1、第八章考試要求1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用.落實(shí)主干知識(shí)課時(shí)精練探究核心題型LUOSHIZHUGANZHISHI 落實(shí)主干知識(shí)1.橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于 (大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的 ，兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|叫做橢圓的 .常數(shù)焦點(diǎn)焦距焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程2.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍_頂點(diǎn)_軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)為_(kāi)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)焦點(diǎn)_焦距|F1F2|_對(duì)稱性對(duì)稱軸：_，對(duì)稱中心：_離心率_a，b，c的關(guān)系_axa且byb

2、bxb且ayaA1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)2b2aF1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)2cx軸和y軸原點(diǎn)a2b2c2(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大， 最大.橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形.如圖所示，設(shè)F1PF2.常用結(jié)論(3)|PF1|maxac，|PF1|minac.(5)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .常用結(jié)論判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于

3、常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.()(2)橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.()A.4 B.5 C.8 D.10依橢圓的定義知，|PF1|PF2|2510.TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1(1)已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A是圓上任意一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線題型一橢圓的定義及其應(yīng)用點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|PN|.又AM是圓的半徑，所以|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|.由橢圓的定義知，P的軌跡是橢圓.|F1F2|2(|F1P|PF2|)22|F1P|PF2|2|F1

4、P|PF2|cos 604a23|F1P|PF2|4a216，延伸探究若將本例(2)中“F1PF260”改成“PF1PF2”，求PF1F2的面積.PF1PF2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24(a24)4a216，又|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|8， 4.1.ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(3,0)，B(3,0)，ABC周長(zhǎng)為16，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為教師備選由題知點(diǎn)C到A，B兩點(diǎn)的距離之和為10，故C的軌跡為以A(3,0)，B(3,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓，故2a10，c3，b2a2c216.又A，B，C三點(diǎn)不能共線，|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2

5、|cos 45|AF1|284|AF1|，(6|AF1|)2|AF1|284|AF1|，思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值和離心率等.(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29.動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是設(shè)動(dòng)圓的圓心M(x，y)，半徑為r，圓M與圓C1：(x4)2y2169內(nèi)切，與圓C2：(x4)2y29外切.所以|MC1|13r，|MC2|3r.|MC1|MC2|16

6、|C1C2|8，由橢圓的定義，M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16的橢圓.則a8，c4，所以b2824248，設(shè)F1為橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)，則由橢圓的定義可得|AF|BF|AB|2a|AF1|2a|BF1|AB|4a|AB|BF1|AF1|8|AB|BF1|AF1|，當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，|AB|BF1|AF1|0，當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點(diǎn)不共線時(shí)，|AB|BF1|AF1|0，n0，且mn).因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)P1，P2兩點(diǎn)，所以點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)滿足橢圓方程，教師備選如圖，由橢圓的定義可知，F(xiàn)1AB的周長(zhǎng)為4a，所以c1，b23，橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，思維升華根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1

7、)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0，mn)，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可.設(shè)|MF1|m，|MF2|n，因?yàn)镸F1MF2，|MF1|MF2|8，所以m2n220，mn8，所以(mn)236，所以mn2a6，所以a3.(2)已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，則C的方程為在RtAF1F2中，由得a2，b2a2c23.命題點(diǎn)1離心率題型三橢圓的幾何性

8、質(zhì)F(c，0)，由點(diǎn)到直線距離公式，則2cb0，b2c.又a2b2c2，即a2(2c)2c25c2，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得PF1PF2，則以原點(diǎn)為圓心，F(xiàn)1F2為直徑的圓與橢圓必有交點(diǎn)，如圖，可得cb，即c2b2，思維升華求橢圓離心率或其范圍的方法(3)構(gòu)造a，c的齊次式.可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.命題點(diǎn)2與橢圓有關(guān)的范圍(最值)例5(1)以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為設(shè)a，b，c分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距，依題意知，當(dāng)三角形的高為b時(shí)，以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大，4所以c1，所以

9、b2a2c23，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，因?yàn)镕(1,0)，A(2,0)，1.(多選)嫦娥四號(hào)在繞月飛行時(shí)是以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，如圖中軌道所示，其近月點(diǎn)與月球表面距離為100公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為400公里，已知月球的直徑約為3 476公里，則下列選項(xiàng)中正確的有A.焦距長(zhǎng)約為300公里B.長(zhǎng)軸長(zhǎng)約為3 988公里C.兩焦點(diǎn)坐標(biāo)約為(150,0)教師備選設(shè)該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，半焦距長(zhǎng)為c.ac1001 7381 838，ac4001 7382 138，所以2a1 8382 1383 976，a1 988，c2 1381 988150,2c300，可得結(jié)論A，D正確，B錯(cuò)

