文檔編碼:CJ9B1Q5I6D5——HA3C7V2L3S3——ZK2Z8Z8X5B4立體幾何中的探索性問題一、探究平行關系1．[2022·棗強中學模擬]如以下圖,在正四棱柱 A1C中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內部運動,就 M只需中意條件________,就有MN∥平面B1BDD1.〔注：請?zhí)钌弦粋€你認為正確的條件,不必考慮全部可能的情形〕答案：M位于線段FH上〔答案不唯獨〕[解析]連接HN,FH,FN,就FH∥DD1,HN∥BD,FH∩HN＝H,DD1∩BD＝D,∴平面FHN∥平面B1BDD1,故只要M∈FH,就MN.平面FHN,且MN∥平面B1BDD1.2.如以下圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點．〔1〕求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； 〔2〕在棱C1D1上是否存在一點結論．F,使B1F∥平面A1BE？證明你的解：〔1〕如以下圖,取 AA1的中點M,連接EM,BM.由于E是DD1的中點,四邊形ADD1A1為正方形,所以EM∥AD.〔2分〕 又在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1,

所以EM⊥平面ABB1A1,從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影,∠EBM為BE和平面ABB1A1所成的角．〔4分〕設正方體的棱長為 2,就EM＝AD＝2,BE＝ 22＋22＋12＝3.于是,在Rt△BEM中,sin∠EBM＝EMBE＝23,〔5分〕即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為23.〔6分〕〔2〕在棱C1D1上存在點F,使B1F∥平面A1BE. 事實上,如圖〔b〕所示,分別取B1F,EG,BG,CD1,FG.

因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1＝C1D1和CD的中點F,G,連接BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,

因此D1C∥A1B.又E,G分別為D1D,CD的中點,

所以EG∥D1C,從而EG∥A1B.這說明A1,B,G,E四點共面．所以〔8分〕BG.平面A1BE. 因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形,F,G分別為C1D1和CD的中點,

所以FG∥C1C∥B1B,且FG＝C1C＝B1B,

因此四邊形B1BGF是平行四邊形,所以 B1F∥BG,

〔10分〕

而B1F.平面A1BE,BG.平面A1BE,

故B1F∥平面A1BE.〔12分〕

3．如圖,四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,PD＝DC＝4,AD＝2,E為PC的中點．〔1〕求三棱錐A-PDE的體積；〔2〕AC邊上是否存在一點M,使得PA∥平面EDM？如存在,求出AM的長；如不存在,請說明理由．解析：〔1〕∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.又∵ABCD是矩形,

