1、專題28空間幾何體的結構特征、表面積與體積 【考點預測】知識點一：構成空間幾何體的基本元素點、線、面（1）空間中，點動成線，線動成面，面動成體（2）空間中，不重合的兩點確定一條直線，不共線的三點確定一個平面，不共面的四點確定一個空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）知識點二：簡單凸多面體棱柱、棱錐、棱臺1棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱（1）斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：

2、側棱垂直于底面的平行六面體；（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長都相等的長方體2棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐3棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺簡單凸多面體的分類及其之間的關系如圖所示知識點三：簡單旋轉體圓柱、圓錐、圓臺、球1圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱2圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋

3、轉軸，將其旋轉一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐3圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺4球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）知識點四：組合體由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫做組合體知識點五：表面積與體積計算公式表面積公式表面積柱體為直截面周長錐體臺體球體積公式體積柱體錐體臺體球知識點六：空間幾何體的直觀圖1斜二測畫法斜二測畫法的主要步驟如下：（1）建立直角坐標系在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，建立直角坐標系（2）畫出斜坐標系在畫直觀圖的紙上（平面上

4、）畫出對應圖形在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，使（或），它們確定的平面表示水平平面（3）畫出對應圖形在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话憧珊喕癁椤皺M不變，縱減半”（4）擦去輔助線圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）被擋住的棱畫虛線注：直觀圖和平面圖形的面積比為2平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點【題型歸納目錄】題型一：空間幾何體的結構特征題型二：空間幾何體的表面積與體積題型三：直觀圖題型四：最短路徑問題【典例例題】題型一

5、：空間幾何體的結構特征例1（2022全國模擬預測）以下結論中錯誤的是（）A經過不共面的四點的球有且僅有一個B平行六面體的每個面都是平行四邊形C正棱柱的每條側棱均與上下底面垂直D棱臺的每條側棱均與上下底面不垂直【答案】D【解析】對于A，經過不共面的四點的球，即為該四面體的外接球，有且僅有一個，故A正確，對于B，平行六面體的每個面都是平行四邊形，故B正確，對于C，正棱柱的每條側棱均與上下底面垂直，故C正確，對于D，棱臺的每條側棱延長線交于一點，側棱中有可能與底面垂直，故D錯誤，故選：D例2（2022全國高三專題練習（文）下列說法正確的是（）A經過三點確定一個平面B各個面都是三角形的多面體一定是三棱

6、錐C各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D一個三棱錐的四個面可以都為直角三角形【答案】D【解析】A.錯誤，經過不共線的三點確定一個平面；B.錯誤，正八面體的八個面也都是正三角形；C.錯誤，側面都是正方形，但底面如果不是正多邊形，也不是正棱柱，比如側面是正方形，但底面是菱形的柱體不是正四棱柱；D.正確，底面是直角三角形，一條側棱和底面垂直，并且垂直落在非直角頂點處的三棱錐，即可滿足條件.故選：D例3（2022海南模擬預測）“三棱錐是正三棱錐”的一個必要不充分條件是（）A三棱錐是正四面體B三棱錐不是正四面體C有一個面是正三角形D是正三角形且【答案】C【解析】由正三棱錐的定義，得三棱錐是正三棱錐等價于

7、“有一個面是正三角形，其他面是等腰三角形”，對于A：因為三棱錐是正四面體等價于四個面是全等的正三角形，所以“三棱錐是正四面體”是“三棱錐是正三棱錐”的充分不必要條件，即選項A錯誤；對于B：因為一個正三棱錐可能是正四面體，也可能不是正四面體，所以“三棱錐不是正四面體”是“三棱錐是正三棱錐”的既不充分也不必要條件，即選項B錯誤；對于C：因為三棱錐是正三棱錐等價于有一個面是正三角形，其他面是等腰三角形，所以“有一個面是正三角形”是“三棱錐是正三棱錐”的必要不充分條件，即選項C正確；對于D：因為三棱錐是正三棱錐等價于有一個面是正三角形，其他面是等腰三角形，當?shù)切尾灰欢ㄊ?，所以“是正三角形且”是?/p>

