1、1)精品文檔1)精品文檔高等數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)第八章空間解析幾何與向量代數(shù)（一）向量及其線性運(yùn)算1、向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面；2、線性運(yùn)算：加減法、數(shù)乘；3、空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限，向量的坐標(biāo)分解式；4、利用坐標(biāo)做向量的運(yùn)算：設(shè)a=（ax，ay，a）,b=（bbb）,xyzxyz則a土b=（a土b,a土b,a土b）九a=（九a,九a,九a）xxyyzzxyz5、向量的模、方向角、投影：i）向量的模：|r|二Jx2+y2+z2；2）兩點(diǎn)間的距離公式：IABI1（x-x）2+（y-y）2+（z-z）2/2121213）方向角：非零向量與三個(gè)坐標(biāo)軸的正向的夾角

2、a,卩,Yxyzcosa=,cosp=,cosy=4）方向余弦：nftcos2a+cos2p+cos2y=15）投影：Prja二網(wǎng)cos，其中申為向量a與u的夾角。二）數(shù)量積，向量積1、數(shù)量積：1、數(shù)量積：a-b=albcose2)a丄boa-b=0精品文檔精品文檔精品文檔a-b=ab+ab+abxxyyzz運(yùn)算律：2、向量積：c二axb大小：IaIplsin9，方向：a,b,c符合右手規(guī)則i）axa=o2)a/boaxb=0ijkaxb=aaaxyzbbbxyz運(yùn)算律：反交換律bxa=-axb（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f（x，y，z）=02、旋轉(zhuǎn)曲面：yoz面上曲線C:f（y

3、，z）=0,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周：f（y，士Jx2+z2）=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周：/（JX2+y2,z）=03、柱面：F（x,y）=0F（x，y）=0表示母線平行于z軸，準(zhǔn)線為的柱面Z=0V4、二次曲面精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔i)橢圓錐面：a。x22)橢球面：a2z2乙二1C2x2+旋轉(zhuǎn)橢球面：az2乙二1C23)單葉雙曲面：x2_+a2z2乙二1C2x24)雙葉雙曲面：a2z2乙二1C25)橢圓拋物面：x2_+a26)7)8)9)x2雙曲拋物面(馬鞍面)：a橢圓柱面：雙曲柱面：拋物柱面：x2_+y2y=1x2x2y2y=1b2ay(四)空間曲線及其方程1、一般方程：x如螺旋線：x如螺旋線：1y

4、zacostasintbtx=x(t)2、參數(shù)方程：y=y(t)z=z(t)3、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影，消去z得到曲線在面xoy上的投影(五)平面及其方程1、點(diǎn)法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0法向量：n=(A,B,C)，過(guò)點(diǎn)(x0,y0,z0)2、一般式方程：Ax+By+Cz+D=0截距式方程：C2)，3、兩平面的夾角：n1=(A1,B1,C1)，n2C2)，AA+BB+CC121212C0S9=JA2+B2+C2-口丄口o12n/no124、點(diǎn)P0(xAA+BB+CC=0121212ABC_L=_L=_LA礦L222,y,z)到平面Ax+By+Cz000+D=0

5、的距離：Ax+By+Cz+Dd=00oIA2+B2+C2（六）空間直線及其方程1、一般式方程：Ax+By+Cz+D=01111Ax+By+Cz+D022222、x-xy-yz-z對(duì)稱式（點(diǎn)向式）方程：方向向量：s(m,nP)，過(guò)點(diǎn)(x0,y0,z0)xx+mt03、參數(shù)式方程：yy0+ntzz+pt04、兩直線的夾角：s1(m1,n1,P1)，s2(m2,n2,P2)，JLJLJLJL乙乙乙乙mm+nn+ppCOS申t121212_：m2+n2+p2；m2+n2+p2111222L丄Lomm+nn+pp012121212mnpL/Lo亠112mnp2225、直線與平面的夾角：直線與它在平面上的

6、投影的夾角，Am+Bn+CpIsin申IA2+B2+C2Qm2+n2+p2L/noAm+Bn+Cp0ABCL丄no=_=mnp6、平面束：口：Ax+By+Cz+D=0口：Ax+By+Cz+D=01111122222過(guò)口1,口2的交線的平面構(gòu)成平面束，方程為：Ax+By+Cz+D+九(Ax+By+Cz+D)=011112222第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(一)基本概念1、距離，鄰域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，開(kāi)集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無(wú)界集。2、多元函數(shù)：z=f(x,y)，圖形：3、極限：hm/(x，y)=A(x,yKx0,y0)4、連續(xù)：limf(x,y)=f(x,y)(x,y