∴AD⊥CD.∵PD∩CD＝D,

∴AD⊥平面PCD,

∴AD是三棱錐A-PDE的高．∵E為PC的中點,且PD＝DC＝4,

∴S△PDE＝12S△PDC＝12× 1 2×4×4＝4. 又AD＝2,

3×2×4＝83.∴VA－PDE＝13AD·S△PDE＝1

〔2〕取AC中點M,連接EM,DM,∵E為PC的中點,M是AC的中點,∴EM∥PA.又∵EM.平面EDM,PA.平面EDM,

∴PA∥平面EDM.5.∴AM＝12AC＝ 即在AC邊上存在一點M,使得PA∥平面EDM,AM的長為 5.4.如以下圖,在三棱錐P-ABC中,點D,E分別為PB,BC的中點．在線段AC上是否存在點F,使得AD∥平面PEF？如存在,求出AFFC的值；如不存在,請說明理由．解：假設在AC上存在點F,使得AD∥平面PEF,連接DC交PE于G,連接FG,如以下圖．∵AD∥平面PEF,平面ADC∩平面PEF＝FG,∴AD∥FG.又∵點D,E分別為PB,BC的中點,∴G為△PBC的重心,∴AFFC＝ FC＝12.GC＝12.故在線段AC上存在點F,使得AD∥平面PEF,且AF5．[2022·北京卷]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.〔1〕求證：DC⊥平面PAC.〔2〕求證：平面PAB⊥平面PAC.〔3〕設點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF？說明理由．解：〔1〕證明：由于PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又由于DC⊥AC,所以DC⊥平面PAC.〔2〕證明：由于AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.由于PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB,所以AB⊥平面PAC,所以平面PAB⊥平面PAC.〔3〕棱PB上存在點F,使得PA∥平面CEF.證明如下：取PB的中點F,連接EF,CE,CF.由于E為AB的中點,所以EF∥PA.又由于PA.平面CEF,所以PA∥平面CEF.6．[2022·四川卷]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝12AD.〔1〕在平面PAD內找一點M,使得直線CM∥平面PAB,并說明理由；〔2〕證明：平面PAB⊥平面PBD.解：〔1〕取棱AD的中點M〔M∈平面PAD〕,點M即為所求的一個點．理由如下：由于AD∥BC,BC＝12AD,所以BC∥AM,且BC＝AM,所以四邊形AMCB是平行四邊形,從而 CM∥AB.又AB.平面PAB,CM.平面PAB,所以CM∥平面PAB.〔說明：取棱PD的中點N,就所找的點可以是直線 MN上任意一點〕〔2〕證明：由已知,PA⊥AB,PA⊥CD.由于AD∥BC,BC＝12AD,所以直線AB與CD相交,所以PA⊥平面ABCD,從而PA⊥BD.由于AD∥BC,BC＝12AD,所以BC∥MD,且BC＝MD,所以四邊形BCDM是平行四邊形,所以BM＝CD＝12AD,所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A,所以BD⊥平面PAB.又BD.平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.7.[2022 ·陽泉模擬]如圖7-41-10,在四棱錐P-ABCD中,BC∥AD,BC＝1,AD＝3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.〔1〕求證：AC⊥PD.〔2〕在線段PA上是否存在點E,使BE∥平面PCD？如存在,求出PEPA的值；如不存在,請說明理由．解：〔1〕證明：∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD＝CD,AC⊥CD,AC.平面ABCD,∴AC⊥平面PCD,∵PD.平面PCD,∴AC⊥PD.〔2〕在線段PA上存在點E,使BE∥平面PCD,且PEPA＝13.下面給出證明：

∵AD＝3,BC＝1,

∴在△PAD中,分別取PA,PD靠近點P的三等分點E,F,連接EF,BE,CF.∵PEPA＝PFPD＝13,∴EF∥AD,且EF＝13AD＝1.又∵BC∥AD,∴BC∥EF,且BC＝EF,

∴四邊形BCFE是平行四邊形,

∴BE∥CF,又∵BE.平面PCD,CF.平面PCD,∴BE∥平面PCD.8．〔10分〕[2022·河南中原名校聯考]如以下圖,在四棱錐S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△SAD是等邊三角形,且SD＝2,BD＝23,AB＝2CD＝4.〔1〕證明：平面SBD⊥平面SAD. 〔2〕如E是SC上的一點,當E點位于線段SC上什么位置時,SA∥平面EBD？請證明你的結論．〔3〕求四棱錐S-ABCD的體積．解：〔1〕證明：∵△SAD是等邊三角形,

∴AD＝SD＝2,又BD＝23,AB＝4,

∴AD2＋BD2＝AB2,∴BD⊥AD,

又∵平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD＝AD.∴BD⊥平面SAD.又BD.平面SBD,∴平面SBD⊥平面SAD.〔2〕當E為SC的三等分點,即 ES＝2CE時,結論成立．證明如下：連接 AC交BD于點H,連接EH.∵CD∥AB,CD＝12AB,

∴CHHA＝12＝CEES,∴HE∥SA.又SA.平面EBD,HE.平面EBD,

∴SA∥平面EBD.〔3〕過S作SO⊥AD,交AD于點O.∵△SAD為等邊三角形,∴O為AD的中點,∴SO＝ 3.易證得SO⊥平面ABCD,∴V四棱錐S-ABCD＝13S梯形ABCD· SO.∵S梯形ABCD＝12×〔2＋4〕× 3＝33,∴V四棱錐S-ABCD＝3.二、探究垂直關系1．如以下圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分別是線段PB,PC上的動點,就以下說法錯誤選項〔〕 A．當AE⊥PB時,△AEF確定為直角三角形