8、三棱錐是正三棱錐”的充分不必要條件，即選項D錯誤.故選：C.例4（2022全國高三專題練習）給出下列命題:在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐;棱臺的上、下底面可以不相似,但側棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是（）A0B1C2D3【答案】A【解析】不一定，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線;不一定，因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”,如圖(1)所示;不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時,其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體

9、不是圓錐,如圖(2)所示,它是由兩個同底圓錐組成的幾何體;錯誤,棱臺的上、下底面是相似且對應邊平行的多邊形,各側棱延長線交于一點,但是側棱長不一定相等.故選：A例5（2022山東省東明縣第一中學高三階段練習）下列說法正確的是（）A有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱B過空間內不同的三點，有且只有一個平面C棱錐的所有側面都是三角形D用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺【答案】C【解析】對：根據(jù)棱柱的定義知，有兩個面平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，所以錯誤，反例如圖：對：若這三點共線，則可以確定無數(shù)個平面，故錯誤；對

10、：棱錐的底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，故正確；對：只有用平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，故錯誤，故選：.例6（2022全國高三專題練習）給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是（）ABCD【答案】A【解析】不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；錯誤，棱

11、臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等.故選：A.例7（2022全國高三專題練習）萊昂哈德歐拉，瑞士數(shù)學家和物理學家，近代數(shù)學先驅之一，他的研究論著幾乎涉及到所有數(shù)學分支，有許多公式定理解法函數(shù)方程常數(shù)等是以歐拉名字命名的.歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點數(shù)V棱數(shù)E面數(shù)F之間總滿足數(shù)量關系，此式稱為歐拉公式，已知某凸32面體，12個面是五邊形，20個面是六邊形，則該32面體的棱數(shù)為_；頂點的個數(shù)為_.【答案】 【解析】因為某凸32面體，12個面是五邊形，20個面是六邊形，則該32面體的棱數(shù)：；因為頂點數(shù)V棱數(shù)E面數(shù)F之間總滿足數(shù)量關系，設頂

12、點的個數(shù)為，則，解得，故答案為：；.例8（2022安徽合肥一六八中學模擬預測（理）如圖，正方體上、下底面中心分別為，將正方體繞直線旋轉，下列四個選項中為線段旋轉所得圖形是（）ABCD【答案】D【解析】解：設正方體的棱長等于，的中點到旋轉軸的距離等于，而、兩點到旋轉軸的距離等于，的中點旋轉一周，得到的圓較小，可得所得旋轉體的中間小，上、下底面圓較大由此可得A、C項不符合題意，舍去又在所得旋轉體的側面上有無數(shù)條直線，且直線的方向與轉軸不共面，B項不符合題意，只有D項符合題意故選：D例9（多選題）（2022全國高三專題練習）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）（多選）A是棱臺B是圓臺C是棱

13、錐D是棱柱【答案】CD【解析】題圖中的幾何體不是由棱錐被一個平面所截得到的，且上、下底面不是相似的圖形，所以不是棱臺；題圖中的幾何體上、下兩個面不平行，所以不是圓臺；圖中的幾何體是三棱錐；題圖中的幾何體前、后兩個面平行，其他面都是平行四邊形，且每相鄰兩個平行四邊形的公共邊都互相平行，所以是棱柱.故選:CD.例10（2022陜西西北工業(yè)大學附屬中學高三階段練習（理）碳60（）是一種非金屬單質，它是由60個碳原子構成的分子，形似足球，又稱為足球烯，其結構是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共32個面，且滿足：頂點數(shù)棱數(shù)面數(shù)2則其六元環(huán)的個數(shù)為_.【答案】【解析】根據(jù)