7、Kx0,y0)005、偏導(dǎo)數(shù)：f(x+Ax,y)-f(x,y)f(x,y)=lim0000_x00Axt0Axf(x,y)=limy00f(x0,y0+Ay)-f(x0,y0)Ay6、方向?qū)?shù)*：芳=limf(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)tt0+t其中t=J(Ax)2+(Ay)2,Ax=tcosa,Ay=tcosp讐=其cosa+篇cos卩其中a,卩為1的方向角。7、梯度：z=f(x,y)，則gradf(x0,y0)=fx(x,y0斤+fy(x0,y0)j。8、全微分：設(shè)z=f(x,y)，則dz=QzQxQzQydy(二)性質(zhì)1、函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：2

8、、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)3、微分法1)定義：2)2、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)3、微分法1)定義：2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t3)隱函數(shù)求導(dǎo)：閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)三)應(yīng)用1、極值1)無(wú)條件極值：求函數(shù)Z=f(x,y)的極值f=0 xf二0求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0)，令yA=fxxUy0)，B=fxy5y0)，C=fyy，若AC-B20，A0，函數(shù)有極小值，若AC-B20，A0，函數(shù)有極大值;若AC-B20，函數(shù)沒(méi)有極值;若AC-B2=0，不定。Lagrange函數(shù)2)條件極值：求函數(shù)z=f(x，y)在條件申(x，y)=0下的極值令：L(x,y)=f(x,y)+“(x

9、,yLagrange函數(shù)解方程組2、幾何應(yīng)用曲線的切線與法平面x=x(t)曲線r：y=y(t)，則r上一點(diǎn)M(x,y,z)(對(duì)應(yīng)參數(shù)為t)處的切線方程為：00007Z=Z(t)x-xy-yz-zxf(t)yf(t)zz()000法平面方程為：xz(t)(x-x)+yz(t)(y-y)+zz(t)(z-z)=0gTg/JTfc”QQ0000曲面的切平面與法線曲面L:F(x,y,z)=o，則工上一點(diǎn)M(x,y,z)處的切平面方程為：000F(x,y,z)(xx)+F(x,y,z)(yy)+F(x,y,z)(zz)=0 xyzxx=yy=zz法線方程為：f(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z

10、)xyz第十章重積分(一)二重積分1、kkk_0k=1定義：J!f(x,y)dQ=lim藝f(g,H1、kkk_0k=1D2、性質(zhì)：(6條)3、幾何意義：曲頂柱體的體積。精品文檔精品文檔精品文檔4、對(duì)稱性問(wèn)題：設(shè)閉區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，若f(x,y)關(guān)于y為奇函數(shù)，即f(X,-y)=-f(x,y),則f(x,y皿=0；若f(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù)，即f(兀一y)=f(xy),則DIff(x,y)do=2Wf(x,y)do，其中d為D在x軸上方的部分.DD11設(shè)閉區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，若f(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù)，即f(-x，y)=-f(x，y)，則f(x,y皿=0；若f(x,y)關(guān)于x為偶函數(shù)，即

11、f(x,y)=f(x,y)，則DJ!f(x,y)山=2f(x,y)山，其中d為d在y軸右邊的部分.DD11如果D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即(x,y)ED時(shí)，有(-x，-y)eD，若f(x,y)關(guān)于x,y為奇函數(shù)，即f(-x,-y)=-f(x,y)，則口f(x,y)d=0；若f(x,y)關(guān)于x,y為偶函D數(shù)，則fff(x,y)dc=2fff(x,y陰，其中d3為D在上半平面部分；DD3如果D關(guān)于y=x對(duì)稱，即(x,y)eD時(shí)，有(y,x)eD，則fff(x,y)de=fff(y,x)doDD5、計(jì)算：fff(x,y)dxdyfff(x,y)dxdy=fbdx卜2(x)f(x,y)dya竹(x)D0(y)x

12、(y)12cyd丿fff(x,y)dxdy=fddyf02(y)f(x,y)d0(y)x(y)12cyd丿極坐標(biāo)精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔P(0)Pa0pJJJf(x,y)dxdy=J卩dofp2(0)f(pcos0,psin0)pdpaP1(0)D1(二)三重積分1、定義：JJJf(x,y,z)dv=limXf(1、kkkQ0kkkk=12、性質(zhì)：3、計(jì)算：直角坐標(biāo)12、性質(zhì)：3、計(jì)算：直角坐標(biāo)1)JJJf(x,y,z)dv=JJdxdyJz2(x,y)f(x,y,z)dzQDz1(x,y)JJJf(x,y,z)dv=JbdzJJf(x,y,z)dxdyQaDZ“先一后二”“先二后一”

