1、 復變函數(shù) 與積分變換 主講：胡良根寧波大學理學院 二零一零年十月 大學數(shù)學多媒體課件2022/10/151參考用書 復變函數(shù)與積分變換學習輔導與習題全解, 華中科大, 高等教育出版社 2022/10/152 目 錄第二章 解析函數(shù)第三章 復變函數(shù)的積分第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示第五章 留數(shù)及其應用第六章 傅立葉變換第七章 拉普拉斯變換第一章 復數(shù)與復變函數(shù)2022/10/153 第三章 復變函數(shù)的積分內容提要：在微積分中，當引入實變量函數(shù)的積分后，可以解決很多的重要的問題，在復變函數(shù)中也一樣，當引入復變函數(shù)的積分后，也可以解決很多理論及實際問題如有了積分可以證明一個區(qū)域上有導數(shù)的函數(shù)就有無窮

2、多階導數(shù)，可以將一般的解析函數(shù)分解成一些最簡單的函數(shù)的迭加，這就給研究解析函數(shù)的性質提供了強有力的工具，今后還可以看出用復變函數(shù)的積分給計算某些定積分帶來很大的方便本章內容與實變量二元函數(shù)有緊密關系，特別是二元函數(shù)的第二類曲線積分的概念、性質和計算方法，全微分及積分與的問題，格林公式等 2022/10/154 第三章 復變函數(shù)的積分3.1 復積分的概念3.2 柯西積分定理3.3 柯西積分公式3.4 解析函數(shù)的高階導數(shù)本章小結 思考題2022/10/155第一節(jié) 解析函數(shù)的概念一、積分的定義 有向曲線：設C為平面給定的一條光滑（或按段光滑）的曲線，如果選 定C的兩個可能方向的一個作為正方向（或正

3、向），則我們就把C稱為有向曲線與曲線C反方向的曲線記為 定義1： 簡單閉曲線正向：當曲線上的點P順此方向前進時，鄰近P點的曲線內部始終位于P點的左方，這時曲線方向稱為正方向 C為區(qū)域D內起點為A終點為B的一條有向光滑的簡單曲線 分2022/10/1562022/10/157二、積分存在條件及其計算方法 定理1：2022/10/158證明：注意：2022/10/159法一計算這種計算復積分方法在已知曲線C方程的條件下適合2022/10/1510例1解：注意：沿不同的路徑積分的結果是相同的，即積分與路徑無關， 2022/10/1511例2解：綜上所述：這個積分結果以后常用，它的特點是與積分路線圓周

4、的中心和半徑無關 2022/10/1512例3解：由此題可以看出，盡管起點、終點都一樣，但由于沿不同的曲線積分，所以積分值也是不同的2022/10/1513三、復積分的性質 因為復積分的實部和虛部都是曲線積分，因此，曲線積分的一些基本性質對復積分也成立 2022/10/1514證明性質（5）： （估計不等式） 2022/10/1515例4解：2022/10/1516例5證明：2022/10/1517第二節(jié) 柯西積分定理 從上一節(jié)所舉的例子來看: 的任何路線積分值都相同，換句話說，積分是與路徑無關的 由此可猜想：積分的值與路徑無關或沿閉曲線積分值為零的條件與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關究

5、竟關系如何，下面我們討論此問題 2022/10/1518一、柯西積分定理 定理2：（柯西古薩基本積分定理） 柯西積分定理表明，函數(shù)滿足一定的條件，則積分與路徑無關 2022/10/1519證明：2022/10/1520說明：2022/10/1521定理3：證明：依柯西-古薩基本定理2022/10/1522例6解：2022/10/1523二、復合閉路定理 定理4：（閉路變形定理） 證明： 一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不會因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)的變形而改變它值這事實稱閉路變形定理 2022/10/1524推論：（復合閉路定理） 2022/10/1525例1解：2022/10/1526三、原函數(shù)與不

6、定積分 定理5：1積分上限函數(shù) 2022/10/1527定理6：證明：2022/10/15282022/10/15292原函數(shù)的概念 結論： 2022/10/1530定理7：證明：類似于微積分學中的基本定理和牛頓萊布尼茲公式 有了定理7，復變函數(shù)的積分就可用跟實變量函數(shù)微積分學中類似的方法計算，分部積分法，換元積分法均可用在復變函數(shù)積分中 2022/10/1531例2解：例3解：2022/10/1532第三節(jié) 柯西積分公式 一、柯西積分公式 2022/10/15332022/10/1534定理8：(柯西積分公式） 證明：2022/10/1535說明：推論1：（平均值公式） 推論2：2022/1

7、0/1536例1計算下列積分解：例22022/10/1537證明：2022/10/1538例3計算下列積分 解：2022/10/1539二、最大模原理 定理9：（最大模原理） 這個定理表明一個解析函數(shù)的模，在區(qū)域內部的任何一點都達不到最大值，除非這個函數(shù)恒等于常數(shù)這是解析函數(shù)一個非常重要的原理 推論1：推論2：說明：最大模原理不僅是復變函數(shù)論一個很重要的原理，而且在實際上也是很有用的原理，它在流體力學上反映了平面穩(wěn)定流動在無源無旋的區(qū)域內流體的最大值不能在區(qū)域內達到，而只能在邊界上達到，除非它是等速流體 2022/10/1540例3證明：2022/10/1541第四節(jié) 解析函數(shù)的高階導數(shù) 一、

8、解析函數(shù)高階導數(shù)公式 一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù)，而且有各高階導數(shù)，它的值也可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示這一點跟實變函數(shù)完全不同，一個實變函數(shù)在某一區(qū)間上可導，它的導數(shù)在這個區(qū)間上是否連續(xù)也不一定 ，更不要說有高階導數(shù)存在了下面我們討論解析函數(shù)的各階導數(shù)的解析問題 再繼續(xù)又可得： 這是求導與積分兩種運算允許交換的條件下推出的，這樣作是否可行呢？我們對此加以討論 2022/10/1542定理10：證明：2022/10/15432022/10/1544說明：（1）此公式可理解為把柯西公式 （2）高階導數(shù)公式的作用不在于通過積分來求導，而在于通過求導來積分，即 2022/10/1545例1解：2022/10/15462022/10/1547例2解：202