14、題意， 碳（）由個頂點，有個面，由頂點數(shù)棱數(shù)面數(shù)2可得：棱數(shù)為，設正五邊形有個，正六邊形有個，則，解得：，所以六元環(huán)的個數(shù)為個，故答案為：【方法技巧與總結】熟悉幾何體的基本概念.題型二：空間幾何體的表面積與體積例11（多選題）（2022湖北高三階段練習）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄決勝千里大智大勇的象征（如圖1）圖2是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧所在圓的半徑分別是3和9，且，則該圓臺的（）A高為B體積為C表面積為D上底面積下底面積和側面積之比為【答案】AC

15、【解析】解：設圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則，解得圓臺的母線長，圓臺的高為，則選項正確；圓臺的體積，則選項錯誤；圓臺的上底面積為，下底面積為，側面積為，則圓臺的表面積為，則正確；由前面可知上底面積下底面積和側面積之比為，則選項D錯誤故選：AC例12（2022青海海東市第一中學模擬預測（理）設一圓錐的側面積是其底面積的3倍，則該圓錐的高與母線長的比值為（）ABCD【答案】B【解析】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意得，解得，又，則，故選：B.例13（2022云南二模（文）已知長方體的表面積為62，所有棱長之和為40，則線段的長為（）ABCD【答案】A【解析】由題意知：，故，則

16、，所以.故選：A.例14（2022福建省福州第一中學三模）已知，分別是圓柱上下底面圓的直徑，且，.，O分別為上下底面的圓心，若圓柱的底面圓半徑與母線長相等，且三棱錐的體積為18，則該圓柱的側面積為（）A9B12C16D18【答案】D【解析】分別過作圓柱的母線，連接，設圓柱的底面半徑為則三棱錐的體積為兩個全等四棱錐減去兩個全等三棱錐即，則圓柱的側面積為故選：D例15（2022河南模擬預測（文）在正四棱錐中，若正四棱錐的體積是8，則該四棱錐的側面積是（）ABC4D【答案】C【解析】如圖，連接AC，BD，記，連接OP，所以平面ABCD.取BC的中點E，連接.因為正四棱錐的體積是8，所以，解得.因為，

17、所以在直角三角形中,，則的面積為，故該四棱錐的側面積是.故選：C例16（2022全國高三專題練習）九章算術中將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高，方亭的四個側面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個側面的面積之和，則方亭的體積為（）ABCD【答案】C【解析】由題意得，設，則，.過點、在平面內分別作，垂足分別為點、，在等腰梯形中，因為，則四邊形為矩形，所以，因為，所以，所以，所以，所以等腰梯形的面積為，得.所以，故方亭的體積為.故選：C.例17（2022湖南高三階段練習）如圖，一種棱臺形狀的無蓋容器（無上底面）模型其上、下底面均為

18、正方形，面積分別為，且，若該容器模型的體積為，則該容器模型的表面積為（）ABCD【答案】C【解析】由題意得該容器模型為正四棱臺，上、下底面的邊長分別為2cm，3cm.設該棱臺的高為h，則由棱臺體積公式，得： 得，所以側面等腰梯形的高，所以，故選：C例18（2022海南?？诙＃┤鐖D是一個圓臺的側面展開圖，其面積為，兩個圓弧所在的圓半徑分別為2和4，則該圓臺的體積為（）ABCD【答案】D【解析】圓臺的側面展開圖是一扇環(huán)，設該扇環(huán)的圓心角為，則其面積為，得，所以扇環(huán)的兩個圓弧長分別為和，設圓臺的上底半徑，下底半徑分別為，圓臺的高為，則所以，又圓臺的母線長所以圓臺的高為，所以圓臺的體積為故選：D.例

19、19（2022全國高三專題練習）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺的側面積為（）ABCD【答案】C【解析】因為圓臺下底面半徑為5，球的直徑為，所以圓臺下底面圓心與球心重合，底面圓的半徑為，畫出軸截面如圖， 設圓臺上底面圓的半徑，則所以球心到上底面的距離，即圓臺的高為3，所以母線長，所以，故選：C.例20（2022河南安陽模擬預測（文）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，AB，CD分別為上、下底面圓的直徑，則四面體ABCD的體積為（）ABC1D【答案】D【解析】解：如圖所示：連接，因為，且，所以平面，所以，故選：D例21（2022山東煙臺市教育科

