文檔編碼:CN10N4Z7W6H5——HL10O8Y6W2K8——ZI9S5S9Z2B8第24屆全國(guó)中同學(xué)物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷（此題共七大題,滿分 160分）一、（20分）如以下圖,一塊長(zhǎng)為 L 1.00m的光滑平板PQ固定在輕質(zhì)彈簧上端,彈簧的下端與地面固定連接；平板被限制在兩條豎直光滑的平行導(dǎo)軌之間（圖中未畫出豎直導(dǎo)軌）,從而只能地豎直方向運(yùn)動(dòng)；平板與彈簧構(gòu)成的振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期 T 2.00s；一小球B放在光滑的水平臺(tái)面上,臺(tái)面的右側(cè)邊緣正好在平板 P端的正上方,到 P端的距離為 h 9.80m；平板靜止在其平穩(wěn)位置；水球B與平板PQ的質(zhì)量相等；現(xiàn)給小球一水平向右的速度 0,使它從水平臺(tái)面拋出；已知小球 B與平板發(fā)生彈性碰撞,碰撞時(shí)間極短,且碰撞過程中重力可以忽視不計(jì)；要使小球與平板 PQ發(fā)生一次碰撞而且只發(fā)生一次碰撞, 0的值應(yīng)在什么范疇內(nèi)？取 g 98.m/s 2二、（25分）圖中所示為用三角形剛性細(xì)桿AB、BC、CD連成的平面連桿結(jié)構(gòu)圖；AB 和CD桿可分別繞過A、D的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),A、D兩點(diǎn)位于同一水平線上； BC桿的兩端分別與 AB桿和CD桿相連,可繞連接處轉(zhuǎn)動(dòng)（類似鉸鏈）；當(dāng)AB桿繞A軸以恒定的角速度 轉(zhuǎn)到圖中所示的位置時(shí),AB桿處于豎直位置；BC桿與CD桿都與水平方向成 45°角,已知AB桿的長(zhǎng)度為l,BC桿和CD桿的長(zhǎng)度由圖給定；求此時(shí) C點(diǎn)加速度 a的大小和方向（用與 CD桿之間的夾角表示）三、（20分）如以下圖,一容器左側(cè)裝有活門K,右側(cè)裝有活塞B,一厚度可以忽視的隔板M將容器隔成a、b兩室,M上裝有活門K；容器、隔板、活塞及活門都是絕熱的；隔板和活塞可用銷釘固定,拔掉銷釘即可在容器內(nèi)左右平移,移動(dòng)時(shí)不受摩擦作用且不漏氣；整個(gè)容器置于壓強(qiáng)為P0、溫度為T0的大氣中；初始時(shí)將活塞B用銷釘固定在圖示的位置,隔板M固定在容器PQ處,使a、b兩室體積都等于V0；K、K關(guān)閉；此時(shí),b室真空,a室裝有確定量的空氣（容器內(nèi)外氣體種類相同,且均可視為理想氣體）,其壓強(qiáng)為4P0/5,溫度為T0；已知1mol空氣溫度上升1K時(shí)內(nèi)能的增1.現(xiàn)在打開量為CV,普適氣體常量為R；K（假定此過程中處K,待容器內(nèi)外壓強(qiáng)相等時(shí)快速關(guān)閉在容器內(nèi)的氣體與處在容器外的氣體之間無熱量交換） ,求達(dá)到平穩(wěn)時(shí),a室中氣體的溫度；2.接著打開 K,待a、b兩室中氣體達(dá)到平穩(wěn)后,關(guān)閉 K；拔掉全部銷釘,緩慢推動(dòng)活塞 B直至到過容器的 PQ位置；求在推動(dòng)活塞過程中,隔板對(duì)a室氣體所作的功；已知在推動(dòng)活塞過程中,氣體的壓強(qiáng) P與體積VCV R之間的關(guān)系為 PVCV ＝恒量；四、（25分）圖中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐標(biāo)系, 在x 0的一側(cè),存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直于oxy平面對(duì)里,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B；在x 0的一側(cè),一邊長(zhǎng)分別為 1l和2l的剛性矩形超導(dǎo)線框位于桌面上,框內(nèi)無電流,框的一對(duì)邊與x軸平行；線框的質(zhì)量為 m,自感為L(zhǎng)；現(xiàn)讓超導(dǎo)線框沿 x軸方向以初速度 v進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域,試定量地爭(zhēng)辯線框以后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情形及與初速度持超導(dǎo)狀態(tài)）v大小的關(guān)系；（假定線框在運(yùn)動(dòng)過程中始終保五、（25分）地球赤道表面鄰近處的重力加速度為 g0 9.8m/ s 2,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 B0 30. 10 5T,方向沿經(jīng)線向北；赤道上空的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與 r成反比（r為考察點(diǎn)到地心的距離）,方向與赤道鄰近的磁場(chǎng)方向平行；假設(shè)在赤道上空離地心的距離 r 5Re（R為地球半徑）處,存在厚度為10km的由等數(shù)量的質(zhì)子和電子的等離子層（層內(nèi)磁場(chǎng)可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)）,每種粒子的數(shù)密度特殊低,帶電粒子的相互作用可以忽視不計(jì)；已知電子的質(zhì)量 me 91. 10 31kg,質(zhì)子的質(zhì)量 mp 1.7 10 27kg,電子電荷量為1.6 10

