統(tǒng)計物理方法在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用1.3統(tǒng)計物理方法概貌統(tǒng)計計物理方法研究的對象是大量微觀粒子組成的宏觀物質(zhì)系統(tǒng)，任務(wù)是按照物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)、微觀粒子的運動特征及粒子間的相互作用，采用統(tǒng)計方法探求系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)及其變化規(guī)律。由于粒子的數(shù)量是如此之大，無法去一一求解它們所遵從的運動方程，同時，粒子間的相互作用，外界對系統(tǒng)的干擾，導(dǎo)致粒子運動狀態(tài)的不完全確定性，系統(tǒng)運動狀態(tài)呈現(xiàn)隨機(jī)性，但在一定條件下，系統(tǒng)的各運動狀態(tài)均以一定的概率出現(xiàn)。一個宏觀狀態(tài)對應(yīng)著瞬息萬變的大量的微觀運動狀態(tài)，系統(tǒng)的某個物性的實測值是在給定條件下，各微觀狀態(tài)的相應(yīng)量的統(tǒng)計平均值，統(tǒng)計物理學(xué)就是要找出這種統(tǒng)計規(guī)律性。該學(xué)科建立起微觀運動與宏觀運動之間的聯(lián)系，闡明宏觀運動形態(tài)的微觀實質(zhì)和基礎(chǔ)，并日益滲透和廣泛應(yīng)用于凝聚態(tài)物理、核物理、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)、化學(xué)、生物等諸多學(xué)科，獲得了許多重大成就。統(tǒng)計物理學(xué)或統(tǒng)計力學(xué)是用概率統(tǒng)計的方法，對由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質(zhì)及宏觀規(guī)律作出微觀解釋的理論物理學(xué)分支，它架起了從微觀到宏觀研究的橋梁，不僅為各種宏觀復(fù)雜系統(tǒng)（氣體、液體、固體、等離子體等）提供理論依據(jù)，而且現(xiàn)在為新誕生的網(wǎng)絡(luò)科學(xué)提供了理論基礎(chǔ)和有力工具，發(fā)揮著重要的作用。統(tǒng)計物理學(xué)分為平衡態(tài)統(tǒng)計物理學(xué)和非平衡態(tài)統(tǒng)計物理學(xué)。平衡態(tài)統(tǒng)計物理學(xué)研究宏觀系統(tǒng)處于平衡態(tài)的物理現(xiàn)象和物理性質(zhì)。1902年美國物理學(xué)家吉布斯（Gibbs）發(fā)表著名的《統(tǒng)計力學(xué)的基本原理》，建立了平衡態(tài)統(tǒng)計物理學(xué)體系。其要點是：一條基本假定--等概率原理，一個基本觀點--統(tǒng)計平均和一種基本方法--統(tǒng)計系綜。統(tǒng)計方法分別與經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)相結(jié)合，形成經(jīng)典統(tǒng)計物理學(xué)和量子統(tǒng)計物理學(xué)，兩者在運用統(tǒng)計方法上是相似的，差別在于對微觀狀態(tài)描述的不同。量子統(tǒng)計物理學(xué)是在基本統(tǒng)計假定下對系統(tǒng)采用所謂混合系綜的描述方法，而基本統(tǒng)計假定是關(guān)于密度矩陣筍的論斷。微觀粒子的全同性原理和它們對量子態(tài)占有法則的差異導(dǎo)致兩種不同的量子統(tǒng)計法：玻色-愛因斯坦（Fermi-Dirac）統(tǒng)計法（1926）。量子統(tǒng)計物理學(xué)解決了許多經(jīng)典統(tǒng)計物理不能解決的困難，20世紀(jì)30年代后，量子場論方法用于統(tǒng)計物理使之取得了更大的進(jìn)展。實際上，吉布斯首先提出了系綜概念，建立了平衡態(tài)統(tǒng)計物理，其中對于能量和粒子數(shù)固定的孤立系統(tǒng)，采用微正則系綜；對于可以和大熱源交換能量但粒子數(shù)固定的系統(tǒng)，采用正則系綜；對于可以和大熱源交換能量和粒子的系統(tǒng)，采用巨正則系綜。量子統(tǒng)計與經(jīng)典統(tǒng)計的研究對象和方法基本相同，系綜概念也都適用。所不同的是前者認(rèn)為微觀粒子的運動遵循量子力學(xué)規(guī)律而不是經(jīng)典力學(xué)規(guī)律，微觀運動狀態(tài)具有不連續(xù)性，需用量子態(tài)而不是相宇來描述。非平衡態(tài)分布函數(shù)及其演化方程的建立，不僅成為輸運過程微觀統(tǒng)計理論的基礎(chǔ)，而且由它定義的H函數(shù)及其遵循的H定理對理解宏觀過程的不可逆性及趨于平衡的過程起過重要作用。特別是，熵的統(tǒng)計意義的闡明，熵增加原理的微觀統(tǒng)計解釋表明：統(tǒng)計理論已從平衡態(tài)向非平衡態(tài)發(fā)展，并能對熱力學(xué)第二定律這樣的普遍規(guī)律作出微觀統(tǒng)計解釋。對遠(yuǎn)離平衡態(tài)的物理現(xiàn)象中最重要的是突變（包括涌現(xiàn)）和有序結(jié)構(gòu)，以及20世紀(jì)60年代以后建立了著名的三論（耗散結(jié)構(gòu)理論，協(xié)同學(xué)和突變理論）等，對網(wǎng)絡(luò)科學(xué)具有參考和指導(dǎo)意義。但是非平衡統(tǒng)計物理仍然在迅速發(fā)展中，還沒有完全成熟。上述許多理論方法與許多科學(xué)交叉，大大超出本文的綜述范圍，本章并不作專門詳細(xì)的介紹，請讀者參考有關(guān)專著和研究生的教科書.非平衡態(tài)統(tǒng)計物理學(xué)研究宏觀系統(tǒng)處于非平衡態(tài)的物理現(xiàn)象和物理性質(zhì)。近平衡態(tài)自發(fā)的演化趨勢是趨于平衡，故其性質(zhì)與平衡態(tài)相似。漲落、弛豫和耗散（輸運）是主要的近平衡過程，以昂薩格（Onsager）倒易關(guān)系、漲落耗散定理和最小熵產(chǎn)生原理為主要內(nèi)容的線性不可逆熱力學(xué)和近平衡態(tài)統(tǒng)計物理理論已發(fā)展成熟。遠(yuǎn)離平衡問題的研究60年代以來廣泛開展，主要有非平衡統(tǒng)計物理的基本理論和方法，外場驅(qū)動下耗散系統(tǒng)的非線性動力學(xué)，非平衡漲落和非平衡相變等。