1、PAGE16一【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解互斥事件，相互獨(dú)立事件和條件概率的意義及其運(yùn)算公式2理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型，會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生次的概率二【知識要點(diǎn)】1互斥事件與對立事件1互斥事件：若AB為不可能事件AB，則稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生2對立事件：若AB為不可能事件，而AB為必然事件，那么事件A與事件B互為對立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生練習(xí)2下列說法正確的有概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值；一次試驗(yàn)中不同的基本事件不可能同時(shí)發(fā)生；任意事件A發(fā)生的概率表示“A1被選中”，則MA1，B1，C1，A

2、1，B3，C1，A1，B3，C1，因而練習(xí)3某公交線路某區(qū)間內(nèi)共設(shè)置四個(gè)站點(diǎn)（如圖），分別記為，現(xiàn)有甲、乙兩人同時(shí)從站點(diǎn)上車，且他們中的每個(gè)人在站點(diǎn)下車是等可能的則甲、乙兩人不在同一站點(diǎn)下車的概率為ABCD【答案】A【解析】利用獨(dú)立事件的概率公式以及互斥事件的概率公式求出甲、乙兩人在同一站下車的概率，由對立事件的概率公式可得結(jié)果五古典概型解題步驟例5交通擁堵指數(shù)是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通擁堵指數(shù)為，早高峰時(shí)段，基本暢通；輕度擁堵；中度擁堵；嚴(yán)重?fù)矶?，從某市交通指揮中心隨機(jī)選取了二環(huán)以內(nèi)個(gè)交通路段，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制直方圖如圖所示（1）據(jù)此直方圖估算早高峰時(shí)段交通擁堵指數(shù)的中位數(shù)

3、和平均數(shù)；（2）現(xiàn)從樣本路段里的嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃须S機(jī)抽取兩個(gè)路段進(jìn)行綜合整治，求選中路段中恰有一個(gè)路段的交通指數(shù)的概率【答案】（1）中位數(shù)，平均數(shù)；（2）【解析】1頻率直方圖中，根據(jù)直方圖左右兩邊面積相等處橫坐標(biāo)能估算早高峰時(shí)段交通擁堵指數(shù)的中位數(shù)；每個(gè)矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)、組距相乘后求和可得平均值；2由題知嚴(yán)重?fù)矶轮薪煌ㄖ笖?shù)的有4個(gè)，記為，交通指數(shù)的有2個(gè),記為，從樣本路段里的嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃须S機(jī)抽取兩個(gè)路段進(jìn)行綜合整治，利用列舉法能求出恰有一個(gè)路段的交通指數(shù)的概率2由題知嚴(yán)重?fù)矶轮薪煌ㄖ笖?shù)的有4個(gè)，記為，交通指數(shù)的有2個(gè),記為，從樣本路段里的嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃须S機(jī)抽取兩個(gè)路段進(jìn)行

4、綜合整治，基本事件總數(shù)有15個(gè)，分別為：，選中路段中選中路段中恰有一個(gè)路段的交通指數(shù)包含的基本事件有8個(gè)，分別為：，恰有一個(gè)路段的交通指數(shù)的概率【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題直方圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率；（3）每個(gè)矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)、組距相乘后求和可得平均值；（4）直方圖左右兩邊面積相等處橫坐標(biāo)表示中位數(shù)練習(xí)1如下的莖葉圖表示甲乙兩人在5次測評中的成績，已知甲的中位數(shù)是90，則從乙的5次測評成績中隨機(jī)抽取一次成績，其分?jǐn)?shù)高于甲的平均成績的概率為ABCD【答案】B【解析

5、】根據(jù)甲的中位數(shù)知，計(jì)算甲的平均數(shù)，找到乙中大于甲平均數(shù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型求解練習(xí)2齊王有上等,中等,下等馬各一匹；田忌也有上等,中等,下等馬各一匹田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場比賽,若有優(yōu)勢的馬一定獲勝,則齊王的馬獲勝的概率為（）ABCD【答案】C【解析】現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場比賽,利用列舉法求出基本事件有9種，齊王的馬獲勝包含的基本事件有6種，利用古典概型概率公式可求出齊王的馬獲勝的概率【詳解】設(shè)齊王上等、中等、下等馬分別為，田忌上等、中等、下等

