1、1、如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，AB=AE=2,FA=FE,AEF=45。線段CD的中點為P，線段AE的中點為M,求證：PM/平面BCE；求直線CF與平面BCE所成角的正切值.D解:（1）取AB的中點為N，連MN,PN，則MN/EB,PN/BCP面PMN面PMN面EBC,PM/平面BCE5分(2)先證出FE丄面EBC，8分,FCE為直線CF與平面BCE所成角，11分tan,FCEtan,FCEFEEC14分(第19題(第19題)二ADBF就是直既BD與平CBE所成角.12分TOC o 1-5 h z2、己知多面體ABCDE中，DE丄

2、平面ACD,AB/DE，AC=AD=CD=DE=2,AB=1，O為CD的中點.b求證：AO丄平面CDE；A求直線BD與平面CBE所成角的正弦值解：(I)證明VAC=ADt。為CD的中點(A4。丄CD.又DEX-平面ACD.AOcz面二衛(wèi)。丄DE,AOJL平而CDE.”(ID點廠連接BF、DF,曲已知可得，AB/=丄DE,2在&CDE中，OF打DE艮OF=二DE,2A四邊形ABFO是平行四邊形.BF/AO.由D知RF丄平WiCDE,*.*CD=DE:.DF丄:.DF丄平面CBE.在翻OF中，DF4i,劭在翻OF中，DF4i,劭=氐“SI平即立線AD與平CBE所成軸的正弦值為（此題證憶DBF為所求

3、角.方法較多,酌情給井3、如圖，在厶ABC中，C=90,AC=BC=3a，點P在AB上，PE/BC交AC于E，PF/AC交BC于F.沿PE將厶APE翻折成APE，使平面APE丄平面ABC；沿PF將厶BPF翻折成BPF,使平面BPF丄平面ABC.（1）求證：BC/平面APE；（2）若AP=2PB，求二面角APCE的平面角的正切值.TOC o 1-5 h zCEAAB，CEFBPTOC o 1-5 h z解：（1）因為FC/PE，F(xiàn)C平面APE，所以FC/平面APE.因為平面APE丄平面PEC，且AE丄PE，所以AE丄平面ABC.2分同理，BF丄平面ABC，所以BfF/AE，從而BfF/平面APE

4、.-4分所以平面B1CF/平面APE，從而BC/平面APE.-6分（2）因為AC=BC=3a，AP=2BP，所以CE=a，EA2a，PE=2a，PC=5a.過E作EM丄PC，垂足為M,連結AM.BCMEAFBP（第20題）由（1）知AE丄平面ABC，可得AE丄PC，所以PC丄面AEM，所以AfM丄PC.12分所以ZA:ME即為所求二面角A*PC-E12分25在RtAPCE中，求得EM=a,5所以tan,AE所以tan,AEEM515分4、如圖，DA丄平面ABC,ED丄平面BCD,DE=DA=AB=AC.BAC=1200,M為BC中點.i八、E求直線EM與平面BCD所成角的正弦值；P為線段DM上

5、一點，且AP丄DM,求證：AP/DE.DB解:(1)ED丄平面BCD，DM為EM在平面BCD上的射影，EMD為EM與平面BCD所成角.DA丄平面ABC，DA丄AB,DA丄AC，設ABa，又DAAB=AC，DC=DB=在厶ABC中，YBAC120，BC=3a,又-:M為BC中點，DM丄BC，BM=2BCa，DM5.5分222在RtEDM中，EM=JDE2+DM2=3a,2DEa2smEMD.EM33a2又DA丄平面ABC，11分13分14分(2)ABAC，M為BC中點，BC丄AM.又DA丄平面ABC，11分13分14分9分又APu平面DAM，BC丄AP，又AP丄DM，AP丄平面BCD.又ED丄平

6、面BCD，AP/DE.5、如圖，已知ABCD是邊長為1的正方形，AF丄平面ABCD，CEAF,CE=kAF(尢1).D證明：BD丄EF；D若AF=1，且直線BE與平面ACE所成角的正弦值為3102,求的值.解：(1)連結BD、AC,交點為O.TABCD是正方形:.BD丄AC2分TOC o 1-5 h zAF丄平面ABCD.AF丄BD4分.BD丄平面ACEF6分.BD丄EF7分(2)連結OE,由(1)知，BD丄平面ACEF,所以ZBEO即為直線BE與平面ACE所成的角.10分TAF丄平面ABCD,CEAF,.CE丄平面ABCD,CE丄BC,2TBC=1,AF=1,則CE=,BE=1+,BO,2T

7、OC o 1-5 h zBO232.RtABEO中，sinZBEO，,.13分BE21+2104因為1，解得，.15分36、如圖，在幾何體中，勒丄平面ABC,AB丄阮,CCJ勒,AB,BC,勒=2,A1ECC，1,D,E分別是AB,AAA1E11求證：BC平面CDE；求二面角E-DC-A的平面角的正切值.解：(1)連接ACR1R交EC于點F,由題意知四邊形ACCR1RE是矩形，則F是ACR1R的中點,連接DF,TD是AB的中點，：D卩是厶ABCR1R的中位線，.BCR1R/DF,4分BCR1RW平面EDC,DFu平面EDC,?.BCR1R/平面CDE.7分作作AH丄直線CD,垂足為H,連接HE

8、,AARR丄平面ABC,AARR丄DC,CD丄平面AHE,CD丄EH,AHE是二面角E-CD-A的平面角.11分D是AB的中點，AH等于點B到CD的距離，25在厶BCD中，求得：AH=,AE在AAEH中，騷AHE=齟即所求二面角的正切值為7、如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于RtMBC所在平面，且PA=AB=AC,求證：PA/平面QBC；TOC o 1-5 h z若PQ丄平面QBC,求CQ與平面PBC所成角的正弦值.QCA解：(1)證明：過點Q作QD丄BC于點D,平面QBC丄平面ABC,.：QD丄平面ABC.2分B又PA丄平面ABC:.QD/PA,2分又QD平面QBCPA平面QBC6分(2