對遠(yuǎn)離平衡的突變、有序與結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，普利高津(Prigogine)等作了宏觀描述，建立了耗散結(jié)構(gòu)理論。之后，與混沌、孤子及分形等非線性問題的研究交織在一起，相互滲透和促進(jìn)。非平衡統(tǒng)計物理迄今尚未形成系統(tǒng)的理論，但它可能突破傳統(tǒng)的物理學(xué)理論和方法的框架，通過與其他學(xué)科交叉結(jié)合，比如，與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究緊密結(jié)合，可以向較成熟的、更普遍的非平衡系統(tǒng)理論的方向發(fā)展，是一門具有很強(qiáng)生命力的、新興的前沿學(xué)科。1.4網(wǎng)絡(luò)科學(xué)與統(tǒng)計物理的聯(lián)系值得注意的是，首先提出無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的學(xué)者Albert和物理學(xué)家Barabasi在美國著名的“現(xiàn)代物理評論”(ReviewofModernPhysics)上發(fā)表了題為“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計力學(xué)”的長篇綜述"I，既系統(tǒng)地評述了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究進(jìn)展，又精辟介紹了統(tǒng)計物理的主要理論和方法在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中的應(yīng)用，特別是關(guān)于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮匦约皠恿W(xué)的統(tǒng)計力學(xué)研究所取得的成果和重要進(jìn)展,很好闡明了目前網(wǎng)絡(luò)科學(xué)研究涉及到統(tǒng)計物理中的主要理論武器有：主方程、Forkker-Plank(?？?普朗克)方程，平均場理論方法，自組織理論，臨界和相變理論，熵的概念，以及滲流理論等。接著,2002年Dorogovtsev與Mendes評述了網(wǎng)絡(luò)演化問題［13,16］。2003年Newman對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與功能的研究進(jìn)展作了系統(tǒng)的綜述［20］。2004年P(guān)ark和Newman進(jìn)一步把統(tǒng)計系綜推廣應(yīng)用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的平衡態(tài)研究聯(lián)系"］，溝畫了一種基本理論框架，這里結(jié)合我們的思路加以闡明和拓廣，把它概括為圖1-5所示的理論框架和基本路線圖。它具有畫龍點睛作用，真正深入理解這個路線圖，有助于掌握統(tǒng)計物理在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用，下面各節(jié)較為詳細(xì)介紹統(tǒng)計物理在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用的主要方法。圖1-5復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的平衡態(tài)統(tǒng)計方法的理論框架和基本路線示意圖。1.5平均場理論方法1.5.1平均場理論方法的基本思想統(tǒng)計力學(xué)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中常用的一種統(tǒng)計物理方法是平均場理論方法。該法通俗容懂，雖然是近似處理方法，但是結(jié)果的物理意義比較明顯。在連續(xù)介質(zhì)微觀力學(xué)中，有兩類基于微結(jié)構(gòu)信息確定非均勻介質(zhì)有效性能的基本理論就是，基于物理的平均場理論和數(shù)學(xué)的漸近均勻化理論.平均場理論，顧名思義，認(rèn)定一個粒子，這個粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看這個粒子在平均場中受到什么樣的相互作用。也就是說，平均場理論是把環(huán)境對物體的作用進(jìn)行集體處理，以平均作用效果替代單個作用效果的加和的方法。這一方法，能簡化對復(fù)雜問題的研究，把一個高次、多維的難以求解的問題轉(zhuǎn)化為一個低維問題，相當(dāng)于把環(huán)境對研究對象的影響進(jìn)行積分后再與研究對象發(fā)生作用，多用于運動狀態(tài)混亂的氣體，以及結(jié)構(gòu)復(fù)雜的固體、液體的研究中，并構(gòu)成了能帶論、現(xiàn)代固體理論、量子多體理論等理論的重要的基礎(chǔ)。盡管平均場理論帶來了研究的便利，但是由于積分過程會掩蓋掉環(huán)境中個別影響因素的漲落，因此在非平衡過程，強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，以及瞬態(tài)過程中，平均場理論會帶來比較大的誤差。平均場理論最早的是范德瓦耳斯的狀態(tài)方程，后來還有很多不同的名稱。1937年朗道提出了二類相變的普遍理論。朗道的平均場理論，拿一個具體的例子說明，單軸各向異性的鐵磁體，磁化強(qiáng)度只能向上或者向下。假定熱力學(xué)函數(shù)是序參量的解析函數(shù)，這是一個熱力學(xué)函數(shù)可以展開，有二次方和四次方項（由于反演對稱，沒有奇次方項），展開系數(shù)是溫度的函數(shù)。在溫度T高于臨界溫度Tc時和低于Tc時曲線結(jié)果是不一樣的，高于Tc時，最小值是Mo=0，即沒有自發(fā)磁化；如果溫度T低于Tc，就有不等于0的極小點。按照平均場理論算出來，臨界指數(shù)。等于二分之一；算出與磁場的關(guān)系，在臨界點上存在這樣的關(guān)系，d=3。可以算出平常說的磁化率，和T的相對溫度之間有一個關(guān)系，指數(shù)是1。還可以算比熱，從低溫到高溫時有一個躍變，本身是一個常數(shù)。如果鐵磁體不是單軸各向異性，而是平面各向異性的，序參量會有兩個分量。我們可以拿這個曲線轉(zhuǎn)一圈，最低能量態(tài)是“簡并”的，所有“酒瓶底”的狀態(tài)都具有最低能量，實際體系可能處于某一個位置上。這就是對稱破缺。平均場理論是“多次被發(fā)明”的理論。