1、 教材：季孝達等編數(shù)學物理方程 數(shù)學物理方程1 教材：季孝達等編數(shù)學物理方程 數(shù)學物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指從物理學及其它各門自然科學、技術科學中所導出的偏微分方程 數(shù)學物理方程廣泛用于研究自然界中的諸多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律，比如熱傳導，弦振動，氣體擴散等等.序 言2 數(shù)學物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指從物理學及其它科學、工程問題的求解一般流程實際問題數(shù)學物理模型數(shù)學方法學習基本原理，基本求解方法 隨著計算機的發(fā)展，數(shù)值方法已深入到物理、材料科學與加工、信息等各個領域。數(shù)值方法分析方法 本課僅限介紹數(shù)學模型的最基本的解析分析方法。3科學、工程問題的求解一般流程實際問題數(shù)學物理模型數(shù)學方法學習第1

2、章 偏微分方程定解問題數(shù)學物理方程的基本概念三類典型的數(shù)學物理方程的導出一階線性偏微分方程和某些二階線性方程偏微分方程通解的解法處理一般線性問題的基本原理疊加原理齊次化原理1.14第1章 偏微分方程定解問題數(shù)學物理方程的基本概念1.14數(shù)理方程的基本概念 偏微分方程（PDE）的基本概念自變量未知函數(shù)偏微分方程的一般形式5數(shù)理方程的基本概念 偏微分方程（PDE）的基本概念自變量未知PDE的階：偏微分方程中未知函數(shù)的最高階偏導數(shù)的階數(shù)稱為偏微分方程的階。線性PDE非線性PDE如果一個偏微分方程對于未知函數(shù)及其各階偏導數(shù)都是一次的，及其系數(shù)僅依賴于自變量，就稱為線性偏微分方程。6PDE的階：偏微分方

3、程中未知函數(shù)的最高階偏導數(shù)的階數(shù)線性PD非線性PDE半線性PDE擬線性PDE完全非線性PDE7非線性PDE半線性PDE擬線性PDE完全非線性PDE7二階線性PDE：線性PDE的自由項:方程中不含未知函數(shù)及其偏導數(shù)的項稱為自由項。當自由項 時，稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。主部偏微分方程的解： 古典解：如果將某個函數(shù) u 代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，且方程中出現(xiàn)的偏導數(shù)都連續(xù)，則這個連續(xù)函數(shù)就是該偏微分方程的古典解。通解：含有與偏微分方程階數(shù)相同的、相互獨立的任意函數(shù)（常數(shù)）的解。 特解：不含任意函數(shù)或任意常數(shù)的解。8二階線性PDE：線性PDE的自由項:方程中不含未知函數(shù)及其偏1.

4、線性PDE2. 線性PDE3.非線性PDE4.非線性PDE舉例91.線性PDE2. 是二維的是一維的是一維的是一維的1.2.3.4.PDE維數(shù)：是指方程中出現(xiàn)的空間坐標的個數(shù)。10是二維的是一維的是一維的是一維的1.2.3.4.PDE維數(shù)：定常和非定常：如果方程中不出現(xiàn)時間 t, 則稱方程為定常的,否則稱為非定常的.是定常的是非定常的1.2.3.4.是非定常的是非定常的11定常和非定常：如果方程中不出現(xiàn)時間 t, 則稱方程為定常的,1.1 三類經(jīng)典方程的導出波動方程 一維均勻弦的微小橫振動問題調(diào)和方程（Laplace方程, Poisson方程 ） 靜電場問題熱傳導方程(擴散方程) 三維熱傳導問

5、題121.1 三類經(jīng)典方程的導出波動方程12均勻弦的微小橫振動問題弦的特點：勻、細、軟、緊的一根彈性細線。振動特性：微小的、橫向振動：振動的幅度很小，弦在任意位置處切線的傾斜角很小。 考慮一根拉緊的長為l 的弦，線密度 , 以弦的平衡位置所在直線為 x 軸，并以弦的左端點為坐標原點，則右端點的坐標為 （l，0）。求它在平衡位置附近作微小的橫向振動的規(guī)律。 遵循牛頓第二定律：作用在物體上的力=該物體的質(zhì)量該物體的加速度13均勻弦的微小橫振動問題遵循牛頓第二定律：作用在物體上的力=該取弦的平衡位置為ox 軸，運動平面為 x-O-u.在時刻 t ，弦線在 x 點的位移為 u(x, t)ouxPQl把

