試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)北京市2025年高二第二次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合A=?2，0A．0 B．1 C．0，1 2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是2,1，則z=A．2+i B．?1+2i3．sin30°cosA．14 B．34 C．124．已知向量a=1，2，b=A．?4 B．?1 C．15．已知函數(shù)fx=?x+A．-2 B．-1 C．06．命題“?x∈RA．?x∈RC．?x∈R7．若tanα=?3，則角A．π4 B．π3 C．2π8．已知函數(shù)y=f(x)A．0 B．1 C．2 D．39．設(shè)a=log24,A．b<a<1 B．a(chǎn)<b10．不等式x(x+A．{x∣0C．{x∣x<0或x11．已知a，b∈R，則“a>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．cos20°cosA．12 B．22 C．313．北京中軸線縱貫北京老城中心，北起鐘鼓樓，南至永定門，途經(jīng)多處著名景點(diǎn)，展現(xiàn)了中國(guó)傳統(tǒng)都城規(guī)劃理念及“中”“和”哲學(xué)思想的深刻內(nèi)涵．為傳播北京中軸線文化，某社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組準(zhǔn)備從北京中軸線上的萬(wàn)寧橋、景山、故宮和天安門4個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選取2個(gè)景點(diǎn)做策劃方案，則選取的2個(gè)景點(diǎn)包含故宮的概率是（

）A．14 B．13 C．1214．已知向量a,b滿足a=3，b=A．13 B．14 C．1515．空氣質(zhì)量指數(shù)（簡(jiǎn)稱AQI）反映了空氣質(zhì)量的狀況，空氣質(zhì)量等級(jí)劃分如下：AQIAQI≤50100150200AQI>空氣質(zhì)量等級(jí)優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染下圖是某?？茖W(xué)興趣小組根據(jù)10月8日至27日測(cè)得的AQI繪制的折線圖：

根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（

）A．10月8日至27日的空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)的天數(shù)為10B．10月8日至27日的AQI的極差小于150C．10月8日至27日的AQI的中位數(shù)是17日的AQID．10月8日至27日的AQI逐漸增大16．在△ABC中，a=2A．22 B．23 C．417．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C

A．2 B．4 C．6 D．1018．某市居民自來(lái)水水價(jià)實(shí)行階梯水價(jià)制度，用水銷售價(jià)格表如下：階梯戶年用水量m水價(jià)（元/立方米）第一階梯0-180（含）5第二階梯181~260（含）7第三階梯260以上9根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若某戶居民自來(lái)水年用水量為110mB．若某戶居民自來(lái)水年用水量為190mC．若某戶居民自來(lái)水年繳費(fèi)為700元，則該戶自來(lái)水年用水量在181m3至D．若某戶居民自來(lái)水年繳費(fèi)為970元，則該戶自來(lái)水年用水量在181m3至二、填空題19．已知函數(shù)fx=x，則f20．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶5次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲86867乙589310則甲運(yùn)動(dòng)員命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)是；記甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員命中環(huán)數(shù)的方差分別是s甲2和s乙2，則21．如圖是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形組成的蜂巢圖形，其中正六邊形的頂點(diǎn)稱為“晶格點(diǎn)”，若四個(gè)不同的點(diǎn)A，B，給出下列三個(gè)結(jié)論：①AB②AB③CD的最大值為2其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題22．已知函數(shù)f((1)求fx(2)求fx的最大值，并寫出fx取得最大值時(shí)23．閱讀下面題目及其解答過(guò)程.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，(1)求證：EF//平面