20、學研究院二模）魯班鎖是我國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中的榫卯結構，其內部的凹凸部分嚙合十分精巧圖1是一種魯班鎖玩具，圖2是其直觀圖它的表面由八個正三角形和六個正八邊形構成，其中每條棱長均為若該玩具可以在一個正方體內任意轉動（忽略摩擦），則此正方體表面積的最小值為_【答案】【解析】將魯班鎖補成正方體，然后以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，在魯班鎖所在幾何體上任取一個頂點，觀察圖形可知，到魯班鎖所在幾何體上其他頂點的距離的最大值在、中取得，結合圖形可知、，則，所以，到魯班鎖所在幾何體上其他頂點的距離的最大值，所以，若該玩具可以在一個正方體內任意轉動（忽略摩

21、擦），設該正方體的棱長的最小值為，則，該正方體的表面積為.故答案為：.例22（2022湖北省天門中學模擬預測）已知一個圓柱的體積為，底面直徑與母線長相等，圓柱內有一個三棱柱，與圓柱等高，底面是頂點在圓周上的正三角形，則三棱柱的側面積為_.【答案】【解析】設圓柱的底面半徑為，則，設三棱柱底面邊長為，則，三棱柱的側面積為，故答案為：例23（2022上海閔行二模）已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的4倍，則它的側面積擴大為原來的_倍.【答案】2【解析】設圓柱的高為，底面半徑為，則體積為，體積擴大為原來的4倍，則擴大后的體積為，因為高不變，故體積，即底面半徑擴大為原來的2倍，原來側面積為，擴大后

22、的圓柱側面積為，故側面積擴大為原來的2倍.故答案為：2例24（2022浙江紹興模擬預測）有書記載等角半正多面體是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖，將正四面體沿相交于同一個頂點的三條梭上的個點截去一個正三棱錐，如此共截去個正三棱錐，若得到的幾何體是一個由正三角形與正六邊形圍成的等角半正多面體，且正六邊形的面積為，則原正四面體的表面積為_【答案】【解析】設正六邊形的邊長為，根據(jù)題意有，可得，由題意可知，原正四面體的棱長為，故原正四面體的表面積為，故答案為：.例25（2022上海徐匯三模）設圓錐底面圓周上兩點、間的距離為，圓錐頂點到直線的距離為，和圓錐的軸的距離為，則該圓錐的側面積為_.【

23、答案】【解析】設圓錐的頂點為，底面圓圓心為點，取線段的中點，連接、，因為，則，故，因為平面，平面，所以，為直線、的公垂線，故，因為，所以，圓錐的底面圓半徑為，母線長為，因此，該圓錐的側面積為.故答案為：.例26（2022全國高三專題練習）中國古代的“牟合方蓋”可以看作是兩個圓柱垂直相交的公共部分，計算其體積所用的“冪勢即同，則積不容異”是中國古代數(shù)學的研究成果，根據(jù)此原理，取牟合方蓋的一半，其體積等于與其同底等高的正四棱柱中，去掉一個同底等高的正四棱錐之后剩余部分的體積（如圖1所示）現(xiàn)將三個直徑為4的圓柱放于同一水平面上，三個圓柱的軸所在的直線兩兩成角都相等，三個圓柱的公共部分為如圖2所示的幾

24、何體，該幾何體中間截面三角形邊長為 ，則該幾何體的體積為_【答案】【解析】根據(jù)題意，圖2立體圖形的一半，其體積等于與其同底等高的正三棱柱中，去掉一個與其同底等高正三棱錐之后的體積，因為該幾何體中間截面三角形邊長為，所以該底面積，因為圓柱的直徑為4，所以該幾何體一半的高為2，所以對應正三棱柱及三棱錐的高均為2，所以對應正三棱柱的體積，正三棱錐的體積，所以該幾何體的體積為.故答案為：【方法技巧與總結】熟悉幾何體的表面積、體積的基本公式，注意直角等特殊角.題型三：直觀圖例27（2022全國高三專題練習）如圖，已知用斜二測畫法畫出的的直觀圖是邊長為的正三角形，原的面積為 _【答案】【解析】過點作軸，且