13、2)柱面坐標(biāo)x=pcos0y=Psin0f(x,y,z)dv=f(Pcos0,Psin0,z)PdPd0dzQQ球面坐標(biāo)x=rsin申cos0y=rsin申sin0z=rcos申V,JJJf(x,y,z)dv=JJJf(rsin申cos0,rsin申sin0,rcos申)r2sin申drd申d0QQ三）應(yīng)用曲面S:z=f（x，y曲面S:z=f（x，y）,（x，y）eD的面積：Acxcy第十一章曲線積分與曲面積分(一)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1、定義：Jf(x，y)ds=lim另f(匚,n,)-A1、l九to.,iiii=12、1）2、1）2）性質(zhì)：If(x,y)+p(x,y)ds=aff(x,y)ds

14、+pfg(x,y)ds.LLLJf(x,y)ds=Jf(x,y)ds+Jf(x,y)ds.(L=L+L).LL1L2123)在L上，若f(x,y)g(X,y)，則Jf(x,y)dsfg(x,y)dsLL4）ds二1（l為曲線弧L的長(zhǎng)度）3、計(jì)算：x=9(t),設(shè)f（x,y）在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為1(at0設(shè)f（x,y）在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為1其中P(t)，屮(t)在a,卩上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且02(t)+屮2(t)豐0，則Jf(x,y)ds=J0f9(t)，屮(t)j02(t)+屮S(t)dt,(a0)La(二)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1、定義設(shè)L為xoy面內(nèi)從A到

15、B的一條有向光滑弧函數(shù)P(x,y)Q(x,y)在L上有界定義JP(x,y)dx=lim刀P憶,n)Axkkk，L入t07,k=1JQ(x,y)dy=lim工Q憶,n)AyL0kkkk=1向量形式：JF-dr=fP(x,y)dx+Q(x,y)dyLL2、1)2、1)2)性質(zhì)：JaF(x,y)-dr+pF(x,y)-dr=ajF(x,y)-dr+pfF(x,y)-dr；L12L1L2JF(x,y)dr=JF(x,y)-dr+JF(x,y)-dr；LLiL2，3)用l-表示l的反向弧，則fF(x，y)-dr二F(x，y)-drL-L3、計(jì)算：設(shè)P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定義且連續(xù)，

16、L的參數(shù)方程為x=屮(t),0nn=1nTg1）定義：limSn=S存在；nTg精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔2)3)工u收斂o2)3)TOC o 1-5 h znn=1比較審斂法：另u,另V為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且um4)nnn=1n=1收斂；若存在正整數(shù)m，當(dāng)nm時(shí)，u工kv收斂；若存在正整數(shù)m，當(dāng)nm時(shí)，u工kvnnnnnnn=1n=1而另V發(fā)散，則另u發(fā)散.nnn=1n=15)比較法的極限形式：工為vn5)比較法的極限形式：工為vn=1散.收斂，則另un=1工V為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若limV-=1(1或limV.=+8，而另V發(fā)散，則另u發(fā)T8vnsvnnn=1unn=1nn=1為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)為正項(xiàng)級(jí)

17、數(shù)，設(shè)lim=1，則當(dāng)11時(shí)，級(jí)數(shù)另u發(fā)散；當(dāng)1=1時(shí)，級(jí)數(shù)另u可能收斂也可能發(fā)散.TOC o 1-5 h znnn=1n=1收斂；則根值法：工un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)lim諷=1，則當(dāng)11時(shí)，級(jí)數(shù)另u發(fā)散；當(dāng)1=1時(shí)，級(jí)數(shù)另u可能收斂也可能發(fā)散.nnn=1n=1極限審斂法：工u為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若limn-un或limn-un=+g，則級(jí)數(shù)工unnfgnnfgnnn=1n=1發(fā)散；若存在p1，使得limnp-u=1(11收斂，p1發(fā)散，p1nuu(n=n+1n1,2,3,)，二)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、定義：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)另u(x)nn=1收斂域，收斂半徑，和函數(shù)；8工axn2、冪級(jí)數(shù)：nn=0收斂半徑的求法：lim

18、nT8an+1an，則收斂半徑R廠3、泰勒級(jí)數(shù)f(X)=n=0云f(n)(%)(X-X)nn!01,7p0,+8p=+8.f(n+1)(&)limR(x)=lim(x一x)n+1nT8nnT8(n+1)!0=07)精品文檔7)精品文檔精品文檔展開(kāi)步驟：（直接展開(kāi)法）1)求出f(n)(x),n=1,2,3,；2)求出f(n)(x0),n=0,1,2,；3)f(n)(xo)n!3)4)驗(yàn)證limR(x)=limnnTgnTgf(n+嘰g)(n+1)!(x-xo)n+1=0是否成立。間接展開(kāi)法：（利用已知函數(shù)的展開(kāi)式）g1ex=Yxn,xe（-g，+g）；n!；n=01)2)g1sinx=Y(-1)n+1x2n+1,xe(-g，+g)(2n+1)!；n=03)g1COSx=Y(-1)n+1x2n,xe(-g,+g)(W；n=04)1=Yxn,xe(-1,1).1-x；n=05)1=Y(-1)nxn,xe(