從最早的范德瓦耳斯方程，到外斯的分子場理論，描述合金有序化的布喇格一威廉姆斯理論，都說的同一回事值得一提的是在量子力學(xué)問題中，平均場理論也是量子多體理論的零級近似.絕大多數(shù)是量子多體系統(tǒng)的問題包括：量子多體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的研究、量子多體系統(tǒng)碰撞與反應(yīng)過程的研究和量子多體系統(tǒng)衰變性質(zhì)的研究，平均場理論是進(jìn)一步近似的出發(fā)點，也是最重要的最流行的量子多體理論，因而成為量子多體理論的基礎(chǔ)。平均場理論所包含的物理概念:平均場概念，是（量子）多體理論的精華，這一概念具有客觀意義，它深刻反映了微觀多體世界的最重要的屬性。量子力學(xué)中的平均場理論的基本思想：存在相互作用的多粒子系統(tǒng)，每個粒子都受到周圍其他粒子的作用，這些周圍粒子的相互作用的迭加并對其粒子密度分布（粒子云）的平均，在零級近似下，將產(chǎn)生一個平均勢場。這個平均勢場是一個單體算符，只依賴于受作用的這個粒子的坐標(biāo)，但不是外界施加的外場，而是其他粒子對這個粒子相互作用迭加平均的結(jié)果。這個平均場一般隨時間變化，但在定態(tài)極限下，它是靜態(tài)的。對于全同粒子系統(tǒng)，特別是費米子系統(tǒng)，由于多體系統(tǒng)波函數(shù)或密度矩陣中存在著交換項，平均場相應(yīng)地也包含一個非定域的交換項，它與動量相關(guān)勢場等效。對于帶自旋的粒子，平均場還包含自旋一軌道力。對于二體相互作用的多體系統(tǒng)，哈密頓量H包含一體算符（只依賴一個粒子的坐標(biāo)）的動能項和二體算符（只依賴兩個粒子的坐標(biāo)）的相互作用項。而平均場是單體算符，它雖然可以包含二體相互作用的主要效應(yīng)，但不能完全代替二體相互作用項，只能是對二體相互作用的單體近似。這些不能用平均場概括的二體相互作用，稱為剩余相互作用。因此，考慮了平均場以后，系統(tǒng)有一個由平均場單體算子組成的哈密頓量，又稱獨立粒子近似下的哈密頓量，還有一個平均場不能包括的二體剩余相互作用。系統(tǒng)總的哈密頓量應(yīng)為二者之和。產(chǎn)生平均場支配下的系統(tǒng)的獨立粒子運動，類似于外場作用下產(chǎn)生的獨立粒子運動；而剩余相互作用破壞獨立粒子運動,把這些獨立粒子運動耦合起來，產(chǎn)生各種各樣的多體關(guān)聯(lián)，以至于集體運動。多體系統(tǒng)中粒子-粒子相互作用產(chǎn)生平均場的過程,對于定態(tài)問題,是一個非線性的自洽反饋的過程：具有確定量子態(tài)的各個粒子對某個粒子相互作用的迭加并對這些粒子的密度分布求平均后，產(chǎn)生了一個單體平場場；這個單體的平均場反過來又產(chǎn)生出各個粒子的確定的量子運動；即所有粒子的量子狀態(tài)決定了平均場，而平均場又產(chǎn)生出各個粒子的量子運動，這樣就形成一個非線性的反饋過程。對于定態(tài)，這個過程必須達(dá)到自洽：產(chǎn)生平均場U的各粒子的量子態(tài)應(yīng)當(dāng)是平均場產(chǎn)生的量子態(tài)，產(chǎn)生各量子態(tài)的平均場應(yīng)當(dāng)是各量子態(tài)生成的平均場。總之，對于量子微觀系統(tǒng)，平均場理論的基本思想概括為以下五個要點：（1）多體系統(tǒng)各粒子對某一粒子相互作用的迭加和平均，產(chǎn)生一個平均場；（2）這個平均是單體算符，包括非定域（動量有關(guān)）項和自旋-軌道力；（3）產(chǎn)生平均場的過程是一個非線性反饋的過程；對定態(tài)問題，還要求自洽；（4）平均場是對多體系統(tǒng)相互作用的非微擾的零級近似，對多體系統(tǒng)的正確描述應(yīng)當(dāng)是平均場加剩余相互作用；（5）平均場產(chǎn)生多體系統(tǒng)的獨立粒子運動，而剩余相互作用要破壞這種獨立粒子運動，引起量子態(tài)躍遷，產(chǎn)生粒子之間的多體關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致集團(tuán)運動和集體運動。1.5.2平均場理論的應(yīng)用之一：無標(biāo)度模型網(wǎng)絡(luò)科學(xué)誕生12年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論模型中度分布求解廣泛地應(yīng)用了平均場方法得到近似解，實際上，平均場方法在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和一些實際問題應(yīng)用中已經(jīng)取得了重要的成果。平均場方法不僅適用于從連續(xù)相變和臨界現(xiàn)象的研究，而且是網(wǎng)絡(luò)科學(xué)研究的一種有力工具，應(yīng)用范圍十分廣泛，凡是平均場方法的核心思想適用的問題，都可以應(yīng)用它來解決各種各樣的問題.首先，Watts-Strogatz（WS）小世界模型和Barabasi-Albert(BA)無標(biāo)度模型中，理論上都是以平均場解析為基礎(chǔ)的[2324].2000年Newman,Moore和Watts使用平均場近似對WS小世界模型平均距離的解析推導(dǎo)[23]o1999年Barabasi,Albert和Jeong使用平均場近似推導(dǎo)BA無標(biāo)度模型的度分布[24].在這兩文中，應(yīng)用平均場方程估計相關(guān)量演化規(guī)律的幾率，找到合適的近似，歸結(jié)到一個自組織穩(wěn)定臨界演化方程來求解，而且這些方程都表述為微分方程的形式.這里并沒有應(yīng)用序參量和驅(qū)動量的概念，以及在臨界點附近把序參量展開取近似的方法。WS小世界模型和BA無標(biāo)度模型的改進(jìn)模型WS小世界模型和BA無標(biāo)度模型在科學(xué)界產(chǎn)生了深刻影響，1999年Newman和Watts討論了WS小世界模型上信息或流行病傳播的逾滲相變及其臨界性質(zhì)；2000年Dorogovtsev和Mendes建議在BA無標(biāo)度模型中增加對節(jié)點活性隨年齡衰減的考慮.2001年他們又建議在BA無標(biāo)度模型中考慮節(jié)點數(shù)目加速增加的情況.這3篇論文都導(dǎo)出了平均場解析解。2002年Liu和Lai等人提出在BA無標(biāo)度模型中考慮新節(jié)點在選擇舊節(jié)點時部分優(yōu)選、部分隨機(jī)選擇，并且做出了平均場解析，他們用主方程方法解析了非線性優(yōu)選的BA無標(biāo)度模型?在2003年Li和Chen提出了一個局域世界模型，重要的思想是優(yōu)選需要網(wǎng)絡(luò)的全局信息，而一個節(jié)點往往只可能掌握它所在附近的局域信息，因此，合理的演化機(jī)制是節(jié)點在一個局域中優(yōu)選，而哪些節(jié)點構(gòu)成局域世界則是隨機(jī)的，也可用平均場方法作了解析?2002年Chneg、Wang和Ouyang提出了一個包含兩類不同節(jié)點和兩類不同邊的網(wǎng)絡(luò)演化模型，并且推導(dǎo)出平均場解析解.我們下面給出平均場方法求解BA模型的度分布的例子。以計算BA模型度分布為例，令k(t)表示在t時間步節(jié)點ii的度數(shù)，把k⑴看作連續(xù)動力學(xué)函數(shù)，得到近似的動力學(xué)方i程：-mtt(k)=m^i—-—l,k(i)二m(6t '乙k 2t'j