19C,地球的半徑 Re 64. 10 6m；1.所考察的等離子層中的電子和質(zhì)子一方面作無規(guī)章運(yùn)動(dòng), 另一方面因受地球引力和磁場(chǎng)的共同作用會(huì)形成位于赤道平面內(nèi)的繞地心的環(huán)行電流,試求此環(huán)行電流的電流密度；2.現(xiàn)設(shè)想等離子層中全部電子和質(zhì)子,它們初速度的方向都指向地心,電子初速度的大小ue1.4104m/s,質(zhì)子初速度的大小uP34.102m/s；試通過運(yùn)算說明這些電子和質(zhì)子都不行能到到達(dá)地球表面；六、（25分）圖1所示為楊氏雙縫干涉試驗(yàn)的示意圖,取紙面為 yz平面；y、z軸的方向如以下圖；線光源S通過z軸,雙縫S1、S2對(duì)稱分布在z軸兩側(cè),它們以及屏P都垂直于紙面；雙縫間的距離為 d,光源S到雙縫的距離為l,雙縫到屏的距離為 D,d D,d l； 1.從z軸上的線光源S動(dòng)身經(jīng)S1、S2不同路徑到P0點(diǎn)的光程差為零,相干的結(jié)果產(chǎn)生一亮紋,稱為零級(jí)亮紋；為了爭(zhēng)辯有確定寬度的擴(kuò)展光源對(duì)于干涉條紋清晰度的影響,我們先爭(zhēng)辯位于軸外的線光源 S′形成的另一套干涉條紋,S′位于垂直于z軸的方向上且與S平行,兩者相距 s,就由線光源 S′動(dòng)身分別經(jīng) S1、S2產(chǎn)生的零級(jí)亮紋 P, P與P0的距離y ___________________________________ 2.當(dāng)光源寬度為 的擴(kuò)展光源時(shí),可將擴(kuò)展光源看作由一系列連續(xù)的、彼此獨(dú)立的、非相干的線光源組成；這樣,各線光源對(duì)應(yīng)的干涉條紋將彼此錯(cuò)開,在屏上看到的將是這些干涉條紋的光強(qiáng)相加的結(jié)果,干涉條紋圖像將趨于模糊,條紋的清晰度下降；假設(shè)擴(kuò)展光源各處發(fā)出的光強(qiáng)相同、波長(zhǎng)皆為 ；當(dāng) 增大導(dǎo)致零級(jí)亮紋的亮暗將完全不行辨論,就此時(shí)間源的寬度 ______________________________3.在天文觀測(cè)中,可用上述干涉原理來測(cè)量星體的微小角直徑； 遙遠(yuǎn)星體上每一點(diǎn)發(fā)出的光到達(dá)地球處都可視為平行光,從星體相對(duì)的兩邊緣點(diǎn)發(fā)來的兩組平行光之間的夾角就是星體的角直徑；遙遠(yuǎn)星體的角直徑很小,為測(cè)量如些微小的角直徑,邁克爾遜設(shè)計(jì)了測(cè)量干涉儀,其裝置簡(jiǎn)化為圖2所示；M1、M2、M3、M4是四個(gè)平面反射鏡,它們兩兩平行,對(duì)稱放置,與入射光（a、a′）方向成45°角；S1和S2是一對(duì)小孔,它們之間的距離是d；M1和M2可以同步對(duì)稱調(diào)劑來轉(zhuǎn)變其中心間的距離 h；雙孔屏到觀看屏之間的距離是著的兩邊緣點(diǎn)發(fā)來的平行光束；D；a、a′和b、b′分別是從星體上相對(duì) 設(shè)光線a、a′垂直雙孔屏和像屏,星光的波長(zhǎng)是,試導(dǎo)出星體上角直徑的運(yùn)算式；注：將星體作圓形擴(kuò)展光源處理時(shí),爭(zhēng)辯擴(kuò)展光源的線度對(duì)于干涉條紋圖像清晰度的影響會(huì)遇到數(shù)學(xué)困難,為簡(jiǎn)化爭(zhēng)辯,此題擬將擴(kuò)展光源作寬度為 的矩形光源處理；圖1 圖2

七、（20分）今年是我國(guó)著名物理學(xué)家、曾任浙江高校物理系主任的王淦昌先生產(chǎn)生一百周年；王先生早在1941年就發(fā)表論文,提出了一種探測(cè)中微子的方案：7Be原子核可以俘獲原子的LiK層電子而成為7Li的激發(fā)態(tài) 7

〔Li〕*,并放出中微子（當(dāng)時(shí)寫作η）7Bee 7

〔Li〕*而 7

〔Li〕*又可以放出光子而回到基態(tài)7〔7Li〕*7Li 由于中微子本身很難直接觀測(cè),能過對(duì)上述過程相關(guān)物理量的測(cè)量,就可以確定中微子的存在,1942年起,美國(guó)物理學(xué)家艾倫（R.Davis）等人依據(jù)王淦昌方案先后進(jìn)行了試驗(yàn),初步證明白中微子的存在； 1953年美國(guó)人萊因斯（F.Reines）在試驗(yàn)中首次發(fā)覺了中微子,萊因斯與發(fā)覺輕子的美國(guó)物理學(xué)家佩爾（M.L.Perl）共享了1995年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)；現(xiàn)用王淦昌的方案來估算中微子的質(zhì)量和動(dòng)量；如試驗(yàn)中測(cè)得鋰核（7Li）反沖能量（即7Li的動(dòng)能）的最大值ER56.6ev,光子的能量h 0.48Mev；已知有關(guān)原子核和電子靜止能量的數(shù)據(jù)為 mLic 26533.84Mev；mBec

26534.19Mev；mec20.51Mev；設(shè)在第一個(gè)過程中, 7Be核是靜止的,K層電子的動(dòng)能也可忽視不計(jì)；試由以上數(shù)據(jù),算出的中微子的動(dòng)能 P和靜止質(zhì)量m各為多少？第24屆全國(guó)中同學(xué)物理競(jìng)賽復(fù)賽試題參考解答一、參考解答：Bu0假如小球的水平速度比較大,它與平板的第一次碰撞正好發(fā)生在平板的邊緣Q處,這時(shí)u的h值便是中意題中條件的最大值；假如小球的水平速度u較小,在它與平板發(fā)生第一次碰撞后再次PQ接近平板時(shí),剛好從平板的邊緣Q處越過而不與平板接觸,這時(shí)u的值便是中意題中條件的最小值．設(shè)小球從臺(tái)面水平拋出到與平板發(fā)生第一次碰撞經(jīng)受的時(shí)間為1t,有1 2gt1Lut01（1）（2）h2如碰撞正好發(fā)生在Q處,就有從（1）、（2）兩式解得的u值便是中意題中條件的最大值,即u0maxLg（3）2h代入有關(guān)數(shù)據(jù)得u0max0.71m/s（4）假如 u0 u0max ,小球與平板的碰撞處將不在平板碰撞時(shí)在豎直方向的速度為 v,就有Q點(diǎn)．設(shè)小球第一次剛要與以v12gh（5）v、1V分別表示碰撞終止時(shí)刻小球和平板沿豎直方向的速度,由于碰撞時(shí)間極短,在碰撞過程中,小球和平板在豎直方向的動(dòng)量守恒．設(shè)小球和平板的質(zhì)量都是m,就有mv=mv1mV1（6）由于碰撞是彈性的,且平板是光滑的,由能量守恒可得1mv21 2

mu=1mv21mV121mu2（7）21221220解（6）、（7）兩式,得v10（8）（9）V1=v12gh碰撞后,平板從其平穩(wěn)位置以V為初速度開頭作簡(jiǎn)諧振動(dòng)．取固定坐標(biāo),其原點(diǎn)O與平板處于平穩(wěn)位置時(shí)板的上表面中點(diǎn)重合,x軸的方向豎直向下,如以小球和平板發(fā)生碰撞的時(shí)刻作為t0,就平板在t時(shí)刻離開平穩(wěn)位置的位移xPQAcost（10）式中A和02π（11）T是兩個(gè)待定的常量,利用參考圓方法,在t時(shí)刻平板振動(dòng)的速度因tvPQAsint（12）時(shí),xPQ0．vPQV,由（9）、（11）、（12）式可求得A2ghT（13）2π（14）2把（13）、（14）式代入（10）式,得xPQ2ghTcos2πtπ （15）2t與平

x座標(biāo)2πT2碰撞后,小球開頭作平拋運(yùn)動(dòng)．假如第一次碰撞后,小球再經(jīng)過時(shí)間板發(fā)生其次次碰撞且發(fā)生在Q處,就在發(fā)生其次次碰撞時(shí),小球的為xBt21gt2（16）22平板的x座標(biāo)為xPQt22ghTcos2πt2π（17）2πT2在碰撞時(shí),有xBt2xPQt2（18）由（16）、（17）、（18）式,代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 2

4.90t24.41cosπt2π（19）（20）（21）2這便是2t中意的方程式,通過數(shù)值運(yùn)算法求解方程可得（參見數(shù)值列表）t20.771s假如其次次碰撞正好發(fā)生在平板的邊緣Q處,就有Lu0t1t2由（1）、（20）和（21）式得而中意題中要求的u0t1Lt20.46m/s（22）u的最小值應(yīng)大于（22）式給出的值．綜合以上爭(zhēng)辯,u0的取值范疇是0.46m/su00.71m/s（23）附：（19）式的數(shù)值求解用數(shù)值解法就要代入2t不同數(shù)值,逐步靠近所求值,列表如下：xPQ2t2π0.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.84.41cosπt30506065707172758090103.33.13.02.92.92.92.92.82.82.72.4212261106108xB4.90t22.62.72.82.82.92.92.92.92.93.03.2216371114861xPQxB0.70.30.10.000-0.0-0.0-0.1-0.3-0.7069918763二、參考解答：解法一由于B點(diǎn)繞A軸作圓周運(yùn)動(dòng),其速度的大小為vBl（1）B點(diǎn)的向心加速度的大小為aB2l （2）由于是勻角速轉(zhuǎn)動(dòng),B點(diǎn)的切向加速度為 0,故 a也是B點(diǎn)的加速度,其方向沿BA方向．由于C點(diǎn)繞D軸作圓周運(yùn)動(dòng),其速度的大小用 v表示,方向垂直于桿 CD,在考察的時(shí)刻,由圖可知,其方向沿桿 BC方向．因BC是剛性桿,所以 B點(diǎn)和C點(diǎn)沿BC方向的速度必相等,故有vC vB cos π 2 l （3）4 2此時(shí)桿CD繞D軸按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),C點(diǎn)的法向加速度由圖可知CD2aCnv2

CBaCtvCBC

aCnvC（4）CD2l,由（3）、（4）式得（5）aCn22laCvBD8A其方向沿CD方向．下面來分析C點(diǎn)沿垂直于桿CD方向的加速度,即切向加速度 a．因?yàn)锽C是剛性桿,所以C點(diǎn)相對(duì)B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)只能是繞 B的轉(zhuǎn)動(dòng),C點(diǎn)相對(duì)B點(diǎn)的速度方向必垂直于桿 BC．令vCB 表示其速度的大小,依據(jù)速度合成公式有vCB vC vB由幾何關(guān)系得vCBv2v22vB2l（6）BC22由于C點(diǎn)繞B作圓周運(yùn)動(dòng),相對(duì)B的向心加速度（7）aCBv2

CBCB由于CB2l,故有aCB22

l（8）4其方向垂直桿CD.由（2）式及圖可知,B點(diǎn)的加速度沿BC桿的重量為aBBCaBcosπ（9）4所以C點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)（或D點(diǎn)）的加速度沿垂直于桿CD方向的重量aCtaCBaBBC322la與切向加速度（10）4C點(diǎn)的總加速度為C點(diǎn)繞D點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的法向加速度aCt的合加速度,即aCa2a2742

l（11）CnCt8a的方向與桿CD間的夾角解法二：通過微商求arctanaCtarctan680.54C（12）aCnC點(diǎn)加速度yB以固定點(diǎn)A為原點(diǎn)作始終角坐標(biāo)系2l,CD22l,ADDxAxy,Ax軸與AD重合,Ay與AD垂直．任A意時(shí)刻t,連桿的位形如以下圖,此時(shí)各桿3l,的位置分別用,和表示,且已知ABl,BCd

dt,C點(diǎn)坐標(biāo)表示為（1）Cxlcos2cosyClsin2sin（2）將（1）、（2）式對(duì)時(shí)間t求一階微商,得dxCllsind2sind（3）dtdtdtdyCcosd2cosd（4）dtdtdt把（3）、（4）式對(duì)時(shí)間t求一階微商,得d2xCllcosd2sind222cosd22sind22（5）dt2dtdtdtdtd2yCsind2cosd222sind22cosd22（6）dt2dtdtdtdt依據(jù)幾何關(guān)系,有CDsinABsinBCsin3lCDcosABcosBCcos即22sin3sin2sin（7）22coscos2cos（8）將（7）、（8）式平方后相加且化簡(jiǎn),得2sinsin2coscos13cos32cosd20,得（9）對(duì)（9）式對(duì)時(shí)間t求一階微商,代入π

2,π

4,dt（10）ddt2對(duì)（9）式對(duì)時(shí)間t求二階微商,并代入上述數(shù)據(jù),得將（10）、（11）式以及,d232（11）dt28,ddt的數(shù)值代入（5）、（6）式,得d2xC5l2dt28d2yC7l2dt28所以由圖知,aCd2xC2d2yC274l2（12）dt2dt28a與x軸的夾角為tand2yCd2xC1.4（13）dt2dt2所以求得這個(gè)夾角在第三象限,為arctan1.454.46（14）234.46,故a與CD的夾角=80.54三、參考解答： 1．設(shè)a室中原有氣體為 mol,打開K1后,有一部分空氣進(jìn)入 a室,直到K1關(guān)閉時(shí),a室中氣體增加到 mol,設(shè)a室中增加的 mol氣體在進(jìn)入容器前的體積為 V,氣體進(jìn)入a室的過程中,大氣對(duì)這部分氣體所作的功為Ap0V（1）（2）（3）（4）（5）（6）用T表示K1關(guān)閉后a室中氣體達(dá)到平穩(wěn)時(shí)的溫度,就a室中氣體內(nèi)能增加量為UCVTT0由熱力學(xué)第確定律可知UA由理想氣體狀態(tài)方程,有4pV0 0RT05p0VRT0pV0RT由以上各式解出 5 CV R

T 5CV 4R T0 （7） 2．K2打開后,a室中的氣體向 b室自由膨脹,因系統(tǒng)絕熱又無外界做功,氣體內(nèi)能不變,所以溫度不變（仍為T）,而體積增大為原先的 2倍．由狀態(tài)方程知,氣體壓強(qiáng)變?yōu)閜1p0（8）2關(guān)閉K2,兩室中的氣體狀態(tài)相同,即papbp,TaTbT,VaVbV,且ab1（9）2拔掉銷釘后,緩慢推動(dòng)活塞B,壓縮氣體的過程為絕熱過程,達(dá)到最終狀態(tài)時(shí),設(shè)兩室氣體的壓強(qiáng)、體積和溫度分別為p、p、V、V、T、T,就有CVRCVR（10）pVaCVpVaCVCVRCVR（11）pVbCVpVbCV由于隔板與容器內(nèi)壁無摩擦,故有papb（12）由理想氣體狀態(tài)方程,就有pVaaRTa（13）pVbbRTb（14）因VaVbV0（15）由（8）～（15）式可得VaVb1

2V0（16）TaTbR（17）2CVT 在推動(dòng)活塞壓縮氣體這一絕熱過程中,隔板對(duì)a室中氣體內(nèi)能的增加,即a室氣體作的功W等于W1CVTaT（18）2由（6）、（17）和（18）式得WCV2R1pV0（19）CV2R四、參考解答：設(shè)某一時(shí)刻線框在磁場(chǎng)區(qū)域的深度為2l1lv0Oyxxxxl1,速度為v,因線框的一條邊切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為EvvBl2,它在線框中引起感應(yīng)電流,感應(yīng)電流的變化又引起自感電動(dòng)勢(shì)．設(shè)線框的電動(dòng)勢(shì)和電流的正方向均為順時(shí)針方向,就切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)vE與設(shè)定的正方向相反,自感電動(dòng)勢(shì)ELLi與設(shè)定的正方向相同.LivBl2iRt因線框處于超導(dǎo)狀態(tài),電阻R0,故有ELEvt即LiBl2x0（2）tt或Bl2xLi（3）即iBl2（4）xL可見i與x成線性關(guān)系,有iBl2xC（5）（6）LC為一待定常數(shù),留意到x0時(shí),i0,可得C0,故有iBl2xLx0時(shí)i0,電流為負(fù)值表示線框中電流的方向與設(shè)定的正方向相反,即在線框進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)右側(cè)邊的電流實(shí)際流向是向上的．外磁場(chǎng)作用于線框的安培力其大小與線框位移fBl2iB2l22x（7）Lx成正比,方向與位移x相反,具有“彈性力”的性質(zhì)．下面分兩種情形做進(jìn)一步分析： （i）線框的初速度 v較小,在安培力的作用下,當(dāng)它的速度減為0時(shí),整個(gè)線框未全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū),這時(shí)在安培力的連續(xù)作用下,線框?qū)⒎聪蜻\(yùn)動(dòng),最終退出磁場(chǎng)區(qū)．線框一進(jìn)一出的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的半個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng),振動(dòng)的圓頻率 22

Bl2Lm（8）周期T 2π Lm 2 2 （9） Bl2振動(dòng)的振幅可由能量關(guān)系求得,令 x表示線框速度減為 0時(shí)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)的深度,這時(shí)線框的初始動(dòng)能全部轉(zhuǎn)換為“彈性力”的“彈性勢(shì)能” ,由能量守恒可得1mv2122Bl2 2

xm（10）202L得xmLmv2

0（11） 22

Bl2故其運(yùn)動(dòng)方程為xv0LmsinBl2t,t從0到πLm（12）Bl2LmBl2半個(gè)周期后,線框退出磁場(chǎng)區(qū),將以速度況下x的最大值是1l,即v向左勻速運(yùn)動(dòng)．由于在這種情1mv2122Bl2 2

l1（13）202L由此可知,發(fā)生第（i）種情形時(shí),v的值要中意下式12mv01Bl22 2

l1（14）（15）222L即v0Bll12mL〔ii〕如線框的初速度v比較大,整個(gè)線框能全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)．當(dāng)線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)時(shí),其速度仍大于0,這要求v中意下式v0Bll21mL當(dāng)線框的初速度中意（15）式時(shí),線框能全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū),在全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域以前,線框的運(yùn)動(dòng)方程與（12）式相同,但位移區(qū)間是x0到xl,所以時(shí)間間隔與（12）式不同,而是從0到（16）t1LmarcsinBll122Bl2Lmv0由于線框的總電動(dòng)勢(shì)總是為0,所以一旦線框全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域,線框的兩條邊都切割磁感應(yīng)線,所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)之和為 0,因而自感電動(dòng)勢(shì)也為0．此后線框中保護(hù)有最大的電流 im Bl2l1,磁場(chǎng)對(duì)線框兩條邊的安培L力的合力等于零,線框?qū)⒃诖艌?chǎng)區(qū)域勻速前進(jìn),運(yùn)動(dòng)的速度可由下式準(zhǔn)備1mv21mv21 22Bl2l220221L即vv2

0 22

Bll2（17）2Lm五、參考解答：解法一：1.由于等離子層的厚度遠(yuǎn)小于地球的半徑,故在所考察的等離子區(qū)域內(nèi)的引力場(chǎng)和磁場(chǎng)都可視為勻強(qiáng)場(chǎng).在該區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度BR03B03.0105T -7

2.410Tr125 （1）引力加速度gR02g09.8m/s2250.39m/s2（2）yr考察等離子層中的某一質(zhì)量為m、電荷z量為q、初速度為u的粒子,取粒子所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O,作始終角坐標(biāo)系Oxyz,Ox軸指向地球中心,Oz沿磁場(chǎng)方向,如圖1所v0uxuzuyv0uyv0示.該粒子的初速度在坐標(biāo)系中的三個(gè)重量O分別為ux、uy和uz.因作用于粒子的引力沿 x軸正方向,作用于粒子的洛倫茲力與 z軸垂v直,故粒子在z軸方向不受力作用,沿z軸x圖1的分速度保持不變.現(xiàn)設(shè)想在開頭時(shí)刻,附加給粒子一沿y軸正方向大小為v0的速度,同時(shí)附加給粒子一沿y軸負(fù)方向大小為v0的速度,要求與其中一個(gè)v0相聯(lián)系的洛倫茲力正好與粒子所受的地球引力相平穩(wěn),即qv0Bmg得用v表示ux與沿y軸的速度uyv0mg

qBv的合速度（對(duì)質(zhì)子取正號(hào),對(duì)電子取負(fù)號(hào)）,有vu2uyv02x （4）

這樣,所考察的粒子的速度可分為三部分：

沿z軸的分速度 u．其大小和方向都保持不變,但對(duì)不同的粒子是不同的,屬于等離子層中粒子的無規(guī)章運(yùn)動(dòng)的速度重量．沿y軸的速度v．對(duì)帶正電的粒子,速度的方向沿y軸的負(fù)方向,對(duì)帶負(fù)電的粒子,速度的方向沿y軸的正方向．與這速度聯(lián)系的洛倫茲力正好和引力抵消,故粒子將以速率 v沿y軸運(yùn)動(dòng)．由（3）式可知, v的大小是恒定的,與粒子的初速度無關(guān),且對(duì)同種的粒子相同．在Oxy平面內(nèi)的速度v．與這速度聯(lián)系的洛倫茲力使粒子在 Oxy平面內(nèi)作速率為v的勻速率圓周運(yùn)動(dòng),如以R表示圓周的半徑,就有qBmv2R得Rmv（5）qB由（4）、（5）式可知,軌道半徑不僅與粒子的質(zhì)量有關(guān),而且與粒子的初速度的x重量u和y重量u有關(guān)．圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向是隨時(shí)間變化的,在圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)的平均速度等于0． 由此可見,等離子層內(nèi)電子和質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)雖然相當(dāng)復(fù)雜,但每個(gè)粒子都具有由（3）式給出的速度 v,其方向垂直于粒子所在處的地球引力方向,對(duì)電子,方向向西,對(duì)質(zhì)子,方向向東．電子、質(zhì)子這種運(yùn)動(dòng)稱為漂移運(yùn)動(dòng),對(duì)應(yīng)的速度稱為漂移速度．漂移運(yùn)動(dòng)是粒子的定向運(yùn)動(dòng),電子、質(zhì)子的定向運(yùn)動(dòng)就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流． 由（3）式和（1）、（2）兩式以及有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子和質(zhì)子的漂移速度分別為v0pv0e9.2106m/s（6）1.7102m/s （7）

由于電子、質(zhì)子漂移速度的方向相反,電荷異號(hào),它們產(chǎn)生的電流方向相同,均為沿緯度向東.依據(jù)電流密度的定義有jnqv0pv0e（8）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得電流密度的方向沿緯度向東.j2.81014A/m2（9）2．上一小題的爭(zhēng)辯說明,粒子在Oxy平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的速率由（4）式給出,它與粒子的初速度有關(guān)．對(duì)初速度方向指向地心的粒子,圓周運(yùn)動(dòng)的速率為vu2

xv2

0（10）由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入題給的有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子、質(zhì)子的軌道半徑分別為Re0.33m（11）Rp14.8m（12）以上的運(yùn)算說明,雖然粒子具有沿引力方向的初速度,但由于粒子仍受到磁場(chǎng)的作用,電子和質(zhì)子在地球半徑方向的最大下降距離分別為2Re 0.66m和2Rp 29.6m,都遠(yuǎn)小于等離子層的厚度,所考察的電子和質(zhì)子仍在等離子層內(nèi)運(yùn)動(dòng),不會(huì)落到地面上 .解法二：.1.由于等離子層的厚度遠(yuǎn)小于地球半徑,故在所考察等離子區(qū)域內(nèi)的引力場(chǎng)和磁場(chǎng)都可視為勻強(qiáng)場(chǎng)引力加速度.在該區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度BR033.0105T2.410T（2）（1）B0r125gR029.8m/s2520.39m/s2g0r考察等離子層中的某一質(zhì)量為m,電荷量xOzvyy為q、初速度為u的粒子,取粒子所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O,作始終角坐標(biāo)系Oxyz,Ox軸指向vz地球中心,Oz沿磁場(chǎng)方向,如圖1所示.該粒子的初速度在坐標(biāo)系中的三個(gè)重量分別為ux、vx圖1uy和uz.如以 v、v、v表示粒子在任意時(shí)刻的速度v在x方向、y方向和z方向的分速度,t就帶電粒子在引力和洛倫茲力的共同作用下的運(yùn)動(dòng)方程為mdvxmgqvyBqBvymgdtqB（3）mdvz0mdvyqvxB（4）dtdt（5）（5）式說明,所考察粒子的速度在作變量代換,令z軸上的重量保持不變,即VxvxVyvyv0 （7）

其中v0mg（8）qB把（7）、（8）式代入（3）、（4）式得mdVyqVBmdVxqBVy（9）dtdt（10）為由（9）、〔10〕兩式可知,作用于粒子的力 F在x和y方向的重量分別Fx qBVyFy qBVx如用1表示F的方向與x軸的夾角,2表示V的方向與x軸的夾角,而V 2VxV,就有tan 1 Fy VxFx VyVytan 2Vx可見 tan 1 tan 2 1,說明F的方向與V的方向垂直,粒子將在 F的作用下在Oxy平面內(nèi)作速率為 V的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．如以 R表示圓周的半徑,就有2qVB mVRR mV （11） qB在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中,V的大小是不變的,任何時(shí)刻V的值也就是 t 0時(shí)刻V的值,由（7）式和已知條件在 t 0時(shí)刻有Vx ux Vy uy v0故有Vu2

xuyv02（12）以上爭(zhēng)辯說明,粒子的運(yùn)動(dòng)可分成三部分：依據(jù)（6）式vzuz,可知粒子沿z軸的分速度大小和方向都保持不變,但對(duì)不同的粒子是不同的,屬于等離子層中粒子的無規(guī)章運(yùn)動(dòng)的速度重量．依據(jù)（7）式可得vxVx,vyVyv,說明粒子在Oxy平面內(nèi)以速率V作圓周運(yùn)動(dòng)的同時(shí),又以速度v沿y軸運(yùn)動(dòng)．V、V是圓周運(yùn)動(dòng)速度的x重量和y重量．圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑不僅與粒子的質(zhì)量有關(guān),而且與粒子的初速度的x重量 u和y重量 u有關(guān)．圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向是隨時(shí)間變化的, 在圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)的平均速度等于 0．沿y軸的速度 v由（8）式給出,其大小是恒定的,與粒子的初速度無關(guān),同種粒子相同,但對(duì)帶正電的粒子,其方向沿 y軸的負(fù)方向,對(duì)帶負(fù)電的粒子,其方向沿 y軸的正方向．由此可見,等離子層內(nèi)電子和質(zhì)子雖然相當(dāng)復(fù)雜,但每個(gè)粒子都具有由（8）式給出的速度 v,其方向垂直于粒子所在處的地球引力,對(duì)電子,方向向西,對(duì)質(zhì)子,方向向東．電子、質(zhì)子這種運(yùn)動(dòng)稱為漂移運(yùn)動(dòng),對(duì)應(yīng)的速度稱為漂移速度．漂移運(yùn)動(dòng)是粒子的定向運(yùn)動(dòng),電子、質(zhì)子的定向運(yùn)動(dòng)就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流．由（8）式和（1）、（2）兩式以及有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子和質(zhì)子的漂移速度分別為v0e 6

9.210m/s（13）v0p1.7102m/s（14）由于電子、質(zhì)子漂移速度的方相反,電荷異號(hào),它們產(chǎn)生的電流方向相同,均為沿緯度向東.依據(jù)電流密度的定義有jnqv0pv0e（15）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得j2.81014A/m2（16）電流密度的方向沿緯度向東 .2．上一小題的爭(zhēng)辯說明,粒子在Oxy平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的速率由（12）式給出,它與粒子的初速度有關(guān)．對(duì)初速度方向指向地心的粒子,圓周運(yùn)動(dòng)的速率為V ux v0 （17） 2 2因題給出的電子與質(zhì)子的初速度 u是不同的,電子、質(zhì)子的質(zhì)量又是不同的,故電子、質(zhì)子在Oxy平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也是不同的． 由（1）、（2）、（8）、（11）、（12）各式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子、質(zhì)子的軌道半徑分別為Re 0.33m（18）Rp 14.8m（19）以上的運(yùn)算說明,雖然粒子具有沿引力方向的初速度,但由于粒子仍受到磁場(chǎng)的作用,電子和質(zhì)子在地球半徑方向的最大下降距離分別為2Re 0.66m和2Rp 29.6m ,都遠(yuǎn)小于電離層的厚度,所考察的電子和質(zhì)子仍在等離子層內(nèi)運(yùn)動(dòng),不會(huì)落到地面上 .六、參考解答：1． D sll2．d附1、2兩問的參考解法：1．求S經(jīng)雙縫產(chǎn)生的干涉圖像的零級(jí)亮紋 P的位置設(shè) 0P點(diǎn)的坐標(biāo)為 y,它也就是光源S與S分別對(duì)應(yīng)的干涉條紋的零級(jí)亮紋之間的距離,即PP0 y y0 0 y0由雙縫到 0P點(diǎn)的光程差 1 SP0 SP,從 S作SP的垂線交于 H點(diǎn),三角形OPP與三角形 SHS相像,因D d,就d d1 y0 y （附1）D DyP02 S1 y0GS

S s d OS2

H1

P0

zl D 圖1從S作SS的垂線交于G,S到雙縫的光程差GS1ddss0（附2）2SS2SS1三角形SS與三角形SGS相像,因ld,就（附3）2SS2SGGS1l對(duì)中意零光程差條件的P而言,2ydSS2SP0SS1SP01Dl得yDs（附4）l2．在線光源情形下,可以導(dǎo)出雙縫干涉的相鄰兩亮紋的間距為 D

y （附5） d

s值不同對(duì)應(yīng)著擴(kuò)展光源中不同位置的線光源．不難證明,它們經(jīng)雙

縫產(chǎn)生干涉條紋的間距 y均如（5）式所示．寬度為 w的擴(kuò)展光源是由一系列 s值不同的、連續(xù)分布的、相互獨(dú)立的線光源構(gòu)成．因此擴(kuò)展光源在

