1、PAGE5導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)是微積分的重要內(nèi)容之一，它是研究解決函數(shù)增減、變化快慢、作曲線切線問(wèn)題和求函數(shù)最大值、最小值問(wèn)題的最一般、最有效的工具，因而也是解決諸如運(yùn)動(dòng)速度、物種繁殖率、綠化面積增長(zhǎng)率以及用料最省、利潤(rùn)最大、效率最高等實(shí)際問(wèn)題最優(yōu)化的最有力的工具。導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)函數(shù)一導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)函數(shù)二、知識(shí)要點(diǎn)1、瞬時(shí)速度：物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度。瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)S=St對(duì)時(shí)間t的瞬時(shí)變化率2、導(dǎo)數(shù)的定義一般地，函數(shù)y=f在=0處的瞬時(shí)變化率是我們稱(chēng)它為函數(shù)y=f在=0處的導(dǎo)數(shù)，記作f（0）、或y，=0，即。3、對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解導(dǎo)數(shù)的核心思想是函數(shù)“瞬時(shí)變化

2、率”，即函數(shù)增量與自變量增量之比的極限。對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義要抓住三個(gè)層次：（1）函數(shù)的變化（增量）。對(duì)函數(shù)y=f，自變量的增量是，相應(yīng)的函數(shù)的增量是y=f-f。（2）平均變化率（增量之比）。（3）瞬時(shí)變化率（增量之比的極限）。很多物理量都是借助變化率定義的。如：瞬時(shí)速度是路程（作為時(shí)間的函數(shù)）對(duì)時(shí)間的變化率；角速度是角度（作為時(shí)間的函數(shù)）對(duì)時(shí)間的變化率；電流是電量（作為時(shí)間的函數(shù)）對(duì)時(shí)間的變化率等等，讀者可以此來(lái)加深對(duì)概念的理解。4、對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）在導(dǎo)數(shù)的定義中，可正可負(fù)，但0，y可正可負(fù)可為零。當(dāng)0時(shí)，若存在，則稱(chēng)f在（或0）處可導(dǎo)（左右極限存在并相等）；若不存在，則稱(chēng)f在（或

3、0）處不可導(dǎo)。（2）函數(shù)y=f的增量y=f-f，當(dāng)固定時(shí)，一般說(shuō)來(lái)是隨的改變而改變的，即是的函數(shù)，又當(dāng)也改變時(shí)，y也是的函數(shù)，故y是、二者的函數(shù)。同樣，平均變化率，一般說(shuō)來(lái)也是、二者的函數(shù)。（3）導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。一般地，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是針對(duì)某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)而言的，它是一個(gè)確定的數(shù)值，與給定的函數(shù)及（或0）的位置有關(guān)，而與無(wú)關(guān)；若函數(shù)對(duì)于開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)每一個(gè)確定的值0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f（0），根據(jù)函數(shù)的定義，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，就是函數(shù)f的導(dǎo)函數(shù)f（），它是對(duì)一個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)確定的函數(shù)，依賴(lài)于函數(shù)本身，但與、均無(wú)關(guān)。因此，在微積分中，對(duì)導(dǎo)數(shù)和

4、導(dǎo)函數(shù)常用“求函數(shù)y=f在點(diǎn)=0處的導(dǎo)數(shù)”與“求函數(shù)y=f的導(dǎo)數(shù)”在文字?jǐn)⑹錾霞右詤^(qū)別；同時(shí)采用“f（0）、y，=0”與“f（）、y，（或y，）等在符號(hào)上加以區(qū)別。函數(shù)y=f在=0處的導(dǎo)數(shù)f（0）是一個(gè)數(shù)，它就是導(dǎo)函數(shù)f（）在=0處的值，即f（0）=f（）=0，是一個(gè)常量。也可以先求導(dǎo)數(shù)f（），再用=0代入計(jì)算其值，但前提條件是f在=0處必須可導(dǎo)。（4）f（）與原函數(shù)f的定義域都是區(qū)間（a，b），此區(qū)間一般是一個(gè)開(kāi)區(qū)間，這是因?yàn)閰^(qū)間的端點(diǎn)不一定都有增量（右端點(diǎn)無(wú)增量，左端點(diǎn)無(wú)減量）。（5）并不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)。（6）自變量的增量有多種表達(dá)形式，不論采用哪種形式，y中自變量的增量都必須用相應(yīng)

5、的形式。如求，初學(xué)者易出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：=，這是將y=f-f中自變量的增量誤認(rèn)為所致，事實(shí)上應(yīng)為-，令-=h，則（7）求導(dǎo)的本質(zhì)是求極限，在求極限的過(guò)程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是能夠順利求導(dǎo)的關(guān)鍵。導(dǎo)數(shù)的定義式可取不同的形式常見(jiàn)的有：，在這里。，在這里。5、求導(dǎo)數(shù)的方法、步驟基于對(duì)導(dǎo)數(shù)定義三個(gè)層次的理解，求一個(gè)函數(shù)y=f在點(diǎn)=0處的導(dǎo)數(shù)的步驟：（1）求函數(shù)的增量y=f0-f0；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。待對(duì)以上步驟熟練之后，這些步驟可一并寫(xiě)出，即。上述求導(dǎo)方法可簡(jiǎn)記為：一差、二化、三極限。6、導(dǎo)數(shù)的物理意義在物理上，函數(shù)y=f在P（0，f（0）點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f（0），是函數(shù)在該點(diǎn)處的平均（或相對(duì)）變化率的極限，它反映了物體在客觀運(yùn)動(dòng)的過(guò)