(2)求證：AE⊥平面解：（1）在△DPC中，E所以_____①_______.又_____②_____，PC?平面所以EF//平面（2）因?yàn)樵凇鰽DP中，P因?yàn)榈酌鍭BCD因?yàn)镻A⊥平面所以_________④_________.又因?yàn)镻A所以___________⑤___________.又AE?平面所以___________⑥___________.又因?yàn)镻D所以AE⊥平面空格序號(hào)選項(xiàng)答案①A．EB．E②A．EF?B．EF?③A．AB．B④A．PB．P⑤A．BC⊥B．CD⊥⑥A．BB．C24．已知函數(shù)fx(1)求證：fx(2)當(dāng)x>0時(shí)，求25．給定正整數(shù)n≥3，按照一定順序排列的向量x1,y給出兩個(gè)性質(zhì)：①x1,y②已知向量集合T=1,0,0,1,0,(1)當(dāng)n=3時(shí)，分別判斷向量序列A:(2)（i）當(dāng)n=3時(shí)，寫出一個(gè)同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②的向量序列（ii）當(dāng)n=5時(shí)，若向量4,1,4,答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《北京市2025年高二第二次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案CABDCACBDB題號(hào)1112131415161718答案CBCAABBD1．C【分析】由集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)锳=-2故選：C.2．A【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何表示即可得.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是2,1，所以故選：A.3．B【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算得解.【詳解】依題意，sin30故選：B4．D【分析】本題利用向量平行的坐標(biāo)性質(zhì)列出等式即可求解．【詳解】根據(jù)a=x1若a//b，則即1×m=故選：D．5．C【分析】數(shù)形結(jié)合，畫出函數(shù)fx【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)fx

