1、第三節(jié) 容斥原理知識(shí)提要： 1.容斥原理：當(dāng)兩個(gè)（或幾個(gè)）計(jì)數(shù)部分有重復(fù)時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中減去重復(fù)部分。這種解題方法概括為一般的原理即為容斥原理。 2.容斥原理一：如下圖所示，如果要計(jì)算三部分的總數(shù)，直接計(jì)算AB就會(huì)算多了，而多算的正好是的部分，只要把多算的減掉就可以了。公式：A、B總數(shù)ABA、B重疊概括為：?jiǎn)渭?、雙減。 A B 3.容斥原理二：如下圖所示，在計(jì)算ABC時(shí)，有一些部分被重復(fù)計(jì)算了：、被計(jì)算了兩次，而被計(jì)算了三次。因此需要把重復(fù)計(jì)算的去掉。去掉A、B重疊，B、C重疊和A、C重疊的部分后，、重復(fù)計(jì)算的一次去掉了，但被去掉了三次，還需要補(bǔ)上一次。 公式：A、B、C的總

2、數(shù)ABCA、B重疊B、C重疊C、A重疊A、B、C重疊概括為：?jiǎn)渭?、雙減、三再加。 A B C 4.文氏圖是解決容斥問(wèn)題最重要的方法。例題1例題1（1）實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班，參加語(yǔ)文興趣小組的有28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人，有12人兩個(gè)小組都參加這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組？ 練習(xí)1：（1）智考學(xué)校四年級(jí)學(xué)生中，有56人參加了英語(yǔ)競(jìng)賽，有124人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，既參加英語(yǔ)競(jìng)賽又參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有22人，那么參加英語(yǔ)競(jìng)賽和數(shù)學(xué)競(jìng)賽的共有多少人？例題2例題2（1）對(duì)全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會(huì)游泳的有20人，會(huì)打籃球的有25人兩項(xiàng)都會(huì)的有10人，兩項(xiàng)都不會(huì)的有9人這個(gè)班一共有多少人？（2）47名

3、學(xué)生參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文考試，其中語(yǔ)文得分95分以上的14人，數(shù)學(xué)得分95分以上的21人，兩門(mén)都不在95分以上的有22人問(wèn)：兩門(mén)都在95分以上的有多少人？練習(xí)2：（1）有100位旅客，其中有10人既不懂英語(yǔ)又不懂俄語(yǔ)，有75人懂英語(yǔ)，83人懂俄語(yǔ)問(wèn)既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有多少人？（2）四(一)班有48名學(xué)生，在一節(jié)自習(xí)課上，寫(xiě)完語(yǔ)文作業(yè)的有30人，寫(xiě)完數(shù)學(xué)作業(yè)的有20人，語(yǔ)文數(shù)學(xué)都沒(méi)寫(xiě)完的有6人 問(wèn)語(yǔ)文數(shù)學(xué)都寫(xiě)完的有多少人？例題3例題3一個(gè)班48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語(yǔ)文作業(yè)沒(méi)完成數(shù)學(xué)作業(yè)；一種是完成數(shù)學(xué)作業(yè)沒(méi)完成語(yǔ)文作業(yè)；一種是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成了已知做完語(yǔ)文作業(yè)的有37人；做完數(shù)學(xué)作

4、業(yè)的有42人這些人中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有多少人？練習(xí)3：四年級(jí)科技活動(dòng)組共有63人在一次剪貼汽車(chē)模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車(chē)模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有34人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)問(wèn)：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？例題4例題4某班學(xué)生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人，手中有黃旗的共有26人，手中有藍(lán)旗的共有18人其中手中有紅、黃、藍(lán)三種小旗的有6人而手中只有紅、黃兩種小旗的有9人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有4人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有3人，那么這個(gè)班共有多少人？練習(xí)4：衛(wèi)生部對(duì)120種

5、食物是否含有維生素A、C、E進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：含維生素A的有62種，含維生素C的有90種，含維生素E的有68種，同時(shí)含維生素A和C的有48種，同時(shí)含維生素A和E的有36種，同時(shí)含維生素C和E的有50種，同時(shí)含這三種維生素的有25種請(qǐng)問(wèn)這三種維生素都不含的食物有多少種？例題5例題51100的自然數(shù)中，既不能被2整除也不能被3整除的數(shù)共有多少個(gè)？練習(xí)5：11000的自然數(shù)中，不能被5和7整除的數(shù)共有多少個(gè)？例題6例題6全班有25個(gè)學(xué)生，其中17人會(huì)騎自行車(chē)，13人會(huì)游泳，8人會(huì)滑冰，這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒(méi)有人全會(huì)，至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有6個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，那么

6、，（1） 數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾個(gè)學(xué)生？（2） 有幾個(gè)人既會(huì)游泳，又會(huì)滑冰？練習(xí)6：五年級(jí)一班共有36人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有A、B、C、D、E五個(gè)小組，若參加A組的有15人，參加B組的人數(shù)僅次于A組，參加C組、D組的人數(shù)相同，參加E組的人數(shù)最少，只有4人那么，參加B組的有多少人？例題7例題7有2000盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線(xiàn)開(kāi)關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序編號(hào)為1，2，3，2000，然后將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈線(xiàn)拉一下，再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈線(xiàn)拉一下，最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈線(xiàn)拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？課后鞏固課后鞏固1、芳草地小學(xué)四年級(jí)有58人學(xué)鋼琴，43人學(xué)畫(huà)畫(huà)，37人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫(huà)畫(huà)

7、，問(wèn)只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫(huà)畫(huà)的分別有多少人？ 2、科技活動(dòng)小組有55人在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有40人，制作好一艘艦艇的同學(xué)有32人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作問(wèn)兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)有多少人？3、光明小學(xué)組織棋類(lèi)比賽，分成圍棋、中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)行，參加圍棋比賽的有42人，參加中國(guó)象棋比賽的有55人，參加國(guó)際象棋比賽的有33人，同時(shí)參加了圍棋和中國(guó)象棋比賽的有18人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的有10人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽的有9人，其中三種棋賽都參加的有5人，問(wèn)參加棋類(lèi)比賽的共有多少人？4、某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽圾120名男生,80名女生,參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有120名女生,80名男生,已知該?？偣灿?60名學(xué)生參加競(jìng)賽,其中75名男生兩科競(jìng)賽都參加了,那么參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒(méi)