9、)PQ丄平面QBC.PQB=PQC=90，又PB二PC,PQ二PQ.,PQB,PQC.BQ二CQ8分.點D是BC的中點，連結AD，則AD丄BCAD丄平面QBCPQ/AD,AD丄QD四邊形PADQ是矩形10分設PA=AB=AC=2a得：PQ=AD=2a,PD=6a又BC丄PA,BC丄PQ,BC丄平面PADQ,從而平面PBC丄平面PADQ,過Q作QH丄PD于點H,貝y：QH丄平面PBCZQCH是CQ與平面PBC所成角12分小2，2a23QH=a,CQ=BQ-6a63sinZsinZQCH=QHCQ2CQ與平面PBC所成角的正弦值為314分8、如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，ABC是等腰直角三角形

10、，ZACB=90。，側棱111AA=2,D，E分別為CC與A”的中點，點E在平面ABD上的射影是AABD的重心.Ai(1)求證：DE/平面ACBAiCi求A1B與平面ABD所成角的正弦值CiBi解iX解iX)取詡蟲中點F“匕蹲更凡曲,卄，一2分r1r1由口知可得嚴.寧宀丈=W所臥四邊羽DEFC為平訂州邊形4分即EDHCF陰為EDeFCcY：面川it作E丹丄DF于比連結旳.CCtCCt平面平ffljacji*CC|AC=iCyAFFiiAB1CF,乂CKfCDmUCF.CDu平面DEF匚；ASAC=iCyAFFiiAB1CF,乂CKfCDmUCF.CDu平面DEF匚；AS丄平面DEFC.EM匸T

11、血DE押C,所以兇出丄EH*乂EH丄DF.DFnAB左F艮OFu叩面所以E丄平i砒RD、所此:BH為卡占峙平面用*D所成燉的耶面角，11分H為MMD的重心，在AD/TF中衛(wèi)嚴二冊FD土於=i所卿FD二込HF一旦EP-=33斜$inNEAH=EHEB所糾AXB與叩面ABD斫戰(zhàn)需的證弦値為9、如圖，在側棱垂直于底面的三棱柱ABC人店心中,ZB=90,D為棱BB1的中點。求證：面DA1C丄面AA1C1C；AAc若人2，求二面角AA,DC的大小。底面ABC為等腰直角三角形,A1AB底面ABC為等腰直角三角形,A11il1!-JillJ111!.1AMBfiir(i7r蠱比jlctf：nJhJIft.T

12、OC o 1-5 h zfh比扯已.打於E：.血伯+右41冊肉訕常ilB.ir-4f71!.船.4J：gd碌i中皿亠竺竺=如.11PGJ敲J帀匚柜出凸巴帝中A-*SH色甘TAJUXWJMO1j,BliH1宀“f-m滬14if10、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD,AB/CD,ZDAB=90,PA=AD=DC=1,AB=2,M為PB的中點.一P證明：MC平面PAD；P求直線MC與平面PAC所成角的余弦值.m11、如圖在梯形ABCD中,AB/DC,E、F是線段AB上的兩點，且DE丄AB,CF丄AB,CF二3,EF二FB二2,G為FB的中點，設AE=t,現(xiàn)將山DE,BCF分別沿DE,

13、CF折起，使A、B兩點重合于點P,得到多面體PEFCD.(1)求證：PD平面EGC；(2)當EG丄面PFC時，求DG與平面DCPED所成角的正切值.CEFAEFGBGPF證明：連接DF交EC于點M，連接MGFM,G為中點PD/MG又PD9面EGCMG,面EGC.PD/平面EGC5分當EG丄面PFC時，EG丄PF又G為FB的中點,EFEP2，t27分過點G在平面PEF中作EP的垂線，垂足為N,連接DN.DE丄面PEF面PED丄面PEFGN丄面PEDTOC o 1-5 h zGDN即為DG與平面PED所成角.11分3217易求得GN2,DN2，所以DG與平面PED所成角的正切值為7.14分厶厶/1

14、2、如圖，在四邊形ABCD中，ABAD4，BCCD7,點E為線段AD上的一點.現(xiàn)將ADCE沿線段EC翻折到PAC，使得平面PAC丄平面ABCE，連接PA,PB.(1)證明：BD丄平面PAC；若BAD60。，且點E為線段AD的中點，求直線PE與平面ABCE所成角的正弦值.PD解:(1)連接AC，BD父于點O，在四邊形ABCD中，BAABAD4，BCCD7.AABC二AADCDACBAC,.AC丄BD又平面PAC丄平面ABCE，且平面PACA平面ABCE=AC.BD丄平面PAC6分(2)如圖，過點P作AC的垂線，垂足為H，連接EH，EC并取AO中點F，連接EF，平面PAC丄平面ABCE，且平面PA

15、CA平面ABCE=AC，PH丄ACPH丄平面ABCE，.:PEH即為直線PE與平面ABCE的所成角，由(I)可知，AC丄BD，且AO23，CO3，又PE2，PC7，設CHx，則有PH7x2，EHPE2PH2x23又F為AO的中點，在RtAEFH中，F(xiàn)H23一x，EF14由勾股定理得，(23x)2+1x23，解得x33，1125EH33,PH33EH3直線PE與平面ABCE的所成角的正弦值即sinZPEH旋二巧AA1C1C，B113、在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA=2,平面ABC丄平面ZAA1C1=ZBAC1=60，設AA1C1C，B1求證：BO丄平面AA1C1C；B求二面角B1AC1A1