1、文檔編碼 : CG6P2L6O10L6 HP6Z9C6Z10X2 ZM7O1Q9F6J2；線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)第一部分 行列式 1. 排列的逆序數(shù)2. 行列式按行（列）綻開法就3. 行列式的性質(zhì)及行列式的運(yùn)算行列式的定義1. 行列式的運(yùn)算： 定義法 Dna 11a 12a 1 nj j 12jn1 j j 12jna 1j 1a 2j2a njna21a 22a 2nan 1an2a nn （降階法）行列式按行（列）綻開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和. . 推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零a A j1a Aj2

2、a AjnA,ij,0,ij.第 1 頁(yè) 共 21 頁(yè)； 化為三角型行列式 上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積. b 11 * * *0 b 22 * *A b b 11 22 b nn0 *0 0 b nnA O A A O= A BO B O B B 如 A 與 B 都是方陣（不必同階）, 就O A= A 1 mn A BB O B Oa 1 n O a 1 n 關(guān)于副對(duì)角線：a 2 n 1 a 2 n 1 1 n n21a a 2 n a n 1a n 1 O a n 1 O1 1 1x 1 x 2 x n 范德蒙德行列式：x 1 2x 2 2x n 2 x i x j

3、1 j i nn 1 n 1 n 1x 1 x 2 x na b b bb a b bn 1 a b型公式：b b a b a n 1 b a b b b b a 升階法 在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不變的方法 . 遞推公式法 對(duì) n 階行列式 D 找出 D 與 D n 1 或 D n 1 , D n 2 之間的一種關(guān)系稱為遞推公式,其中D , D n 1 , D n 2 等結(jié)構(gòu)相同,再由遞推公式求出 D 的方法稱為遞推公式法 . 拆分法 把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式,再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和,使問(wèn)題簡(jiǎn)化以例運(yùn)算 . 數(shù)學(xué)歸納法 2. 對(duì)于 n 階行列式

4、A ,恒有：EAnkn1k 1S knk,其中S 為 k 階主子式；3. 證明A0的方法：第 2 頁(yè) 共 21 頁(yè)；、AA ；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組Ax0,證明其有非零解；A ij 1ijMij、利用秩,證明r An ；、證明0 是其特點(diǎn)值 . 4. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij 1ijA ij其次部分矩陣1. 矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 2. 矩陣求逆 3. 矩陣的秩的性質(zhì) 4. 矩陣方程的求解1. 矩陣的定義由 mn 個(gè)數(shù)排成的 m 行 n 列的表Aa 11a 12a 1 n稱為 mn 矩陣 . a 21a 22a 2n記作：Aa ijm n或A m na m 1a m2a mn. 同型矩陣：

5、兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等矩陣相等 : 兩個(gè)矩陣同型,且對(duì)應(yīng)元素相等. 矩陣運(yùn)算 a. 矩陣加（減）法：兩個(gè)同型矩陣,對(duì)應(yīng)元素相加（減）. c ijAa ij. b. 數(shù)與矩陣相乘：數(shù)與矩陣 A 的乘積記作A 或 A,規(guī)定為 c. AB,矩陣與矩陣相乘：設(shè)Aa ijm s, Bb ijs n, 就Cm n其中b 1ja b 1 1ja b 2jABa b sj不成立 . 0 或B=0c ij a i1,a i2,a isb 2jb sj, 即公式BA注：矩陣乘法不滿意：交換律、消去律AB0A第 3 頁(yè) 共 21 頁(yè)； a. 分塊對(duì)角陣相乘：AA 11A 22,BB 11B 22ABA B

6、11A B 22,n An A 11n A 22 b. 用對(duì)角矩陣左 乘一個(gè)矩陣 , 相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的行 向量；a 100b 11b 12b 1na b 1 11a b 1 12a b 1 1nB0a 20b 21b 22b 2na b 21a b 22a b 2n00a mb m 1b m 2b mna b m 1a b m 2a b mn c. 用對(duì)角矩陣右 乘一個(gè)矩陣 , 相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的列 向量 . b 11b 12b 1 na 100a b 1 11a b 2 12a b 1 nBb 21b 22b 2n0a 20a b 21a b 2

7、2a b 2 nb m1b m2b mn00a ma b 1 m 1a b 2 m2a b m mn d. 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘. 方陣的冪的性質(zhì)：m nA AAm n, AmnA mn矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣,叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作T A . a. 對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣: A是對(duì)稱矩陣AT A . A 是反對(duì)稱矩陣AT A . b. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：ABTT ACTCDTT BDA 11A 21A n 1相伴矩陣：* AA ijTA 12A 22A n2,A 為 A 中各個(gè)元素的代數(shù)余子式. A 1nA 2nA nn* AA* A

