章末綜合測(cè)評(píng)(二)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(建議用時(shí)：120分鐘)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列推理錯(cuò)誤的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?AαD．A∈l，l?α?A∈αC[若直線l∩α＝A，顯然有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α.]2．長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AB，A1D1A．30°B．45°C．60° D．90°D[由于AD∥A1D1，則∠BAD是異面直線AB，A1D1所成的角，很明顯∠BAD＝90°.]3．若a，b是異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．異面或相交D[根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系和公理4可知c與b異面或相交，但不可能平行．]圖14．如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中點(diǎn)，則直線A．AC B．BDC．A1D D．A1D1B[易證BD⊥平面CC1E，∴BD⊥CE.選B.]5．設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥βB[選項(xiàng)A，平行于同一條直線的兩個(gè)平面也可能相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，由條件應(yīng)得α⊥β，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，l與β的位置不確定，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選B.]6．如圖2所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角，此時(shí)∠B′AC＝60°，那么這個(gè)二面角大小是()圖2A．90° B．60°C．45° D．30°A[如圖，連接B′C，則△AB′C為等邊三角形，設(shè)AD＝a，則B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝eq\r(2)a，所以∠B′DC＝90°.]7．如圖3，在正四棱錐S-ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.其中恒成立的為()圖3A．①③ B．③④C．①② D．②③④A[如圖所示，連接NE，ME.∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，∴EN∥SB，MN∥SD，又EN∩MN＝N，SB∩SD＝S，∴平面SBD∥平面NEM，∴EP∥平面SBD，③恒成立．由正四棱錐S-ABCD，知AC⊥平面SBD，∴AC⊥平面NEM，∴AC⊥EP，①恒成立．②④對(duì)于線段MN上的任意一點(diǎn)P不一定成立，故選A.]8．如圖4，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D圖4A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(\r(15),5) D．eq\f(\r(10),5)D[在平面A1B1C1D1內(nèi)過點(diǎn)C1作B1D1的垂線，垂足為E，連接BE.∵C1E⊥B1D1，C1E⊥BB1，∴C1E⊥平面BDD1B1，∴∠C1BE即為BC1與平面BB1D1D所成的角．∵BC1＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，C1E＝eq\f(2×2,2\r(2))＝eq\r(2)，∴sin∠C1BE＝eq\f(C1E,BC1)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5).]9．如圖5所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng)．其中正確的是()圖5A．①② B．①②③C．① D．②③B[對(duì)于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC；對(duì)于②，∵點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，∴OM∥平面PAC；對(duì)于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長(zhǎng)即是點(diǎn)B到平面PAC的距離，故①②③都正確．]10．如圖6所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出五個(gè)結(jié)論：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正確的個(gè)數(shù)是()圖6A．1B．2C．3 C[顯然OM∥PD，又PD?平面PCD，PD?平面PDA.∴OM∥平面PCD，OM∥平面PDA.∴①②③正確．]11．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)HA．點(diǎn)H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)C1D．直線AH和BB1所成的角為45°D[因?yàn)锳H⊥平面A1BD，BD?平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H?平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可證BH⊥A1D，所以點(diǎn)H是△A1BD的垂心，A正確；因?yàn)槠矫鍭1BD∥平面CB1D1，所以AH⊥平面CB1D1，B正確；易證AC1⊥平面A1BD.因?yàn)檫^一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正確；因?yàn)锳A1∥BB1，所以∠A1AH為直線AH和BB1所成的角．因?yàn)椤螦A1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D錯(cuò)誤．]12．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2)，將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中()A．存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直B．存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直C．存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直D．對(duì)任意位置，三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直B[A錯(cuò)誤．理由如下：過A作AE⊥BD，垂足為E，連接CE.若直線AC與直線BD垂直，則可得BD⊥平面ACE，于是BD⊥CE，而由矩形ABCD邊長(zhǎng)的關(guān)系可知BD與CE并不垂直．所以直線AC與直線BD不垂直；B正確．理由：翻折到點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影恰好在直線BC上時(shí)，平面ABC⊥平面BCD，此時(shí)由CD⊥BC可證CD⊥平面ABC，于是有AB⊥CD.故B正確；C錯(cuò)誤．理由如下：若直線AD與直線BC垂直，則由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD，于是BC⊥AC，但是AB<BC，在△ABC中∠ACB不可能是直角．故直線AD與直線BC不垂直；由以上分析顯然D錯(cuò)誤．]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．