6、上圖中PQ的放大ouxPQ14取弦的平衡位置為ox 軸，運動平面為 x-O-u.在時刻 t設弦上坐標為 x 的點在時刻 t 沿垂直于 x 軸方向的位移用函數(shù) u (x, t) 來表示。 下面利用微元法建立方程：在任一時刻 t，任取一小段弦它弧長為其中傾斜角很小。15設弦上坐標為 x 的點在時刻 t 沿垂直于 x 軸方向的位移 現(xiàn)在研究弧段在時刻 t 時的受力情況。 弦所受的力有弦內(nèi)部的張力T，其方向沿弦的切線方向。 假設在弧段運動方向，即ou軸方向上存在外力作用。 其方向垂直于 x 軸 ,在 ox 軸方向上，弧段所受力的總和為 上所受的外力近似為：則小弦段設在時刻 t，x 點處的外力密度為16

7、 現(xiàn)在研究弧段在時刻 t 時的受力情況。其方向垂直于 在ou軸方向上，弧段所受力的總和為弧段在時刻 t 沿ou 軸方向的加速度近似為其質(zhì)量為所以由Newton第二定律知17在ou軸方向上，弧段所受力的總和為弧段在時刻 t 沿ou 軸因為假設弦作微小的橫向振動，故振動過程中，弦上的切線傾斜角也很小。這時有（1）由于略去的高于一次方的各項有（2）18因為假設弦作微小的橫向振動，故振動過程（1）由于略去的高于一 于是有 或所以其中 表示單位長度單位質(zhì)量所受的力。 再令可得兩端除以19 于是有或所以其中 表示單位長度單位質(zhì)量所受的力。 再令可得若弦不受外力作用，即自由項 ：方程中與未知函數(shù)無關的項。方

8、程稱為非齊次方程：方程稱為齊次方程： 上述方程稱為弦振動方程，或一維波動方程。 則 20若弦不受外力作用，即自由項 ：方程中與未 建立數(shù)學物理方程是一個辯證分析的過程。由于客觀事物的復雜性，要求對所研究的對象能夠抓住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，使問題得到適度的簡化。 在上面的推導過程中，我們作了一些假設： 假設了弦是完全柔軟的，張力才會沿著弦的切線方向；又假定了弦的橫振動是很小的， 所以才可用 代替 并且弦的縱向伸長可以忽略不計，不然由于各點張力的不同， 張力T 就會依賴于 u (x, t), 得到的方程將不是一個線性方程，而是非線性方程。小結（1）21 建立數(shù)學物理方程是一個辯證分析的

9、過程。 在小結（2）以上推導過程實際上就是將微元運動滿足的物理定律翻譯成用已知函數(shù)、未知函數(shù)及其偏導數(shù)表示的數(shù)學式子。弦振動中的基本物理定律是牛頓第二定律和胡克定律。彈性桿的縱振動、彈性模的橫振動、聲波在空氣中的傳播等，都可用類似方法導出同一類型的方程 其中，為拉普拉斯（Laplace）算子. 此類方程稱為波動方程。22小結（2）以上推導過程實際上就是將微元運動滿足的物理定律翻譯 靜電場問題設真空有電荷分布，密度為 ，引起的穩(wěn)恒電場為 任取區(qū)域 ，記其邊界為 。記 為介電常數(shù)。靜電場的基本方程積分形式微分形式電場23 靜電場問題設真空有電荷分布，密度為 三維熱傳導問題 考慮三維空間內(nèi)的物體 G

10、，假設其為均勻的且各向同性.設點處在時刻 t 的溫度為在 G 內(nèi)任取一封閉曲面 S，它所包圍的區(qū)域記為由熱傳導的 Fourier 實驗定律知，在t, t+dt 時間內(nèi)，流過曲面 ds 的熱量 dQ 為熱場24三維熱傳導問題 考慮三維空間內(nèi)的物體 G，假設其其中 n 為曲面 ds 的外法向向量，k為熱傳導系數(shù)。故從這段時刻流入曲面內(nèi)部的熱量為 又，區(qū)域內(nèi)溫度升高吸收的熱量為25其中 n 為曲面 ds 的外法向向量，k為熱傳導系數(shù)。故從這其中c為比熱，為質(zhì)量密度。 由能量守恒定律，有26其中c為比熱，為質(zhì)量密度。由能量守恒定律，有26由Gauss公式有故有（吸收的熱量）（流入的熱量）27由Gauss公式有故有（吸收的熱量）（流入的熱量）27 因此有即其中28 因此有即其中28 若物體內(nèi)部有熱源，設單位時間內(nèi)，單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為則易得相應的熱傳導方程為 ，其中即29若物體內(nèi)部有熱源，設單位時間內(nèi)，單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為則易如果我們考慮的是穩(wěn)恒的溫度場， 即 u 與時間 t 無關 ，溫度分布達到某種動態(tài)平衡狀態(tài)，則有這時上述