6、馬分別為，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場比賽,【詳解】如下圖所示，連接相鄰兩個(gè)小圓的交點(diǎn)，得四邊形EFMN，易知四邊形EFMN為正方形設(shè)圓O的半徑為r，則正方形EFMN的邊長也為r所以正方形的EFMN的面積為r2陰影部分的面積為所以陰影部分占總面積的比值為即在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是所以選C練習(xí)2從區(qū)間中任取一個(gè)值，則函數(shù)是增函數(shù)的概率為（）ABCD【答案】A【解析】由函數(shù)為增函數(shù)得到a的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式計(jì)算直接得到答案練習(xí)3已知甲乙兩輛車去同一貨場裝貨物，貨場每次只能給一輛車裝貨物，所以若兩輛車同時(shí)到達(dá)，則需要有一車等待已知甲、乙兩車裝貨物需要的時(shí)

7、間都為20分鐘，倘若甲、乙兩車都在某1小時(shí)內(nèi)到達(dá)該貨場，則至少有一輛車需要等待裝貨物的概率是（）ABCD【答案】A【解析】設(shè)現(xiàn)在時(shí)間是0，甲乙到場的時(shí)間分別是y，那么就會(huì)有060，0y60，|y|如果小于20，就是等待事件，否則不用等待了由此能求出至少有一輛車需要等待裝貨物的概率【詳解】設(shè)現(xiàn)在時(shí)間是0，甲乙到場的時(shí)間分別是y，那么就會(huì)有：060，0y60，|y|如果小于20，就是等待事件，否則不用等待了畫出來坐標(biāo)軸如下圖兩條斜直線見的面積是等待，外面的兩個(gè)三角形面積是不等待，至少有一輛車需要等待裝貨物的概率：p故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題解決幾何概型問題常見類型

8、有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售商一次購進(jìn)70輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車20輛，非事故車50輛，所以一輛車盈利的平均值為元練習(xí)1箱子里有3雙顏色不同的手套（紅藍(lán)黃各1雙），有放回地拿出2只，記事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對”，則事件A的概率為（）A

9、BCD【答案】B【解析】本題可以先算出在六個(gè)手套中取回兩個(gè)有多少種可能，再計(jì)算出事件A中有多少種可能，最后得出結(jié)果。練習(xí)2已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率是40現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù)：3據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為ABCD【答案】C【解析】由題意知模擬三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)，在10組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有可以通過列舉得到共3組隨機(jī)

10、數(shù)，根據(jù)概率公式，得到結(jié)果（八）條件概率例8為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象能力指標(biāo)、推理能力指標(biāo)y、建模能力指標(biāo)的相關(guān)性，將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級，再用綜合指標(biāo)w=y的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級：若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：1在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建棋能力指標(biāo)相同條件下綜合指標(biāo)值也相同的概率；2在這10名學(xué)生中任取三人，其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級足一級的學(xué)生人數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望?！敬鸢浮浚?）；（2）見解析【解析】（1）由表格

11、結(jié)合條件概率公式即可得到結(jié)果；（2）X的所有可能取值為0,1，2，3，求出相應(yīng)的概率值，帶入期望公式得到結(jié)果【詳解】2331222222y22323323123332232312w7895786846（1）由題可知:建模能力一級的學(xué)生是；建模能力二級的學(xué)生是；建模能力三級的學(xué)生是記“所取的兩人的建模能力指標(biāo)相同”為事件，記“所取的兩人的綜合指標(biāo)值相同”為事件則【詳解】三局比賽甲“勝、負(fù)、勝”的概率為；三局比賽甲“負(fù)、勝、勝”的概率為；兩局比賽甲“勝、勝”的概率為根據(jù)條件概率計(jì)算公式，“在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了局的概率”（九）獨(dú)立事件例9甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，每局勝者得1分，負(fù)者得

12、0分，約定一方比另一方多3分或滿9局時(shí)比賽結(jié)束，并規(guī)定：只有一方比另一方多三分才算贏，其它情況算平局，假設(shè)在每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知前3局中，甲勝2局，乙勝1局（1）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（2）設(shè)表示從第4局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求得分布列及數(shù)學(xué)期望【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）利用互斥事件的概率和公式及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法運(yùn)算求出甲獲得這次比賽勝利的概率；（2）求出隨機(jī)變量可取得值；利用互斥事件的概率和公式及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率；列出分布列；利用隨機(jī)變量的期望公式求出隨機(jī)

13、變量的期望（2）X可能取值為：2,4,6，的分布列為246【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；（2）的所有可能值為0，1，2，3，4，分別求其概率，列出分布列，再求期望即可的所有可能值為0，1，2，3，4，且，綜上知有分布列01234P練習(xí)1某學(xué)校對高學(xué)生進(jìn)行體能測試,若每名學(xué)生測試達(dá)標(biāo)的概率都是相互獨(dú)立,經(jīng)計(jì)算,5名學(xué)生中恰有名學(xué)生同時(shí)達(dá)標(biāo)的概率是,則的值為A2B3C4D3或4【答案】D