B．當AF⊥PC時,△AEF確定為直角三角形

C．當EF∥平面ABC時,△AEF確定為直角三角形

D．當PC⊥平面AEF時,△AEF確定為直角三角形

答案：B [解析]已知PA⊥底面ABC,就PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB＝A,

就BC⊥平面PAB,BC⊥AE. 當AE⊥PB時,又PB∩BC＝B,就AE⊥平面PBC,就AE⊥EF,A正確． 當EF∥平面ABC時,又EF.平面PBC,平面PBC∩平面ABC＝BC,就EF∥BC,故EF⊥平面PAB,就AE⊥EF,故C正確． 當PC⊥平面AEF時,PC⊥AE,又BC⊥AE,PC∩BC＝C,就AE⊥平面PBC,就AE⊥EF,故D正確．用排除法可知選 B.2．如以下圖,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,側棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC＝2a,BB1＝3a,D是A1C1的中點,點F在線段AA1上,當AF＝________時,CF⊥平面B1DF. 答案：a或2a [解析]由題意易知,B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可．當CF⊥DF時,設AF＝x,就A1F＝3a－x.由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得ACA1F＝AFA1D,即3a－x＝xa,整理得x2－3ax＋2a2＝0,解得x＝a或x＝2a.3．如以下圖,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點,E,F分別是點A在PB,PC上的正投影,給出以下結論：①AF⊥PB；

②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結論的序號是________．答案：①②③[解析]由題意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又AC⊥BC,PA∩AC＝A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC＝C,∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.又AE⊥PB,AE∩AF＝A,∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF.故①②③正確．4.如以下圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,E為線段AD1的中點,F為線段BD1的中點. 〔1〕求證：EF∥平面ABCD；

〔2〕設M為線段C1C的中點,當D1DAD的比值為多少時,DF⊥平面D1MB？并說明理由． 解析：〔1〕證明：∵E為線段AD1的中點,F為線段BD1的中點,∴EF∥AB.∵EF.平面ABCD,AB.平面ABCD,

∴EF∥平面ABCD.〔2〕當D1DAD＝ 2時,DF⊥平面D1MB.∵ABCD是正方形,

∴AC⊥BD.∵D1D⊥平面ABC,

∴D1D⊥AC.∴AC⊥平面BB1D1D,

∴AC⊥DF.∵F,M分別是BD1,CC1的中點,∴FM∥AC.∴DF⊥FM.∵D1D＝ 2AD,

∴D1D＝BD.∴矩形D1DBB1為正方形．∵F為BD1的中點,

∴DF⊥BD1.∵FM∩BD1＝F,

∴DF⊥平面D1MB.5.如圖〔1〕,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點,將△使A1F⊥CD,如圖〔2〕．ADE沿DE折起到△A1DE的位置, 〔1〕 〔2〕〔1〕求證：DE∥平面A1CB.〔2〕求證：A1F⊥BE.〔3〕線段A1B上是否存在點Q,使A1C⊥平面DEQ？說明理由．解：〔1〕∵D,E分別為AC,AB的中點,

∴DE∥BC.〔2分〕

又∵DE.平面A1CB,

∴DE∥平面A1CB.〔4分〕

〔2〕由已知得AC⊥BC且DE∥BC,∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D,DE⊥CD.∴DE⊥平面A1DC.而A1F.平面A1DC,〔6分〕

∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD,CD∩DE＝D,

∴A1F⊥平面BCDE,又BE.平面BCDE,

∴A1F⊥BE.〔9分〕

〔3〕線段A1B上存在點Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如圖,分別取A1C,A1B的中點P,Q,就PQ∥BC.又∵DE∥BC,∴DE∥PQ.∴平面DEQ即為平面DEP.由〔2〕知,DE⊥平面A1DC,

∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點,∴A1C⊥DP.又DP∩DE＝D,

∴A1C⊥平面DEP.〔12分〕

從而A1C⊥平面DEQ.故線段A1B上存在點Q,使得A1C⊥平面DEQ.〔14分〕6．如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是CD、A1D1的中點． 〔1〕求證：AB1⊥BF；

〔2〕求證：AE⊥BF；

〔3〕棱CC1上是否存在點P,使BF⊥平面AEP？如存在,確定點P的位置,如不存在,說明理由．解析：〔1〕證明：連接A1B,就AB1⊥A1B,

又∵AB1⊥A1F,且A1B∩A1F＝A1,

∴AB1⊥平面A1BF.又BF.平面A1BF,∴AB1⊥BF.〔2〕證明：取AD中點G,連接FG,BG,就FG⊥AE,又∵△BAG≌△ADE,

∴∠ABG＝∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G,∴AE⊥平面BFG.又BF.平面BFG,∴AE⊥BF.〔3〕存在．取CC1中點P,即為所求．連接EP,AP,C1D,

∵