;數(shù)列b滿足:b=11b=2b-b，其前9項(xiàng)和為153.n+2n+1n數(shù)列a、b的通項(xiàng)公式；nn設(shè)T為數(shù)列設(shè)T為數(shù)列c的前n項(xiàng)和(2a11)(2b1)求使不等式T=對(duì)VneN都成立的n57+最大正整