j解方程(k(t)=m(ti)b，其中b=12稱為動力學(xué)指數(shù).因為需要隨機(jī)選擇一個結(jié)點，所以k(t)中的i必須看成服i從均勻分布的隨機(jī)變量.于是，由動力學(xué)方程解，網(wǎng)絡(luò)度分布可以推導(dǎo)如下m2t m2tP{k(t)<k}=P{i }=1- i k2 k2(n+t)0P(k,t)-華H-2m2k二dk n+1再令t8，因此得到網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定度分布(密度)為P(k)-limP(k,t)x2m2k-y其中g(shù)=1+虻=3稱為度（分布）指數(shù)，注意：盡管M2同-3dk=1，因為式（，對小度數(shù)會有較大的偏差.m該方法主要優(yōu)點是簡明易學(xué)，對許多增長網(wǎng)絡(luò)模型，能夠得到k⑺的明確表達(dá)式.為此，史定華小組提出了一種基于i動力學(xué)方程的群集系數(shù)計算方法，與模擬結(jié)果比較，它有很高的精度，該方法的缺點是若k（t）沒有明晰解，無法得到網(wǎng)i絡(luò)度分布，采用了'結(jié)點i度加1的概率為mn（k）'近似。i1.5.3平均場理論的應(yīng)用之二：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中多尺度研究2010年HanshuangChen等人在物理評論（HanshuangChen,etal.PRE，82，0111107）提出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中臨界現(xiàn)象（多尺度）統(tǒng)計一致性粗?；∟etworkCoarseGraining）模擬方法?；诙群喜⒌拇至；椒梢杂脕硖幚碛呻S機(jī)動力學(xué)描述的體系，采用了兩個有代表性的模型體系，即平衡態(tài)Ising模型和非平衡SIS模型。他們的基本思路是：（1）基于局域平均場，提出合并網(wǎng)絡(luò)的方法，即得到粗?；W(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣；（2）定義粗?；兞?，寫出粗粒化哈密頓量和粗?；磻?yīng)速率；（3）提出統(tǒng)計一致性條件，對平衡態(tài)體系，這個條件是平衡態(tài)分布的一致性；對非平衡體系，這個條件是非平衡反應(yīng)流的一致性；（4）提出基于度的粗?；M方法，在退火網(wǎng)絡(luò)近似下可以證明這個方法滿足統(tǒng)計一致性條件；（5）給出不同網(wǎng)絡(luò)下模擬結(jié)果，包括無關(guān)聯(lián)和關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，驗證了粗?；椒ǖ目尚行?。1.5.4在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用之三：網(wǎng)絡(luò)上傳播問題復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播問題，不僅有流行病的傳播，而且有輿論、物質(zhì)、信息、能量等的傳播，這些課題都具有重要理論和實際意義.例如，流行病傳播網(wǎng)的平均場方法求解問題。在流行病停止流行的狀態(tài)，病人的“密度"p為零，系統(tǒng)相對無序；而在流行病正在流行的狀態(tài)p大于零，系統(tǒng)相對有序.所以可以把p定義為廣義的序參量.對于流行病的傳播，大量的實驗和理論結(jié)果都證明存在一個傳播速率久的閾值久,只有在A久時，流行病才能全局傳播,因此可以把久A 定義為熱力學(xué)驅(qū)動量.現(xiàn)在的問題就是利用平均場近似方法的思想，寫出這類活動傳播問題的平均場方程，然后在一定條件下求解.平均場方法的基本思想是把相互作用的總體效果等價于一個“平均場”，不去計算局部的、處處不同的相互作用情況.流行病的傳播過程中雖然充滿了基本單元周圍局部信息的影響.但是平均場方法的思想就是不管這些具體細(xì)節(jié)，僅僅考慮全局的、平均的傳播可能性，也就是僅考慮被看作常參量（或者是依賴于某幾個全局因素的可變參量）的傳播概率或者傳播速率A，以及康復(fù)概率Y.這樣，對于病人可治愈且終生免疫的情況，顯然可感染人群、病人和治愈且終生免疫人群分別的人數(shù)變化率的最簡化（線性，相當(dāng)于級數(shù)展開后取一階近似）表述就是SIR模型；而治愈后并不能免疫，可能立即再次感染情況的最簡化表述就是SIS模型.所以，傳統(tǒng)的SIR模型或SIS模型就是流行病傳播的平均場方程.它們可以用大家熟悉的微分方程解法來求解，注意這時研究超越原來決定論的牛頓第二定律的還原論方法的含意。平均場方法的研究結(jié)果表明：SIR模型模擬結(jié)果相當(dāng)于實際數(shù)據(jù)的一種平滑化，艮PSIR模型模擬的結(jié)果相當(dāng)于全局的、平均的結(jié)果.又如，Kleczkowski和Grenfell在1999年首先研究了小世界網(wǎng)絡(luò)上麻疹一類（康復(fù)后可免疫）流行病傳播，給出了作為平均場近似的SIR方程，并且得到了解析解［47］.結(jié)果說明了小世界網(wǎng)絡(luò)中的少數(shù)隨機(jī)跳躍邊大大加快了流行病的傳播.Pastor-Satorras和Vespignani在2001年用平均場近似（SIS方程）解析地討論了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上肺結(jié)核一類（康復(fù)后不可免疫）流行病的傳播.這篇論文的平均場解析導(dǎo)出了一個重要結(jié)論,即一個無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上流行病傳播的有效傳染幾率閾值為0［48］.以文獻(xiàn)［49,50］為代表的一批論文在此后熱烈的討論了這個問題，指出了例如網(wǎng)絡(luò)大小、網(wǎng)絡(luò)集團(tuán)結(jié)構(gòu)等多種因素對流行病傳播閾值的影響.文獻(xiàn)［19］曾經(jīng)對上述進(jìn)展做過一個綜述.在文獻(xiàn)［51］中，Liu和Hu曾經(jīng)用生成函數(shù)方法幫助求解一個他們提出的在具有群落結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上流行病傳播的模型，這是另一個生成函數(shù)方法在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中應(yīng)用的例子.Shi,Duan和Chen在2008年用平均場方法（SIS方程）解析討論了一個有新特色的、各種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上流行病的傳播模型，并提出了防止流行病傳播的新策略［52］.1.6郎之萬方程本節(jié)用概率方法討論布朗運動中的非平衡態(tài)統(tǒng)計力學(xué)問題。首先了解郎之萬方程的由來.隨后各節(jié)討論相關(guān)的主方程和福克和普朗克方程1.6.1布朗運動的物理機(jī)制布朗運動(Brownianmotion)英國植物學(xué)家R.布朗(1773-1858)在1827年用顯微鏡觀察到懸浮在水中的花粉時發(fā)現(xiàn)的?；ǚ墼谒惺艿搅黧w分子與粒子的碰撞而發(fā)生的不停息的隨機(jī)運動。實際上，不只是花粉和小炭粒，統(tǒng)稱“布朗粒子”對于液體中各種不同的懸浮微粒，都可以觀察到布朗運動［“布朗粒子”直徑為10一4?10一5厘米，處在水中每秒被粒子撞擊頻率為1019，空氣中1015。因此，布朗粒子的運動是無規(guī)撞擊在一定時間尺度的統(tǒng)計效果。如果布朗粒子相互碰撞的機(jī)會很少，可以看成是巨大分子組成的理想氣體，則在重力場中達(dá)到熱平衡后，其數(shù)密度按高度的分布應(yīng)遵循玻耳茲曼分布。J.B.佩蘭的實驗證實了這一點，并由此相當(dāng)精確地測定了阿伏伽德羅常量及一系列與微粒有關(guān)的數(shù)據(jù)。1905年A.愛因斯坦根據(jù)擴(kuò)散方程建立了布朗運動的統(tǒng)計理論。布朗運動的發(fā)現(xiàn)、實驗研究和理論分析間接地證實了分子的無規(guī)則熱運動，對于氣體動理論

的建立以及確認(rèn)物質(zhì)結(jié)構(gòu)的原子性具有重要意義，并且推動統(tǒng)計物理學(xué)特別是漲落理論的發(fā)展。由于布朗運動代表一種隨機(jī)漲落現(xiàn)象，它的理論對于儀表測量精度限制的研究以及高倍放大電訊電路中背景噪聲的研究等有廣泛應(yīng)用。布朗粒子受兩種力作用：(1)介質(zhì)的宏觀粘阻—仆，其中丫=6兀叫。(2)漲落剩余力F(t)。由牛頓力學(xué)易得：Mv—5(t)或?qū)懗桑篤―v+如)。假如在t=0時刻，注入一束大小為V。的粒子，由于即))=0，于是，(巧=_迥，解得(v)=/g。這意味著粒子的平均速度迅速衰減。布朗運動的機(jī)制對速度沒有記憶效應(yīng)。然而，統(tǒng)計剩余力是有時間關(guān)聯(lián)的。，如皿)Wt—t同(t-t)- 1 2?' 2 1 2 1是偶函數(shù)，形狀和高斯函數(shù)類似。由Wick由Wick定理矢口：(A(t1)A(t2).??A(tn)=Z(A(t1)A(t})--\A(tn1)A(tn))并且(A(t])A(t2)???A(t2「)三0-1.6?2郎之萬方程的求解由上面可知方程：v(t)二黛-t+e-打EA(t)，右邊第一項很快00趨于零。真正速度由第二項決定。下面討論速度的時間關(guān)聯(lián)函數(shù)：v(t)v(t":',v(t)v(t'辛=fj'did氣ey(t-t)e-頃s’)?以(t)A(t))?.00 (=ffdidie3(t+t，)eg?楠(t-t')00令t+t'="t-t'=0，積分兀didi'=2d^dO，并且由于$(t2-11)大致相當(dāng)于5函數(shù)，將積分先坐一下改動不會有太大誤差。則積分J(t')=ffdidi'eg(t+t楠(t'-t)00=2fdgeg&fdO$(O)+2fdgeg&fdO^(O)0Y t' -(2t'-&)令a化)=fdOgO)雖然關(guān)聯(lián)函數(shù)的具體形式不知道，但是假定積分時用a代替a(T)引入的誤差是不大的。于是J(t，)=三心-1).速度關(guān)聯(lián)函數(shù)項(t的，)蘭2ge，可以看出3*=2g，由統(tǒng)計力學(xué).,v2=2L=導(dǎo)，則a=睥*，可以看出，漲落a與耗散門成正比。另外，直接將郎之萬方程平方，也可以得到：V2=V2e-2gt+e-2gtftdTdleg(t+tnA(t)A(t')；00a aP——(1-e—2gt)P——2g 2g我們來討論粒子的擴(kuò)散

Ax=%(1-ef)+\dte~^t'\d^e^^A(&)g0 0(可見&"=0...Ax2；=jJdTdTv(t)v(『)：00=—\dTe-gTJdTef+地JdTefjdT'e-t2g 2g齊-—l齊-—l-e頊以 2kTkT~g2' Mg*3魁門'可以看出：位移平方和是與時間及溫度成正比的，而是與粒子半徑、介質(zhì)的粘滯成反比的，這已被實驗所證實。以上結(jié)果忽略了相互作用的細(xì)節(jié)，只是一種時間平滑后的粗?；碚摻Y(jié)果。這種理論還解不開不可逆性之謎。1.7主方程主方程在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用，它是統(tǒng)計物理學(xué)中描述一大類問題的重要方法，且對研究平衡和非平衡問題都是有效的方法，它揭示了微觀可逆性與宏觀不可逆性之間的關(guān)系，可給出趨向平衡的細(xì)致描述。普利高津于1971年至1977年將主方程用于耗散結(jié)構(gòu)問題，先后采用生滅過程、相空間及非線性三種形式的主方程討論漲落與耗散結(jié)構(gòu)，獲得關(guān)于耗散結(jié)構(gòu)形成機(jī)制的解釋，以及計算怎樣由漲落觸發(fā)耗散結(jié)構(gòu)等結(jié)果。本節(jié)只是將簡單地介紹該法的由來與基本思想.有興趣的讀者請仔細(xì)參閱主要參考文獻(xiàn)[5,6].