10、誤；因?yàn)闆](méi)有給坐標(biāo)系，焦點(diǎn)坐標(biāo)不確定，所以C錯(cuò)誤.點(diǎn)O(0,0).設(shè)P(x，y)(2x2).思維升華與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)；(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)；(3)利用不等式，尤其是基本不等式.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022濟(jì)南質(zhì)檢)設(shè)橢圓E的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與E交于P，Q兩點(diǎn).若PF1F2為直角三角形，則E的離心率為PF1F2為直角三角形，PF1F1F2，又|PF1|F1F2|2c，所以FQAP，所以AFP為等腰三角形，KESHIJINGLIAN 課時(shí)精練1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)A(2,0)，B

11、(2,0)的距離之和為6，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為基礎(chǔ)保分練1234567891011121314151612345678910111213141516由題意有6224，故點(diǎn)M的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則2a6，c2，故a29，所以b2a2c25，12345678910111213141516依題意可知，cb，1234567891011121314151612345678910111213141516設(shè)F1為左焦點(diǎn)，則由橢圓方程得F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151

12、612345678910111213141516由已知得，又a2b2c2，解得a23.如圖.1234567891011121314151612345678910111213141516由題意可知2c2，則c1，因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以|QF1|QF2|2a，|QF1|QP|2a|QF2|QP|，又1|QF2|QP|1，所以A正確；因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)在橢圓內(nèi)部，所以b1,2b2，所以B錯(cuò)誤；即b2a2a2b20，又c1，b2a2c2，所以(a21)a2a2(a21)0，化簡(jiǎn)可得a43a210(a1)，12345678910111213141516則橢圓C的離心率所以C正確；123456789101

13、11213141516而P(1,1)，F(xiàn)1(1,0)，所以Q(3，1)，|QF1|QF2|所以D正確.7.如圖是籃球在太陽(yáng)光照射下的影子，已知籃球的直徑為22 cm，現(xiàn)太陽(yáng)光與地面的夾角為60，則此橢圓形影子的離心率為_(kāi).12345678910111213141516由圖可得，橢圓的短軸長(zhǎng)2b22b11，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及|PQ|F1F2|可以得到四邊形PF1QF2為對(duì)角線相等的平行四邊形，所以四邊形PF1QF2為矩形.設(shè)|PF1|m，則|PF2|2a|PF1|8m，則|PF1|2|PF2|2m2(8m)22m26416m|F1F2|24c24(a2b2)48，得m(8m)8，所以四邊形PF1

14、QF2的面積為|PF1|PF2|m(8m)8.123456789101112131415168123456789101112131415169.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(3,0)和(3,0).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；因此a5，b4，12345678910111213141516(2)若P為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，求F1PF2的面積.易知|yP|4，又c3，1234567891011121314151612345678910111213141516由題意得，A(a，0)，EF2：xyc，即(ac)23b2，又b2a2c2，所以(ac)23(a2c2)，所以2c2aca20，1

15、2345678910111213141516所以2e2e10，1234567891011121314151612345678910111213141516所以|PF1|PF2|4，12345678910111213141516所以a2c23，聯(lián)立得a2，c1，所以b2a2c23，12345678910111213141516技能提升練12345678910111213141516|PF1|PF2|2a8，A錯(cuò)誤；當(dāng)P在橢圓上、下頂點(diǎn)時(shí)，12345678910111213141516所以16y29(x216)，1234567891011121314151612.(多選)2021年10月16日，神

16、舟十三號(hào)發(fā)射圓滿成功，人民日?qǐng)?bào)微博發(fā)了一條“跨越時(shí)空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飛船在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即飛船的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2c，下列結(jié)論正確的是A.飛船向徑的取值范圍是ac，acB.飛船在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其 在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間C.飛船向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D.飛船運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小12345678910111213141516根據(jù)橢圓定義知飛船向徑的取值范圍是ac，ac，A正確；當(dāng)飛船在左半

17、橢圓弧上運(yùn)行時(shí)，對(duì)應(yīng)的面積更大，根據(jù)面積守恒規(guī)律，知在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間，B正確；根據(jù)面積守恒規(guī)律，飛船在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度最小，D正確.1234567891011121314151612345678910111213141516由線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2得|PF2|F1F2|，即3c42a2c2a40，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516又|F1F2|2c，拓展沖刺練123456789101112131415161,412345678910111213141516由已知得2b2，故b1.又a2c2(ac)(ac)b21，123456789101112131415161|PF1|24|PF1|4，16.已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF260