1、PAGE15導(dǎo)數(shù)思想在高考試題中的體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的思想方法和基本理論有著廣泛的應(yīng)用，除對中學(xué)數(shù)學(xué)有重要的指導(dǎo)作用外，也能在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題上起到居高臨下和以簡化繁的作用。本文對2022年數(shù)學(xué)高考試題中有關(guān)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決問題的試題進(jìn)行分析，看如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決中學(xué)數(shù)學(xué)中相關(guān)問題：如函數(shù)單調(diào)性、最值等函數(shù)問題；在掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上應(yīng)用導(dǎo)數(shù)作出特殊函數(shù)的圖象；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題的一般方法證明某些不等式的成立和解決數(shù)列的有關(guān)問題，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)所具有的幾何意義對切線相關(guān)問題及平行問題等幾何問題進(jìn)行了一些探討，并最終運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值。在我國現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)新教材中，導(dǎo)數(shù)處于一種特殊的地位，是高中數(shù)學(xué)知識的

2、一個重要交匯點(diǎn)，是聯(lián)系多個章節(jié)內(nèi)容以及解決相關(guān)問題的重要工具。在2022年各省高考試題中，我們不難發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)中是非常廣泛的，涉及到了中學(xué)數(shù)學(xué)的各個方面，具體如下：（一）在函數(shù)方面的應(yīng)用11函數(shù)單調(diào)性的討論函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識。通常用定義來判斷，但當(dāng)函數(shù)表達(dá)式較復(fù)雜時判斷正負(fù)有困難時選用導(dǎo)數(shù)就會很方便。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，只需求出，再考慮的正負(fù)即可。此方法簡單快捷而且適用面廣。江西卷12設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，則是的（B）充分不必要條件必要不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件安徽卷18設(shè)，令，討論在內(nèi)的單調(diào)性。解：根據(jù)求導(dǎo)法

3、則有，故，于是，當(dāng)時，當(dāng)時，故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)。陜西卷20設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)（II）當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r，求的單調(diào)減區(qū)間解：，令，得由，得或，又，時，由得；當(dāng)時，；當(dāng)時，由得，即當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為浙江卷22設(shè)，對任意實(shí)數(shù)，記（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解：由，得因?yàn)楫?dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是分析：這類求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題要比給出某個區(qū)間判斷函數(shù)的單調(diào)性復(fù)雜一些在這類題型中，首先對求導(dǎo)；再令或，通過解關(guān)于的不等式，即可得到的單調(diào)遞增（減）區(qū)間12函數(shù)的最值（極值）的求法最值（極值）問題是高中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)，也是一個難點(diǎn)它涉及到了中學(xué)數(shù)學(xué)

4、知識的各個方面，用導(dǎo)數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，也好掌握。一般地，函數(shù)閉區(qū)間a，b上可導(dǎo)，則在a，b上的最值求法：求函數(shù)在（a，b）上的駐點(diǎn)；計(jì)算在駐點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值，比較而知，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。江蘇卷13已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則_32_遼寧卷12已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當(dāng)時的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（C）A0是的極大值，也是的極大值B0是的極小值，也是的極小值C0是的極大值，但不是的極值D0是的極小值，但不是的極值天津卷20已知函數(shù)，其中當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值解：由于，以下分兩種情況討論（1）當(dāng)時，令

5、，得到，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：00遞減極小值遞增極大值遞減所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)函數(shù)在處取得極小值，且，函數(shù)在處取得極大值，且（2）當(dāng)時，令，得到，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：00遞增極大值遞減極小值遞增所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)函數(shù)在處取得極大值，且函數(shù)在處取得極小值，且分析：本小題考查兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。湖北卷20已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；解：（）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同，由題意，即由得：，或

6、（舍去）即有令，則于是當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為分析：這類題目解決的關(guān)鍵在于深刻理解并靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識，實(shí)質(zhì)是確定新構(gòu)造函數(shù)的最大值。（二）在不等式證明方面的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，將不等式的部分或者全部投射到函數(shù)上。直接或等價變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性或利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算來求出函數(shù)的最值，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，即轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)值的大小，或者函數(shù)值在給定的區(qū)間上恒成立等。江蘇卷9已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對于任意實(shí)數(shù)，有，則的最小值為（C）安徽卷18設(shè)，（）求證：當(dāng)時，恒有證

7、明：由知，的極小值于是由（）知，對一切，恒有從而當(dāng)時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)遞增所以當(dāng)時，即故當(dāng)時，恒有湖北卷20已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同（II）求證：（）證明：設(shè)，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當(dāng)時，有，即當(dāng)時，全國卷20設(shè)函數(shù)（）證明：的導(dǎo)數(shù)；（）若對所有都有，求的取值范圍解：（）的導(dǎo)數(shù)由于，故（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）（）令，則，（）若，當(dāng)時，故在上為增函數(shù)，所以，時，即（）若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時，即，與題設(shè)相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是浙江卷22設(shè)，對任意實(shí)數(shù)，記（II）求證：（）當(dāng)時

8、，對任意正實(shí)數(shù)成立；證明：（i）方法一：令，則，當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，所以在內(nèi)的最小值是故當(dāng)時，對任意正實(shí)數(shù)成立方法二：對任意固定的，令，則，由，得當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，取得最大值因此當(dāng)時，對任意正實(shí)數(shù)成立分析：這類題型主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)在不等式的證明中的應(yīng)用、以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力。當(dāng)不等式直接證明比較困難時可對不等式一邊作一變形，再構(gòu)造函數(shù)利用求導(dǎo)分析。（三）在數(shù)列方面的應(yīng)用數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個重要的部分，也是個難點(diǎn)。事實(shí)上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決數(shù)列的有關(guān)問題。廣東卷21已知函數(shù)，是方程的兩個根（），是

9、的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，（1）求的值；（2）證明：對任意的正整數(shù)，都有；解析：（1），是方程f=0的兩個根，；（2），=，有基本不等式可知（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），同，樣，（n=1,2,），（四）在解析幾何方面的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在解析幾何中應(yīng)用主要體現(xiàn)在求曲線的切線上。江西卷11設(shè)函數(shù)是上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為（B）分析：這道題可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線斜率全國卷二22已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：解：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即（2）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在，使于是，

10、若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實(shí)數(shù)根記，則當(dāng)變化時，變化情況如下表：000遞增極大值遞減極小值遞增由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時，方程最多有一個實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，解方程得，即方程只有兩個相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，解方程得，即方程只有兩個相異的實(shí)數(shù)根綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實(shí)數(shù)根，則即（五）在實(shí)際問題中的應(yīng)用北京卷19如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值I）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），

11、則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，解得則，其定義域?yàn)椋↖I）記，則令，得因?yàn)楫?dāng)時，；當(dāng)時，所以是的最大值因此，當(dāng)時，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為福建卷19某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件（）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關(guān)系式；（）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值解：（）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關(guān)系式為：（）令得或（不合題意，舍去），在兩側(cè)的值由正變負(fù)所以（1）當(dāng)即時，（2）當(dāng)即時，所以答：若，則當(dāng)每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當(dāng)每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）分析：在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時，一般是先求出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域。如果定義域是一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（一般初等函數(shù)在自己的定義域內(nèi)必可導(dǎo)），且此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)有最大（小）值，那么只要對函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個極值點(diǎn)時，立即可以斷定在這個極值點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大（?。┲?。如果定義域是閉區(qū)間，則必須對該點(diǎn)處的函數(shù)值與