8、AA E ,* AAn1, A1A1. 分塊對(duì)角陣的相伴矩陣：AB*BA*AB*BA*mn 1B Amn 1A B第 4 頁(yè) 共 21 頁(yè)；矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：T ATAABTT TB AT AAA1TT A1T AAT矩陣可逆的性質(zhì)：A11AAB1B1A1A1A1A1kk A1Akk相伴矩陣的性質(zhì)：AAn2AABB AAAn1A1A1AAkAAn如r Anr A1 如r An1ABA BAkAkAAA AA E （無(wú)條件恒成立）0 如r An1 2. 逆矩陣的求法方陣 A 可逆A0. 相伴矩陣法A1A注 ：ab1ad1bcdb主換位Acdca副變號(hào) 初等變換法A E初等行變換E A1 分塊矩陣的

9、逆矩陣：AB1A1B1BA1A1B1AC1A11 A CB1AO1A1OOBOBCBB1CA1Ba 111 a 1a 111a3a21 a 2 , a21 a 2a31 a 3a31 a 1 配方法或者待定系數(shù)法（逆矩陣的定義ABBAEA1B ）3. 行階梯形矩陣可畫出一條階梯線,線的下方全為0；每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零. 當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1,且這些非零元所在列的其他元素都是0 時(shí),稱為行最簡(jiǎn)形矩陣4. 初等變換與初等矩陣c 對(duì)換變換、倍乘變換、倍加（或消法）變換k初等矩陣的行列式初等變換初等矩陣初等矩陣的逆rir ciE i j ,

10、E i j , 1E i j , E i j , 1irk ick cjE i k kE i k E i k 1E i krirjk c ik E i j k , E i j k , 1E i j , E i j k , 1第 5 頁(yè) 共 21 頁(yè)；. 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對(duì) A 施行一次初等 行 變換得到的矩陣 對(duì) A 施行一次初等 列 變換得到的矩陣, 等于用相應(yīng)的初等矩陣 左 乘 A ；, 等于用相應(yīng)的初等矩陣 右 乘 A . 留意：初等矩陣是行變換仍是列變換,由其位置打算：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣. 5. 矩陣的秩關(guān)于 A 矩陣秩的描述：、r Ar , A中有 r

11、 階子式不為0,r1階子式 存在的話 全部為 0；、r Ar , A的 r 階子式全部為0；、r Ar , A中存在 r 階子式不為0；. 矩陣的秩的性質(zhì)：AOr A 1; AOr A0; 0 r A m n minm n , . r A r ATT r A Ar kA r A其中k0如A m n,B n s,如r AB0r A r BnAx0 的解B 的列向量全部是r AB minr A r B 如 P 、 Q 可逆,就r A r PA r AQ r PAQ ；即：可逆矩陣不影響矩陣的秩Ax只有零解 如r A m nnr AB r B ABOBO；A 在矩陣乘法中有左消去律ABACBC如r

12、B n snr AB r BB在矩陣乘法中有右消去律 .如r A rA 與唯獨(dú)的E rO等價(jià),稱E rO為矩陣 的 等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型 . OOOOr AB r A r B , maxr A r Br A B r A r BrAOOAr A r B , rACr A r B OBBOOB. 求矩陣的秩：定義法和行階梯形陣方法 第 6 頁(yè) 共 21 頁(yè)；6 矩陣方程的解法A0 ：設(shè)法化成IAXB或 IIXABTEAI 的解法：構(gòu)造A B初等行變換E XII的解法：構(gòu)造初等列變換XB第三部分線性方程組II的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為T A XTBT,用I 的方法求出X,再轉(zhuǎn)置得X1. 向量組的線性表示 2.

13、 向量組的線性相關(guān)性 3. 向量組的秩 4. 向量空間 5. 線性方程組的解的判定 6. 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）（1）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）（2）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）1. 線性表示：對(duì)于給定向量組,1,2,n,如存在一組數(shù)k k2,2,k 使得k 11k22k nn,就稱是1,2,n的線性組合,或稱稱可由1,n的線性表示 . 線性表示的判別定理:b 1可由1,2,n 的線性表示由 n 個(gè)未知數(shù) m 個(gè)方程的方程組構(gòu)成n 元線性方程：a x 1a12x2a 1nxnb 1、a x 21 1a 22x2a 2nxnb2有解am 1x 1am2x 2an