1.7.1隨機(jī)過程設(shè)y是我們感興趣的變量。若y是決定性的，可以寫成yQ)；若y是隨機(jī)變量，則無解析式。但是受到概率的約束。概率可表為孕y,t)。縱使概率演化確定，系統(tǒng)演化仍不確定，比如，有分岔的出現(xiàn)。對于隨機(jī)過程，事件之間有關(guān)聯(lián)，需要引入聯(lián)合概率密度P(y,t|y,t)，表示兩種事件都發(fā)生的聯(lián)合概率。類似還可以2、，11。22定義P(y,t|y,t|y,t)…聯(lián)合概率的性質(zhì):(1)(1)(2)(3)P>0p”對其宗量交換是對稱的n』dy…dyP(y,t|…y,ty,t??-|y,t)=P(y,t|--Jy,t)k+1 nn11kkk+1k+1 nnk11kk一般對于物理上感興趣的問題，僅僅要知道有限的p就n足以描述相應(yīng)的隨機(jī)過程。而高階的P往往用低階的P^來組合表示。最簡單的如獨立統(tǒng)計模型：即〔y(t)...y(t)=.y(t))：...;y(t)s 了 11 n n 1 1 n n1.7.2馬爾可夫過程：主方程馬爾可夫過程定義為：演化過程中沒有記憶效應(yīng)的過程，也就是忘記歷史的過程?或者說，假定演化每一步時的狀態(tài)已知，則在 時的狀態(tài)與之前的狀態(tài)無關(guān).馬爾可夫過程是統(tǒng)計物理中最有意義的、最簡單、最重要的過程。這種過程的全部信息包含在P(y,t)及P(y,t|y,t)中了。我們定義轉(zhuǎn)移概率W(y,t|y,t):1 2 1V22 2 1122轉(zhuǎn)移概率背后隱藏著微觀力學(xué)機(jī)制的問題。轉(zhuǎn)移概率w(y/伯,t)的性質(zhì)：2 1122⑴w(y,t|y,t)>0TOC\o"1-5"\h\z2 1122』dyW(y,t\y,t)=12 2 1122P(y,t)=JdyP(y,t)W(y,t|y,t)1 2 2 11 11 2 112 2同樣，我們來分析n階轉(zhuǎn)移概率w:n又稱條件概率密度，表示在t至Ut的事件都發(fā)生的條件1 n-1下，t時刻發(fā)生y的概率。對于馬爾可夫過程，w(y,t|y,t...y,t\y,t)=W(y,t\y,t)n1122n-1n-1nn2n-1n-1nn表示概率轉(zhuǎn)移同歷史無關(guān)。布朗粒子對自己速度歷史的遺忘，就是馬爾可夫過程的一個范例。遺忘性的背后，包含著時間的頻繁性和運動本身的連續(xù)性。對于馬爾可夫過程，凡是n>3的聯(lián)合概率P都可以用p和P的乘積來表示。例如:n 1 2不難證明Smoluchowski方程：W(y,ty,t)=JdyW(y,t\y,t)W(y,ty,t)2 11 33 221122 2 22 33(這個方程體現(xiàn)了路徑積分的思想?？梢詫?dǎo)出概率密度p(y,t)滿足的積分微分方程。1P(y,t+t)=JdyP(y,t)W(y,t|y,t+t)1 2 11 1 2 121.7.3主方程在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用由Dorogovtsev,Mendes和Samukhin提出主方程方法.他們考慮了一個更廣的吸引模型，新結(jié)點有原始吸引度A,按BA模型擇優(yōu)從不指定的結(jié)點連出m條線，允許重復(fù)連線，因此每個結(jié)點有度k=q+a，其中q稱為入度.吸引模型當(dāng)只從新結(jié)點連出m條線時退化為BA模型，此時A=m.他們從概率角度，把q.⑴作為隨機(jī)變量來處理，令P（q,i,t）表示第i時刻加入的結(jié)點i在t時有入度q的概率，可得P（q,t）滿足的主方程，然后用結(jié)點度的平均P（q,t）=1tp（q,i,t）作為網(wǎng)絡(luò)度的定義，ti=1對BA模型有t[P(q,t+1)-P(q,t)]+P(q,t+1)-dq^=^^^P(q-1,t)-2P(q,t) (假定limP(q,t)=P(q)存在，補(bǔ)充lim[P(q,t)-P(q,t)]=0，得t tP(q)= 她+ (q+m)(q+m+1)(q+m+2)式（12）右邊是'精確解'，對小度數(shù)，它不是冪律，只對大的k=q+m才是冪律.這一方法的最大優(yōu)點是概率清晰，但仍然不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法.盡管作者還提供了求解主方程的多種途徑，如用母函數(shù)求解差分方程和轉(zhuǎn)化為偏微分方程求解，復(fù)雜模型的主方程仍然會沒有解析解.同時，常用的還有比率方程方法?比率方程方法（rate-equationapproach）在許多學(xué)科中已經(jīng)有廣泛的應(yīng)用，因為該法簡單物理直觀，例如在等離子體物理、化學(xué)反應(yīng)和具有各種相互作用的分子原子物理等領(lǐng)域經(jīng)常使用。它主要是根據(jù)實證和模擬都是統(tǒng)計網(wǎng)絡(luò)中度為k的(平均)點數(shù)氣⑺代替研究k(t)而考慮氣(t)的變化規(guī)律，同樣采用m(k)=2mt去近似，根據(jù)連續(xù)性理論，網(wǎng)絡(luò)點數(shù)嘰(t)隨時間變化的比率方程為：dN：、(t)_(k-\)N：、V)-kN：、(t)+8 (dt ￡kN(t) kmk在網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定度分布條件下，再利用大數(shù)定律將度數(shù)為k結(jié)點出現(xiàn)的頻率作為網(wǎng)絡(luò)有度數(shù)k概率的近似.于是，簡化后得到以下差分方程k-1 kP(k)=—yP(k-1)--P(k) (此法特點是給了網(wǎng)絡(luò)度分布一個統(tǒng)計定義，為實證研究提供了模擬網(wǎng)絡(luò)度分布的基礎(chǔ)，而且它還能夠計算BA模型的度相關(guān)性.與平均場方法一樣，它仍然是一種啟發(fā)式的推導(dǎo)方法，同時也會遇到方程可能難解的問題。1.8馬氏鏈方法對于馬氏鏈方法(Markovchinsapproach)，它將K⑴看成一個隨機(jī)過程，對BA模型，k(t)是非齊次馬氏鏈，其參數(shù)空間t={i,+1,+L2,，狀態(tài)空間W={m,m+1,m+2,L}-當(dāng)k=m,m+1,L,m+t-i時，采用mH(k)近似，轉(zhuǎn)移概率如下1-%，1_kP{K(t+1)_11K(t)_k}_<k2t,l_k+1 (0,l豐k,l豐k+1史定華等人借助他們提出的矩形迭代算法實現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)度分布的快速數(shù)值計算，計算量為0(⑵.