25、交軸于點，過點作軸，且交軸于點，則，所以，則，所以原三角形的高，底邊長為，其面積為故答案為：例28（2022浙江鎮(zhèn)海中學模擬預測）如圖，梯形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的面積為（）ABCD【答案】B【解析】解：由題得,所以.故選：B例29（2022全國高三專題練習）如圖，ABC是水平放置的ABC的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（）AABC是鈍角三角形BABC是等邊三角形CABC是等腰直角三角形DABC是等腰三角形，但不是直角三角形【答案】C【解析】解：將其還原成原圖，如圖，設，則可得，從而，所以，即，故是等腰直角三角形.故選：C.例30（2022全國高三專題練習）如

26、圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，則四邊形的周長為（）A20B12CD【答案】A【解析】由題設，則原四邊形中，又，故，且，所以四邊形的周長為.故選：A例31（2022全國高三專題練習（文）如圖，已知等腰直角三角形，是一個平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）ABCD【答案】D【解析】，由此可知平面圖形是如下圖所示的，其中，.故選：D.例32（2022全國高三專題練習）一個三角形的水平直觀圖在是等腰三角形，底角為，腰長為2，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點到軸距離是（）A1B2CD【答案】D【解析】過點作軸，交軸于點，如圖，在中，由正弦定理得，于是得，由斜二測畫法規(guī)則知

27、，在原平面圖形中，頂點到軸距離是.故選：D【方法技巧與總結】斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關系：題型四：最短路徑問題例33（多選題）（2022廣東廣州三模）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，且，則（）A該圓臺的高為B該圓臺軸截面面積為C該圓臺的體積為D一只小蟲從點沿著該圓臺的側面爬行到的中點，所經過的最短路程為【答案】BCD【解析】如圖，作交于，易得，則，則圓臺的高為，A錯誤；圓臺的軸截面面積為，B正確；圓臺的體積為，C正確；將圓臺一半側面展開，如下圖中，設為中點，圓臺對應的圓錐一半側面展開為扇形，由可得，則，又，則，即點到的中點所經過的最短路程

28、為，D正確.故選：BCD.例34（2022河南洛陽三模（理）在棱長為1的正方體中，點為上的動點，則的最小值為_.【答案】【解析】如圖，將正方形、鋪平在同一平面上，當三點共線時，最小，最小值為，故答案為：例35（2022黑龍江齊齊哈爾二模（文）如圖，在直三棱柱中，點E是側棱上的一個動點，則下列判斷正確的有_.（填序號）直三棱柱外接球的體積為存在點E，使得為鈍角截面周長的最小值為【答案】【解析】取中點，中點，連接，矩形中可得，平面，所以平面，所以是外心，同理是的外心，所以的中點是直三棱柱外接球的球心，由已知，又，所以，所以外接球的體積為，正確；矩形中，為直徑的圓與相切，切點為的中點，當為切點時，當

29、是上其他點時，錯誤；中，把矩形與矩形攤平，得正方形，當共線時，最短，最短為，所以截面周長的最小值為，正確故答案為：例36（2022河南二模（理）在正方體中，是線段上的一動點，則的最小值為_.【答案】【解析】如圖，連接、，將沿翻折到與在同一個平面，如下圖：已知為等邊三角形，為等腰三角形，兩個三角形有公共邊，則當P是中點時，、P、三點共線，此時取最小值故答案為：例37（2022陜西寶雞二模（文）如圖，在正三棱錐中，一只蟲子從A點出發(fā)，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是_.【答案】【解析】如圖所示，將三棱錐的側面展開，因為，所以，當蟲子沿爬行時，距離最短，又，所以蟲子爬