設(shè)平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB與CD交于S，若AS＝18，BS＝9，CD＝34，則CS＝________.68或eq\f(68,3)[如圖①，由α∥β可知BD∥AC，①∴eq\f(SB,SA)＝eq\f(SD,SC)，即eq\f(9,18)＝eq\f(SC－34,SC)，∴SC＝68.如圖②，由α∥β知AC∥BD，②∴eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)＝eq\f(SC,CD－SC)，即eq\f(18,9)＝eq\f(SC,34－SC).∴SC＝eq\f(68,3)，故答案為68或eq\f(68,3).]14．已知a，b表示直線，α，β，γ表示平面．①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β；②若a?α，a垂直于β內(nèi)任意一條直線，則α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α∥β.上述命題中，正確命題的序號(hào)是________．②④[對(duì)①可舉反例，如圖，需b⊥β才能推出α⊥β；對(duì)③可舉反例說明，當(dāng)γ不與α，β的交線垂直時(shí)，即可知a，b不垂直；根據(jù)面面、線面垂直的定義與判定知②④正確．]15．設(shè)平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且點(diǎn)S位于平面α，β之間，AS＝8，BS＝6，CS＝12，則DS＝________.9[因?yàn)橹本€AB與CD交于點(diǎn)S，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面．又平面α∥平面β，所以BD∥AC，△ACS與△BDS相似，所以eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,DS)，即eq\f(8,6)＝eq\f(12,DS)，所以DS＝9.]16．將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐D-ABC中，給出下列三個(gè)命題：①△DBC是等邊三角形；②AC⊥BD；③三棱錐D-ABC的體積是eq\f(\r(2),12)；④異面直線AB與DC所成角為60°.其中正確命題的序號(hào)是________．①②③[過D作DO⊥AC于O，連接BO(圖略)，由題意知BO⊥AC，∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BOD，∴AC⊥BD，②正確；∵OB⊥OD，OB＝OD＝eq\f(\r(2),2)，∴BD＝1，∴△BCD為等邊三角形，①正確；VD-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12)，③正確．]三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如圖7，在三棱錐P-ABC中，G，H分別為PB，PC的中點(diǎn)，M，N分別為△PAB，△PAC的重心，且△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°.求證：GH∥MN.圖7[證明]如圖，取PA的中點(diǎn)Q，連接BQ，CQ，則M，N分別在BQ，CQ上．因?yàn)镸，N分別為△PAB，△PAC的重心，所以eq\f(QM,MB)＝eq\f(QN,CN)＝eq\f(1,2)，則MN∥BC.又G，H分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以GH∥BC，所以GH∥MN.18．(本小題滿分12分)如圖8，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1圖8求證：(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D.[證明](1)如圖，連接AC，CD1.因?yàn)锳BCD為正方形，N為BD的中點(diǎn)，所以N為AC的中點(diǎn)．又M為AD1的中點(diǎn)，所以MN∥CD1.因?yàn)镸N?平面CC1D1D，CD1?平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.(2)連接BC1，C1D，因?yàn)锽1BCC1為正方形，P為B1C的中點(diǎn)，所以P為BC1又N為BD的中點(diǎn)，所以PN∥C1D.因?yàn)镻N?平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，所以PN∥平面CC1D1D.由(1)知MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N，所以平面MNP∥平面CC1D1D.19．(本小題滿分12分)如圖9，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D為AB圖9(1)求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1[解](1)由AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，故CD⊥平面A1ABB1，所以點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離為CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(5).(2)如圖，取D1為A1B1的中點(diǎn)，連接DD1，則DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥平面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1為所求的二面角A1-CD-C1的平面角．因?yàn)镃D⊥平面A1ABB1，AB1?平面A1ABB1，所以AB1⊥CD，又AB1⊥A1C，A1C∩CD＝所以AB1⊥平面A1CD，故AB1⊥A1D，從而∠A1AB1，∠A1DA都與∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽R(shí)t△B1A因此eq\f(A1A,AD)＝eq\f(A1B1,A1A)，即A1A2＝AD·A1B1＝8，得A1A＝2eq\r(2).從而A1D＝eq\r(A1A2＋AD2)＝2eq\r(3).所以，在Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1＝eq\f(DD1,A1D)＝eq\f(AA1,A1D)＝eq\f(\r(6),3).20．(本小題滿分12分)如圖10，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).圖10(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積．[解](1)證明：由題設(shè)知，BB1綊DD1，∴BB1D1D是平行四邊形，∴BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴A1BCD1∴A1B∥D1C又A1B?平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高．又∵AO＝eq\f(1,2)AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∴A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝1.又∵S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴VABD-A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.21.(本小題滿分12分)如圖11，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.圖11(1)求證：DC⊥平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？并說明理由．[證明](1)因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因?yàn)镈C⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)因?yàn)锳B∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因?yàn)?/p>