與其他3種方法不同，基于馬氏鏈的數(shù)值方法避免了方程無解析的困難.對BA模型，取m=5,t=150000所得的數(shù)值結(jié)果(下彎)，150000步的模擬結(jié)果(黑點)和主方程方法的解析結(jié)果(虛線)一致，如圖4(請看主要參考[9]:郭雷,許曉鳴，史定華等，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),上海:上海教育出版社,2006)圖1-4對BA模型的模擬結(jié)果(黑點)和主方程方法的解析結(jié)果(虛線)比較。1.9福克和普朗克(F-P)方程?？撕推绽士耸紫葟睦手f方程導(dǎo)出，用來與描述隨機(jī)系統(tǒng)的朗之萬方程相對應(yīng)的概率分布函數(shù)所遵從的演化方程，兩者處理問題是等價的。設(shè)宏觀變量a(t)代表一穩(wěn)定的隨機(jī)過程，遵從朗之萬方程：&⑥=-7陽)+歸⑥(式中隨機(jī)力F(t)代表一噪聲源，它滿足下列白噪聲條件：〈F(t)〉=0 (〈 F(t)F(t,) 〉 =2A3(t-t,)(其中A表示噪聲強(qiáng)度。式(，且是一高斯過程，顯然a(t)也是一個高斯過程，且是一個馬爾科夫過程，即無后效性的

隨機(jī)過程。a的概率分布函數(shù)P(a,t)遵從下列方程備F(M)=茶7好(")+￡?君式(，第2項是擴(kuò)散項，其中D=J8oD=J8oF(to)F(to+t)dt是擴(kuò)散系數(shù)。方程(P(a)=Ce-Ya2/2D(而〈。2〉其中C為常數(shù)，Pe(a(而〈。2〉則是a(t)的平衡漲落的均方值，即a(t)的相關(guān)函oa(t)a(t))=(a2\e-丫卜-'的強(qiáng)度。方程式(值得一提的是，清華大學(xué)教授王明貞，在20世紀(jì)四、五十年代首次獨立地從?？艘黄绽士朔匠毯涂死啄?Kramers)方程中推導(dǎo)出自由粒子和簡單諧振子的布朗運動。與她的導(dǎo)師G.E.烏倫貝克(Uhlenbeck)合作寫成“布朗運動的理論”論文至今一直作為了解和研究布朗運動最主要參考文獻(xiàn)之，除了用于研究布朗運動和噪聲理論，還被引用于有關(guān)DNA，甚至股票市場等研究中。1.10環(huán)境噪聲或外部隨機(jī)力的作用和影響從科學(xué)意義上講，噪聲是一種隨機(jī)性的無規(guī)的擾動，或是一種漲落作用.當(dāng)它來自系統(tǒng)的外部環(huán)境時，則成為環(huán)境噪聲.他們可以是隨機(jī)力、外部控制的各種參數(shù)的漲落和信號的擾動，并以各種不同方式普遍作用于所有與環(huán)境相聯(lián)系的宏觀系統(tǒng).最吸引人注目的是，環(huán)境噪聲與系統(tǒng)中的非平衡條件、非線性因素的相互作用，使宏觀系統(tǒng)的行為發(fā)生了預(yù)料不到的驚人變換.例如，在環(huán)境噪聲作用下，系統(tǒng)從原來的紊亂無序狀態(tài)轉(zhuǎn)變到規(guī)則的有序狀態(tài)，或者從有序狀態(tài)轉(zhuǎn)變到混沌狀態(tài).混沌狀態(tài)并非無序，而是一種非周期的新型有序狀態(tài)，是一種高級形態(tài)的結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部具有無窮的自相似結(jié)構(gòu)和非整數(shù)維數(shù)的幾何特征.系統(tǒng)還可以在不同的環(huán)境噪聲影響下，在無序、有序、混沌等各種狀態(tài)之間互相轉(zhuǎn)變.物理上，系統(tǒng)的宏觀態(tài)通常用"相”表示.把一個相轉(zhuǎn)變到另一個相得現(xiàn)象，稱為相變.在平衡條件和非平衡條件下各自產(chǎn)生的相變，分別稱為平衡相變和非平衡相變?因而有環(huán)境噪聲引起的系統(tǒng)在非平衡條件下發(fā)生的宏觀狀態(tài)的轉(zhuǎn)變現(xiàn)象，稱為噪聲感應(yīng)非平衡相變.在物理學(xué)的眾多領(lǐng)域中，已發(fā)現(xiàn)這類非平衡相變的普遍性質(zhì).例如，對激光、流體力學(xué)、等離子體、非線性電路、非線性光學(xué)、凝聚態(tài)物理（如固體物理、絲狀液晶）、超導(dǎo)、超流等，都從實驗和理論上發(fā)現(xiàn)了它們的轉(zhuǎn)變性質(zhì)的驚人相似性?因此，在當(dāng)今國際上正在崛起的“非線性科學(xué)”中，研究隨機(jī)噪聲對非線性系統(tǒng)的影響及產(chǎn)生這些影響的機(jī)制，已成為非線性、非平衡研究的一個熱門課題.噪聲如此普遍，影響又如此深亥I」，那么它們究竟有哪些類型？從統(tǒng)計性質(zhì)上講，噪聲可以分為白噪聲和有色噪聲?白噪聲的特點是其相關(guān)函數(shù)經(jīng)傅里葉變換所得的譜密度與頻率完全無關(guān)，與隨機(jī)過程的歷史也無關(guān)，即馬爾科夫過程.有色噪聲的譜密度則與頻率有關(guān)，且可以是非馬爾科夫過程.有色噪聲有連續(xù)型、脈沖型、附加型、多重型等.實際上物理系統(tǒng)中的環(huán)境漲落從來就不是真正的白噪聲，而幾乎都是有色噪聲，且有些還敏感地依賴于系統(tǒng)組元或子系統(tǒng)之間的相互作用程度，即關(guān)聯(lián)程度.由于白噪聲服從高斯分布及馬爾科夫過程，數(shù)學(xué)上易于處理，因此對白噪聲影響的研究，已有較好的統(tǒng)一的理論框架.從目前的實驗和數(shù)值模擬計算發(fā)現(xiàn)，有色噪聲不僅具有白噪聲影響的類似性質(zhì)，而且有色噪聲的研究可以將白噪聲包括在內(nèi)，更具普遍性，因而有色噪聲的研究是非線性研究中的一個重點課題.對于系統(tǒng)為單變量和受到外部環(huán)境單個噪聲源作用的情形，系統(tǒng)的演化滿足如下朗之萬方程:=f(X)+g(X肉(t)， (ot其中x(t)可為白噪聲，也可為有色噪聲.當(dāng)x(t)為白噪聲時，X(t)為一個擴(kuò)散過程，并且X(t)過程的相應(yīng)幾率密度P(X,t)滿足如下?？?