30、行的最短距離是.故答案為：.例38（2022安徽宣城二模（理）已知正四面體ABCD的棱長為2，P為AC的中點，E為AB中點，M是DP的動點，N是平面ECD內的動點，則的最小值是_.【答案】【解析】取中點，連接，由正四面體可知，又，面，又，面，當最小時，面，故在線段上. 由面可得，又，將沿翻折到平面上，如圖所示：易知，則，故的最小值即到的距離，即.故答案為：.例39（2022新疆阿勒泰三模（理）如圖，圓柱的軸截面ABCD是一個邊長為4的正方形.一只螞蟻從點A出發(fā)繞圓柱表面爬到BC的中點E，則螞蟻爬行的最短距離為（）ABCD【答案】C【解析】將圓柱側面展開半周，則展開矩形長為，.故選：C.例40（

31、2022云南昆明一中高三階段練習（文）一豎立在水平地面上的圓錐形物體，一只螞蟻從圓錐底面圓周上一點出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點，已知圓錐底面半徑為1，母線長為3，則螞蟻爬行的最短路徑長為（）A3BCD【答案】B【解析】將圓錐沿過點母線展開，由，若扇形圓心角為，則，所得扇形圓心角，由余弦定理得螞蟻爬行的最短路徑長為.故選：B【方法技巧與總結】此類最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c間線段最短問題【過關測試】一、單選題1（2022河北高三階段練習）已知圓錐的高為1，母線長為，則過此圓錐頂點的截面面積的最大值為（）A2BCD3【答案】D【解析】如圖是圓錐的軸截面，由題意母線，高，則，是銳角

32、，所以，于是得軸截面頂角，設截面三角形的頂角為，則過此圓錐頂點的截面面積，當兩條母線夾角為時，截面面積為為所求面積最大值，故選：D.2（2022全國模擬預測（文）若過圓錐的軸的截面為邊長為4的等邊三角形，正方體的頂點，在圓錐底面上，在圓錐側面上，則該正方體的棱長為（）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意過頂點和正方體上下兩個平面的對角線作軸截面如下所示：所以，所以，為矩形，設，所以，所以，所以，即，即，解得.故選：C.3（2022全國高三專題練習）已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且面積為4，則圓錐的體積為（）ABCD【答案】D【解析】由題設，圓錐的體高、底面半徑均為，所以圓錐的體積為.故選：D

33、4（2022廣東深圳高三階段練習）通用技術老師指導學生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺形容器，用如圖所示的圓環(huán)沿虛線剪開得到的一個半圓環(huán)（其中小圓和大圓的半徑分別是1cm和4cm）制作該容器的側面，則該圓臺形容器的高為（）AcmB1cmCcmDcm【答案】D【解析】由已知圓臺的側面展開圖為半圓環(huán)，不妨設上、下底面圓的半徑分別為，則，解得，所以圓臺軸截面為等腰梯形，其上、下底邊的長分別為和，腰長為，即,過點作,為垂足，所以， 該圓臺形容器的高為，故選：D5（2022全國高三專題練習）已知一個直三棱柱的高為2，如圖，其底面ABC水平放置的直觀圖（斜二測畫法）為，其中，則此三棱柱的表面積為（）ABCD【答案】C【

34、解析】由斜二測畫法的“三變”“三不變”可得底面平面圖如圖所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面積為.故選：C6（2022湖北天門市教育科學研究院模擬預測）已知某圓錐的側面積為，高為，則該圓錐底面圓的半徑為（）A2B3C4D6【答案】B【解析】設該圓錐底面圓的半徑為，則，故，即，解得故選：B7（2022山西大同高三階段練習）正四棱臺的上下底面的邊長分別為24，側棱長為2，則其體積為（）A56BCD【答案】B【解析】如圖所示， 在正四棱臺中，點分別為上、下底面的中心，連接，則由題意可知底面，過點作交于點，則底面，四邊形為矩形，所以，因為，所以，即正四棱臺的高為，所以正四棱臺的體積為.故選：B.8（2