14、mx nb na 11a12a 1nx 1b 1、a 21a22a 2nx 2b 2Axam1am2a mnxmb mx 1b 2）；、a 1a 2a nx2（全部按列分塊,其中xnb n第 7 頁(yè) 共 21 頁(yè)；、a x 1 a x 2 a x n（線性表出）、有解的充要條件：r A r A , n （ n 為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）2. 設(shè) A m n , B n s , A 的列向量為 1 , 2 , , n,B的列向量為 1 , 2 , , s,b 11 b 12 b 1 sb 21 b 22 b 2 s就 AB C m s 1 , 2 , , n c c 2 , , c sb n 1 b

15、 n 2 b nsA i c i, i 1,2 , , i 為 Ax c 的解A 1 , 2 , , s A 1 , A 2 , , A s c c 2 , , c sc c 2 , , c 可由 1 , 2 , , n線性表示 . 即： C 的列向量能由 A 的列向量線性表示,B 為系數(shù)矩陣 . 同理： C 的行向量能由 B的行向量線性表示,A為系數(shù)矩陣 . a 11 a 12 a 1 n 1 c 1 a 11 1 a 12 2 a 1 n 2 c 1a 21 a 22 a 2 n 2 c 2 a 21 1 a 22 2 a 2 n 2 c 2即：a n 1 a n 2 a mn n c m

16、 a m 1 1 a m 2 2 a mn 2 c m3. 線性相關(guān)性8 ；判別方法：法 1 法 2 法 3 推論第 9 頁(yè) 共 21 頁(yè)；. 線性相關(guān)性判別法（歸納）. 線性相關(guān)性的性質(zhì)零向量是任何向量的線性組合, 零向量與任何同維實(shí)向量正交. （向量維數(shù)變動(dòng)）單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān). 部分相關(guān) , 整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān), 部分必?zé)o關(guān) . （向量個(gè)數(shù)變動(dòng)）原向量組無(wú)關(guān) , 接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān), 原向量組相關(guān) . 兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān). 向量組1,2,n中任一向量i1 in 都是此向量組的線性組合. 2,n 線性表示 , 且

17、表示法唯獨(dú)如1,2,n 線性無(wú)關(guān),而1,2,n,線性相關(guān) , 就可由1,4. 最大無(wú)關(guān)組相關(guān)學(xué)問(wèn)向量組的秩 向量組 1 , 2 , , n的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù),稱為這個(gè)向量組的秩 . 記作 r 1 , 2 , , n 矩陣等價(jià) A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為 B . 向量組等價(jià) 1 , 2 , , n 和 1 , 2 , , n可以相互線性表示 . 記作：1 , 2 , , n 1 , 2 , , n10 ； 共 21 頁(yè)；矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩 . s2,r,s線性相關(guān) . , 就兩向量組等價(jià)；行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù). 矩陣的初等變換不轉(zhuǎn)變矩陣的秩, 且不轉(zhuǎn)變行

18、（列）向量間的線性關(guān)系向量組1,2,s可由向量組1,2,n線性表示 , 且 sn ,就1,向量組1,2,s 線性無(wú)關(guān) , 且可由1,2,n 線性表示 , 就 s n . 1,2,n向量組1,2,s可由向量組1,2,n線性表示 , 且r1,2,任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià). 向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià). 向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯獨(dú),但極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯獨(dú)確定. 如兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià), 就它們包含的向量個(gè)數(shù)相等. 設(shè) A 是 mn 矩陣 , 如r A m , A 的行向量線性無(wú)關(guān)；5. 線性方程組理論線性方程組的矩陣式Ax,xx 1,b 1向量式x 11,jx 22,nx nna

19、11a 12a 1n1jAa 21a 22a 2nx 2b 2其中j2j1 , 2,a m 1a m2a mnx nb mmj（1）解得判別定理第 11 頁(yè) 共 21 頁(yè)；11,2是Ax的解,12也是它的解的解的解k12是Ax,的解 對(duì)任意k k也是它的解齊次方程組1,32,k 是Ax的解 對(duì)任意k個(gè)常數(shù)1,2,k,1122kk也是它的解（2）線性方程組解的性質(zhì)：4是Ax的解,是其導(dǎo)出組Ax的解,是AxAx51,2是Ax的兩個(gè)解,12是其導(dǎo)出組Ax的解6 2是Ax的解 就1也是它的解12 是其導(dǎo)出組71,2,k 是Ax的解 就21122kk也是Ax的解11122kk是Ax0 的解12k0 3

20、判定1,2,s是 Ax的基礎(chǔ)解系的條件：1,2,s線性無(wú)關(guān)；1,2,s都是 Ax的解；snr A每個(gè)解向量中自由未知量的個(gè)數(shù). 4 求非齊次線性方程組Ax = b 的通解的步驟1 將增廣矩陣 A b 通過(guò)初等行變換化為 階梯形矩陣；2 當(dāng) r A b r A r n 時(shí),把不是首非零元所在列對(duì)應(yīng)的 n r 個(gè)變量作為自由元；3 令全部自由元為零,求得 Ax b 的一個(gè) 特解 0；4 不計(jì)最終一列,分別令一個(gè)自由元為 1,其余自由元為零,得到 Ax 0 的 基礎(chǔ) 解系 1 , 2 ,., n-r ;5 寫出非齊次線性方程組 Ax b 的 通解x 0 k 1 1 k 2 2 . k n r n r

21、其中 k k 2 ,., k n r 為任意常數(shù) .第 12 頁(yè) 共 21 頁(yè)；（5）其他性質(zhì)一個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯獨(dú). ,s,線性無(wú)關(guān) 如是 Ax的一個(gè)解,1, ,s是 Ax的一個(gè)解1, ,Ax與 Bx同解（A B 列向量個(gè)數(shù)相同）rAr A r B, 且有結(jié)果：B 它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng), 從而秩相等； 它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 矩陣A m n 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. 同解PAB（左乘可逆矩陣P ）；與B l n的行向量組等價(jià)齊次方程組 Ax與 Bx矩陣A m n與B l n的列向量組等價(jià)AQB （右乘可逆矩陣Q ） . 第四部分方陣的特點(diǎn)值及特點(diǎn)向量1. 施密特

22、正交化過(guò)程2. 特點(diǎn)值、特點(diǎn)向量的性質(zhì)及運(yùn)算3. 矩陣的相像對(duì)角化,特別是對(duì)稱陣的相像對(duì)角化1.標(biāo)準(zhǔn)正交基n 個(gè) n 維線性無(wú)關(guān)的向量, 兩兩正交 , 每個(gè)向量長(zhǎng)度為1. a b i2 a na b 1 1a b2a b nn向量a a 2,a nT與b b 2,b nT的內(nèi)積,與正交 ,0 . 記為：i1 向量a a 2,a nT的長(zhǎng)度 ,na22 a 1a2 2ii1是單位向量,1. 即長(zhǎng)度為 1的向量 . 2. 內(nèi)積的性質(zhì)： 正定性： ,0,且,0 對(duì)稱性： ,第 13 頁(yè) 共 21 頁(yè)；3. 線性性：12,1,2,k,k,設(shè) A 是一個(gè) n 階方陣 , 如存在數(shù)和 n 維非零列向量x

23、, 使得Axx,就稱是方陣 A 的一個(gè)特點(diǎn)值,x 為方陣 A 的對(duì)應(yīng)于特點(diǎn)值的一個(gè)特點(diǎn)向量. A的特點(diǎn)矩陣EA0（或AE0）. A的特點(diǎn)多項(xiàng)式EA （或AE ） . 是矩陣 A的特點(diǎn)多項(xiàng)式AOA12nnitrA,trA稱為矩陣 A 的跡 . 1 上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特點(diǎn)值就是主對(duì)角線上的n 各元素 . 如A0, 就0 為 A 的特點(diǎn)值 , 且 Ax的基礎(chǔ)解系即為屬于0 的線性無(wú)關(guān)的特點(diǎn)向量. a 1r A1A 肯定可分解為A =a 2b 1,b 2,b n、A2a b 1 1a b 2a b nA , 從而 A 的特點(diǎn)值a n為：1trAa b 1 1a b 2a b n, 23n0

24、. 注a a 2,a nT為 A各行的公比,b b 2,b n為 A 各列的公比 . 如 A的全部特點(diǎn)值1,2,n ,f A 是多項(xiàng)式 , 就: 如 A 滿意f A OA 的任何一個(gè)特點(diǎn)值必滿意fi0fA 的全部特點(diǎn)值為f1,f2,fn；f A f1 2fn. A 與AT有相同的特點(diǎn)值,但特點(diǎn)向量不肯定相同. 4. 特點(diǎn)值與特點(diǎn)向量的求法 1 寫出矩陣A的特點(diǎn)方程AE0,求出特點(diǎn)值i . 2 依據(jù) AiE x0得到A 對(duì)應(yīng)于特點(diǎn)值i的特點(diǎn)向量 . 第 14 頁(yè) 共 21 頁(yè)；設(shè) A i E x 0 的基礎(chǔ)解系為 1 , 2 , n r i , 其中 r i r A i E . 就 A 對(duì)應(yīng)于特

25、點(diǎn)值 i的全部特點(diǎn)向量為 k 1 1 k 2 2 k n r i n r i ,其中 k k 2 , , k n r i 為任意不全為零的數(shù) . 5. A與B相像 P AP 1 B（ P 為可逆矩陣）A與 B 正交相像 P 1 AP B（ P 為正交矩陣）A可以相像對(duì)角化 A 與對(duì)角陣 相像 . （稱 是 A 的相像標(biāo)準(zhǔn)形）6. 相像矩陣的性質(zhì)： E A E B , 從而 A B 有相同的特點(diǎn)值 , 但特點(diǎn)向量不肯定相同 . 注 是 A關(guān)于 0的特點(diǎn)向量 , P 1 是 B 關(guān)于 0的特點(diǎn)向量 . tr A tr B A B 從而 A B 同時(shí)可逆或不行逆 r A r B 如 A與 B 相像

26、, 就 A的多項(xiàng)式 f A 與 B 的多項(xiàng)式 f A 相像 . 7. 矩陣對(duì)角化的判定方法 n 階矩陣 A 可對(duì)角化 即相像于對(duì)角陣 的充分必要條件是A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特點(diǎn)向量. 這時(shí) , P 為 A 的特點(diǎn)向量拼成的矩陣,P1AP為對(duì)角陣 , 主對(duì)角線上的元素為A的特點(diǎn)值 . 設(shè)i 為對(duì)應(yīng)于i的線性無(wú)關(guān)的特點(diǎn)向量, 就有：11 P AP2. nA可相像對(duì)角化nriEAk ,其中ik 為i的重?cái)?shù)A 恰有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特點(diǎn)向量. 注：當(dāng)i0 為 A 的重的特點(diǎn)值時(shí),A 可相像對(duì)角化i的重?cái)?shù)nr AAx基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù). 如 n 階矩陣 A 有 n 個(gè)互異的特點(diǎn)值A(chǔ)可相像對(duì)角化 . 第 1

27、5 頁(yè) 共 21 頁(yè)；8. 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)： 特點(diǎn)值全是實(shí)數(shù) , 特點(diǎn)向量是實(shí)向量； 不同特點(diǎn)值對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)向量必定正交；注：對(duì)于一般方陣,不同特點(diǎn)值對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)向量線性無(wú)關(guān)； 肯定有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特點(diǎn)向量. 如 A有重的特點(diǎn)值 , 該特點(diǎn)值i的重?cái)?shù) =nriEA ； 必可用正交矩陣相像對(duì)角化,即：任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； 與對(duì)角矩陣合同,即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； 兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣相像 有相同的特點(diǎn)值 . T9. 正交矩陣 AA E正交矩陣的性質(zhì)： A TA 1； AA TA A TE ； 正交陣的行列式等于 1 或-1 ； A 是正交陣 , 就 A T,A 1

28、 也是正交陣； 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣；A 的行（列）向量都是單位正交向量組. 10. ；11. 施密特正交規(guī)范化1,2,3線性無(wú)關(guān) , 12,1123,2231正交化221,13,1331221,1,單位化：1112233技巧：取正交的基礎(chǔ)解系,跳過(guò)施密特正交化；讓其次個(gè)解向量先與第一個(gè)解向量正交,再把其次個(gè)解向量第四部分代入方程,確定其自由變量. 二次型1. 二次型及其矩陣形式2. 二次型向標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化的三種方式3. 正定矩陣的判定1. a 11a 12a 1nx 1T x Ax二次型f x x 2,x nnna x xjx 1,x 2,x na 21a 22a 2nx 22. i1j1r

29、pa n1a n2a nnx n其中 A 為對(duì)稱矩陣,xx x 2,x nT A 與 B 合同T C ACB . （A B 為實(shí)對(duì)稱矩陣, C為可逆矩陣）正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)p負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)符號(hào)差2 pr r 為二次型的秩 兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：A與 B 等價(jià) 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：r Ar B f x x 2,x nT x Ax 經(jīng)過(guò)正交變換xCy化為fnd y i2標(biāo)準(zhǔn)形 . 合同變換可逆線性變換1第 17 頁(yè) 共 21 頁(yè)；正交變換法配方法（1）如二次型含有 ix 的平方項(xiàng),就先把含有 ix 的乘積項(xiàng)集中,然后配方,再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行,直到都配成平方項(xiàng)為止,經(jīng)過(guò)非退化線性變換,就