由圖可知，fx的最小值是f故選：C6．A【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，即可求得答案.【詳解】命題“?x即?x故選：A7．C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可確定答案.【詳解】由于tanπ故tanα=?3，則角故選：C8．B【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出直線y=【詳解】由給定的圖象知，直線y=?3所以方程f(故選：B9．D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的概念計(jì)算出a，根據(jù)負(fù)指數(shù)冪的概念計(jì)算出b，從而可以比較大小．【詳解】a=∴b<故選：D．10．B【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可.【詳解】解不等式x(x+所以不等式x(x+故選：B11．C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x3的定義域?yàn)镽故y=x3在R上單調(diào)遞增，則由a由a3>b3也可推出a>故選：C.12．B【分析】利用兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】由cos20故選：B.13．C【分析】基本事件總數(shù)n=C4【詳解】在4個(gè)著名景點(diǎn)中隨機(jī)選擇2個(gè)景點(diǎn)，總的選法有：C4其中包含故宮的有：C1則概率P=故選：C．14．A【分析】根據(jù)向量點(diǎn)積的概念，向量點(diǎn)積公式為a→【詳解】已知|a由向量點(diǎn)積公式a→?b將|a得到：cosθ故選：A.15．A【分析】根據(jù)圖表信息對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A，根據(jù)圖表信息，10月8日至27日的空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)的天數(shù)為10，所以A正確.選項(xiàng)B，根據(jù)圖表信息，10月8日至27日的AQI的最大值大于200，最小值在20左右，所以極差大于150，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，根據(jù)圖表信息，10月8日至27日的AQI數(shù)值共有20個(gè)，其中位數(shù)應(yīng)是AQI數(shù)值按大小順序排列后中間兩個(gè)數(shù)的平均值，所以C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，根據(jù)圖表信息，10月8日至27日的AQI是波動(dòng)的，無(wú)逐漸增大的趨勢(shì)，所以D錯(cuò)誤.故選：A.16．B【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求解即可.【詳解】依題意，b=故選：B17．B【分析】利用棱錐的體積公式求解即可.【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD?A1B1C所以四棱錐D1?A故選：B18．D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的概念即可逐一判斷.【詳解】若某戶居民自來(lái)水年用水量為110m3，則該戶自來(lái)水年繳費(fèi)為若某戶居民自來(lái)水年用水量為190m3，則該戶自來(lái)水年繳費(fèi)為對(duì)于第一階梯，用戶繳費(fèi)的最大值為180×5=900元，而第二階梯用戶繳費(fèi)必然大于900元，所以若某戶居民自來(lái)水年繳費(fèi)為由C可知：970元費(fèi)用必在第二階梯或以上，設(shè)用水量為x，則180×5+x?故選：D19．[0,【分析】根據(jù)偶數(shù)次方根號(hào)里的數(shù)大于等于零即可得出答案.【詳解】解：由函數(shù)fx=x所以fx的定義域是[故答案為：[020．7＜【分析】利用給定數(shù)據(jù)求出平均數(shù)；再利用方差公式求出方差并比較大小.【詳解】甲運(yùn)動(dòng)員命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)x甲乙運(yùn)動(dòng)員命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)x乙s甲s乙2=故答案為：7；<21．①②③【分析】本題可通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合蜂巢的圖形并利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)逐一分析三個(gè)結(jié)論．【詳解】①因?yàn)檎呅芜呴L(zhǎng)為1，由圖形可知，該六邊形最長(zhǎng)的對(duì)角線為2，A到B在豎直方向上間隔2個(gè)最長(zhǎng)對(duì)角線以及1個(gè)正六邊形邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的距離，最長(zhǎng)對(duì)角線AV故AB②建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，由|AB|可得B0,5，則AB=0,要使AB?AC最大，需要y最大，結(jié)合圖形，y的最大值可達(dá)到5（例如當(dāng)此時(shí)AB?A③同樣基于②建立的平面直角坐標(biāo)系，雖然C、D兩點(diǎn)異于A、B兩點(diǎn)，但因?yàn)閳D中蜂巢的對(duì)稱性，C、D兩點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的問(wèn)題仍可以等價(jià)為蜂巢中任意兩點(diǎn)間距離最遠(yuǎn)的問(wèn)題，為使得C、D兩點(diǎn)相距最遠(yuǎn)，兩點(diǎn)之間應(yīng)靠近邊界，根據(jù)對(duì)稱性，可假設(shè)C點(diǎn)位于原點(diǎn)A，此時(shí)根據(jù)對(duì)稱性只需要考慮D點(diǎn)位于y軸左邊即可，所以CD由圖觀察可見(jiàn)，離C點(diǎn)最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)應(yīng)是六邊形MN而對(duì)于正六邊形MNPQRS，其中QU⊥PR，U為PR中點(diǎn)，PU在正六邊形MNPQRS中，外邊界四點(diǎn)P、N、M、S離C點(diǎn)相對(duì)較遠(yuǎn)，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為M?3,2+1+P(?3?32,可知xP=xN,yP<yN，xS<x因CM=27、故答案為：①②③．22．(1)π(2)2，0（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)，利用余弦函數(shù)的周期公式求解.（2）利用余弦函數(shù)的最值及取最值的條件求解.【詳解】（1）函數(shù)f(所以f(x)（2）函數(shù)f(x)=2cos2當(dāng)2x=2kπ所以f(x)23．(1)①A，②A(2)③A，④A，⑤B，⑥B【分析】根據(jù)題目條件逐項(xiàng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整即可.【詳解】（1）①線線平行，即EF②直線在平面外，即EF?平面故選：A，A.（2）③等腰三角形底邊上“三線合一”，即AE④直線垂直于平面，則直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線，即PA⑤直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線垂直于這個(gè)平面，即CD⊥平面⑥直線垂直于平面，則直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線，即CD故選：A，A，B，B.24．(1)證明見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義即可得證；（2）利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）因fx=4對(duì)于任意x∈D，都有?x故fx（2）已知x>0，所以當(dāng)且僅當(dāng)4x=1所以當(dāng)x=1225．(1)A不滿足性質(zhì)①，B滿足性質(zhì)①(2)（i）S:1,【分析】（1）根據(jù)定義，結(jié)合給出的向量序列即可判斷；（2）根據(jù)定義，（i）任寫一個(gè)同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②的向量序列S即可，（ii）分情況討論向量4,1,【詳解】（1）根據(jù)性質(zhì)①，當(dāng)n=3時(shí)，向量序列首向量為1,對(duì)于向量序列A:1,1,對(duì)于向量序列B:1,1,1,綜上，A不滿足性質(zhì)①，B滿足性質(zhì)①.（2）（i）根據(jù)性質(zhì)①，當(dāng)n=3時(shí)，向量序列首向量為1,1，末向量為根據(jù)性質(zhì)②，當(dāng)n=3時(shí)，相鄰向量差即相鄰向量要么x增加1且y不變，要么x不變且