35、022江西九江三模（理）如圖，一個四分之一球形狀的玩具儲物盒，若放入一個玩具小球，合上盒蓋，可放小球的最大半徑為.若是放入一個正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為，則（）ABCD【答案】D【解析】設儲物盒所在球的半徑為，如圖，小球最大半徑滿足，所以，正方體的最大棱長滿足，解得：，故選：D.9（2022浙江湖州模擬預測）如圖，已知四邊形，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，將沿對角線翻折到在翻折的過程中，下列結論中不正確的是（）AB與可能垂直C直線與平面所成角的最大值是D四面體的體積的最大是【答案】C【解析】如圖所示，取的中點，連接 是以為斜邊的等腰直角三角形, 為等邊三角形, 面 ,

36、 ,故A正確對于B，假設，又 面，又,，故與可能垂直，故B正確當面面時，此時面，即為直線與平面所成角此時，故C錯誤當面面時，此時四面體的體積最大，此時的體積為： ，故D正確故選：C10（2022全國高三專題練習）南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（）ABCD【答案】C【解析】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積棱臺上底面積，下底面積，故選：C二、多選題11（2022河北高三階段練

37、習）如圖，正方體棱長為1，P是上的一個動點，下列結論中正確的是（）A的最小值為B的最小值為C當P在直線上運動時，三棱錐的體積不變D以點B為球心，為半徑的球面與面的交線長為【答案】BCD【解析】對于A，當時，BP最小，由于到直線的距離，故A錯誤；對于B，將平面翻折到平面上，如圖，連接AC，與的交點即為點P，此時取最小值AC，在三角形ADC中，,，故B正確；對于C，由正方體的性質可得，平面，平面，到平面的距離為定值，又為定值，則為定值，即三棱錐的體積不變，故正確；對于D，由于平面，設與平面交于點，設以為球心，為半徑的球與面交線上任一點為，在以為圓心，為半徑的圓上，由于為正三角形，邊長為 ，其內切圓

38、半徑為 ，故此圓恰好為的內切圓，完全落在面內，交線長為，故正確故選：BCD.12（2022全國高三專題練習）如圖，四邊形為正方形，平面，記三棱錐，的體積分別為，則（）ABCD【答案】CD【解析】設，因為平面，則，連接交于點，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，則，則，則，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD.13（2022江蘇常州高級中學模擬預測）棱長為1的正方體中，點P為線段上的動點，點M，N分別為線段，的中點，則下列說法正確的是（）AB三棱錐的體積為定值CD的最小值為【答案】ABC【解析】選項A，連接，由正方體可知，且平面，而，又，所以平面

39、，而平面，所以，即，故A正確；選項B，連接，由點，分別為線段，的中點，得，平面，平面，故平面，即點到平面的距離為定值，又，故為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；選項C，連接，由點為線段上的動點，設，故，所以，當時，取最小值為，當時，取最大值為，故，即，故C正確；選項D，當時，的最小值為，故D錯誤.故選：ABC.14（2022湖北高三階段練習）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄決勝千里大智大勇的象征（如圖1）圖2是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧所在圓的半徑分別

40、是3和9，且，則該圓臺的（）A高為B體積為C表面積為D上底面積下底面積和側面積之比為【答案】AC【解析】解：設圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則，解得圓臺的母線長，圓臺的高為，則選項正確；圓臺的體積，則選項錯誤；圓臺的上底面積為，下底面積為，側面積為，則圓臺的表面積為，則正確；由前面可知上底面積下底面積和側面積之比為，則選項D錯誤故選：AC三、填空題15（2022全國高三專題練習）已知一三角形ABC用斜二測畫法畫出的直觀圖是面積為的正三角形(如圖)，則三角形ABC中邊長與正三角形的邊長相等的邊上的高為_【答案】【解析】設正三角形的邊長為a，a=2，=故答案為：.16（2022上海模擬預測）已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側面積為_；【答案】【解析】圓柱底面