觀看屏上產(chǎn)生的干涉圖像的強(qiáng)度是由每個(gè)線光源產(chǎn)生干涉條紋的強(qiáng)度相加而成．當(dāng)擴(kuò)展光源寬度為代入（4）式如w時(shí),對(duì)于光源最邊緣點(diǎn)有sw（附6）yDlw（附7）yy（附8）就相當(dāng)于擴(kuò)展光源最邊緣的線光源產(chǎn)生的干涉條紋錯(cuò)開了一個(gè)條紋間距．由于擴(kuò)展光源各部分產(chǎn)生的干涉條紋的光強(qiáng)分布都相同,各套干涉條紋強(qiáng)度相加的結(jié)果使屏上各處光強(qiáng)相等,變得一片模糊而無法辨論．由（5）式和（7）式,求得為使條紋能被辨論,擴(kuò)展光源答應(yīng)的最大寬度wl（附9）d3．a(chǎn)hHMM1d雙孔屏觀看屏Pb解法一y如圖2所示,aa是由擴(kuò)展光源上S1端邊緣發(fā)出的平行光,bb是由擴(kuò)展光a3S2圖2P0源下端邊緣發(fā)出的平行光．設(shè)ab光線M4交于M點(diǎn),ab光線交于M點(diǎn)．a(chǎn)a光束中的光線a經(jīng)過MMSP到達(dá)觀看屏M2上P點(diǎn)；光線a經(jīng)過MMSP到達(dá)觀看屏上P點(diǎn),兩相干光波產(chǎn)生干涉,在b觀看屏上產(chǎn)生一套干涉條紋．同理,平行光束bb在觀看屏上產(chǎn)生另一套干涉條紋．從擴(kuò)展光源不同部位發(fā)出的、傾角在0和 之間不同角度入射的平行光束,經(jīng)邁克爾遜測(cè)星儀相應(yīng)的反射鏡走過不同路徑到雙孔,然后在觀看屏上產(chǎn)生很多套干涉條紋．這些干涉條紋光強(qiáng)度彼此相加,屏幕上就形成了光強(qiáng)度的分布圖像．依據(jù)第 2問的結(jié)果,其清晰度取決于來自擴(kuò)展光源上下邊緣發(fā)出的平行光 aa與bb分別在屏幕上產(chǎn)生兩套干涉條紋的相對(duì)位置錯(cuò)開的程度． 由對(duì)稱性考慮,平行光束aa中兩條光線a和a在觀看屏上 P的光程差為0,即平行光aa產(chǎn)生的那套干涉條紋的零級(jí)亮紋就在 P處．現(xiàn)爭(zhēng)辯以傾角斜入射的平行光束 bb通過整個(gè)光學(xué)裝置后,在觀看屏上某點(diǎn)發(fā)生干涉時(shí)的 S,光線b從M點(diǎn)光程差．光束bb中的光線b入射M1的光線經(jīng)M3反射到達(dá)算起,所經(jīng)光程為 MM3 MS；光線b入射M2的光線經(jīng)M4反射到達(dá) S,光線b從M點(diǎn)算起,所經(jīng)光程為 MM4 MS．由對(duì)稱性可得 MM3 MS1 MM4 MS2 （1）也就是說從M1和M2算起,光線b和b到達(dá) S與S的光程是相等的,但是光線b和b在到達(dá)M1和M2時(shí),二者的相位卻不同．由 M作斜入射光線 bM的垂線交H點(diǎn),

M與H相位相等,因此,斜入射的兩條平行光線 b和b到達(dá)S1和S2時(shí)的相位差是光程差 HM引起的 1 MMS2 HMMS1 HM1 h （2）從擴(kuò)展光源下邊緣發(fā)出的平行光束斜入射到測(cè)星干涉儀,經(jīng)雙孔后發(fā)出的

相干光在觀看屏上坐標(biāo)為 y（坐標(biāo)原點(diǎn)取在 P上）的P點(diǎn)上引起的光程差 d

1 1 h y （3） D其零級(jí)亮紋所在位置 P對(duì)應(yīng)的光程差 0,故 0P的坐標(biāo)y0 h D （4） d這也就是平行光 aa與bb產(chǎn)生的干涉條紋的零級(jí)亮紋（也是兩套條紋）錯(cuò)開的距離yhD（5）d因在線光源情形下,可以導(dǎo)出雙孔干涉的相鄰兩亮紋的間距為yD

d（6）當(dāng)二者錯(cuò)開一個(gè)條紋間隔時(shí),即yy,代入（6）式（星光波長(zhǎng)接受）,得h（7）遠(yuǎn)處的星體作為擴(kuò)展光源發(fā)出的光經(jīng)過“測(cè)星儀”到達(dá)雙孔,在屏上觀看到干涉條紋的清晰度下降,由小到大調(diào)劑 M1、M2距離h,當(dāng)屏幕上條紋消逝時(shí),登記此時(shí)h的值代入（7）式就可確定擴(kuò)展光源角直徑 的大?。ⅲ簩?shí)際星體都看作均勻亮度的圓形擴(kuò)展光源,通過調(diào)劑 h使屏幕上的干涉條紋消逝,即各處強(qiáng)度完全相等時(shí),通過數(shù)學(xué)運(yùn)算,用邁克爾遜測(cè)星儀測(cè)量得的星體角直徑1.22h．解法二如圖3所示,對(duì)M1、M3而言,找出 S對(duì)M的中間像 S和對(duì) M所成的像S以及光線a在M1、M3的反射點(diǎn)F和G．由物像的對(duì)稱性可知 GS1 GS,FS1 FS,故FS1 FG GS1即從光線a上一點(diǎn)到 S和到 S的光程相等．同理可證,從光線b上一點(diǎn)到 S1和到 S的光程相等；對(duì)M2、M4（未畫出）而言,從光線a上一點(diǎn)到 S和到 S2的光程相等；從光線 b上一點(diǎn)到 S和到 S的光程相等．a(chǎn)FM1S1bHblS1bhM3G S1S1圖3 圖4S2b因此, 光線 a到S處與光線a到S處引起的光程差 al與沒有反射鏡M1、M2時(shí)兩光線到 S、S處的光程相等．因 a、a垂直雙孔屏,故la 0 （1）通過雙孔 S、S后,光線a、a在 0P的光程差la 0 （2）平行光束 bb斜入射時(shí),可從 S、S處求b、b兩光線到達(dá) S、S處的光程差 bl．由 S作bS的垂線 SH（見圖4）,bl HS1 hs