普朗克方程(FPE)：TOC\o"1-5"\h\zop o o o萬―麗f(X)P+D齊g(X)^g(X)P (ot oX oX oX此方程與方程(23)是等價的，其中D為噪聲強(qiáng)度，白噪聲的關(guān)聯(lián)函數(shù)為』函數(shù).只要給予適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和初值P=d(X-X)，就可求解方程(我們更關(guān)心的是方程(x(t)g(X)，稱為多重噪聲.由于有色噪聲通常是非高斯分布和非馬爾科夫過程的，因此迄今尚無嚴(yán)格求解方程(，也找不到與方程(，提出解決的方法的思想是：即使是有色噪聲，也要通過近似方法，將方程(，然后再將它化為“有效的福克-普朗克方程”(簡稱EFPE).換言之，可以將隨機(jī)噪聲視為另一個動力學(xué)變量，從而將問題轉(zhuǎn)化為具有兩個變量的馬爾科夫過程，于是只要求解兩變量的隨機(jī)微分方程，然后，再將隨機(jī)微分方程轉(zhuǎn)化為與之等價的二位FPE.二維FPE仍然難以求解，怎么辦？下一步還得設(shè)法化為一維FPE，最后變成FEPE：oooo瓦P*)=-牛仍才心成g(X)D(XE)P (方程(25)與以前不同的是，引進(jìn)了“有效擴(kuò)散系數(shù)”D(X,t)，其中t為關(guān)聯(lián)時間，當(dāng)t?0時，D(X,t)?D.值得注o 0 o o意的是，有效擴(kuò)散系數(shù)的具體形式將隨采用的近似方法不同而不同，但是迄今所有的近似方法都是采用小r，以及各種0D與小^的不同組合.簡言之，各種近似技術(shù)的根本不同之處0在于求出不同的有效擴(kuò)散系數(shù)表達(dá)式?不過，只要采用相同的近似條件，就可導(dǎo)出相同的EFPE.主要的近似方法有以下幾種.（1） 投影算符技術(shù).此法運用泛函求導(dǎo)避免了d（X,r）=0的0出現(xiàn).為了克服有效擴(kuò)散系數(shù)變?yōu)榱愫徒咏谪?fù)值，此法采用一個假設(shè)項，即采用指數(shù)形式計算幾率密度.（2） 路徑積分技術(shù).此法對指數(shù)形式采用小r處理，定義一0個時間依賴的有效擴(kuò)散系數(shù)，運用路徑積分，將積分圍繞t展開到（t-r）量級.這樣，積分將不依賴于動0力學(xué)，也不取決于漲落，從而能導(dǎo)出與上法相近的結(jié)果.（3） 解耦技術(shù).此法用常數(shù)取代有效擴(kuò)散系數(shù)中的態(tài)依賴函數(shù)＜f'（X）＞，又用未知的穩(wěn)定值＜f（X）＞取代平均值.然后，通過自治方程算出這個值，或?qū)⑺鳛橐粋€唯象參數(shù)來處理.（4） 累計求和技術(shù).有效擴(kuò)散系數(shù)在r?r時可用求和形式0表達(dá)，其中關(guān)聯(lián)函數(shù)取指數(shù)形式，從而將EFPE化為所謂“最好的?？?普朗克方程”，再求出穩(wěn)恒的幾率分布解.此外，還有奇異攝動法、矩陣連分式展開法等等.通常上述方法只適用于t較小的情形，對于大t情形將遇到困難.因此，如何考慮適合不同關(guān)聯(lián)時間t,將是理論上的關(guān)鍵所0在.就迄今理論現(xiàn)狀，可以歸納為3類：（1）“小t”理論，0主要通過級數(shù)展開，如按噪聲參數(shù)展開，所得到的理論本質(zhì)上是馬爾科夫白噪聲理論；（2）線性化統(tǒng)計理論或平均場理論，此法有效地降低了FPE的維數(shù)；（3）從小t到大t的00近似統(tǒng)一理論，在小t和大t兩種極限下可以得到精確的結(jié)00果，但該理論只適用于弱有色噪聲和靠近平衡態(tài)的情形，不適用于中等強(qiáng)度的有色噪聲和強(qiáng)有色噪聲時的多重穩(wěn)恒態(tài)情形，也不能描述指數(shù)大的（或小的）漸進(jìn)統(tǒng)計量，如不能描述弱噪聲下的所謂“逃逸”現(xiàn)象.我們把對噪聲效應(yīng)的主要研究結(jié)果概括如下35?7]（1） 環(huán)境噪聲能夠引起各種轉(zhuǎn)變現(xiàn)象，其主要表現(xiàn)為：導(dǎo)致原來的分岔參數(shù)的臨界點發(fā)生移動，引起新的不穩(wěn)定性；導(dǎo)致從固定點向極限環(huán)轉(zhuǎn)變；導(dǎo)致不同極限環(huán)之間的相互轉(zhuǎn)變；導(dǎo)致許多新的分岔和臨界點，產(chǎn)生新態(tài)，等等.例如，在液氦中外部噪聲引起超流-湍流轉(zhuǎn)變.（2） 環(huán)境噪聲還可以改變通向混沌的道路，例如環(huán)境噪聲使得噪聲映像中高周期窗口消失，分岔序列的分岔點變得模糊，從而使倍周期通向混沌的道路被截斷，加速通向混沌等等.（3）已經(jīng)研究并正在進(jìn)一步開展用低維離散動力學(xué)代替高維的復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng)，除出現(xiàn)與上述類似的結(jié)果外，還出現(xiàn)了更為復(fù)雜的轉(zhuǎn)變現(xiàn)象.（4）環(huán)境噪聲引起各種轉(zhuǎn)變的機(jī)制是多種的，迄今尚未窮盡.目前已知的機(jī)制有極限環(huán)破缺機(jī)制、類似陣發(fā)混沌中的正切分岔機(jī)制、流域邊界移動機(jī)制和后門機(jī)制等值得注意的是，環(huán)境噪聲對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮匦院蛣恿W(xué)

希望的影響同樣非常重要，并有非凡的作用和效果。近年來，已經(jīng)利用噪聲架起復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與動力學(xué)特性之間的關(guān)系橋梁，我們將在第17章若干前沿與重要課題里介紹。1.11波色-愛因斯坦凝聚與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)玻色一愛因斯坦凝聚（Bose-EinsteinCondensation,簡稱BEC）是一種非常普遍的物理現(xiàn)象，玻色和愛因斯坦在1924年首先從理論上預(yù)言了BEC現(xiàn)象的存在，發(fā)現(xiàn)理想玻色氣體在一定臨界溫度、T_C、下會發(fā)生凝聚，即宏觀數(shù)量的原子將占據(jù)動量為零的基態(tài)，即在一定臨界溫度下，無相互作用的玻色子會在最低能量量子態(tài)上突然凝聚，達(dá)到可觀的數(shù)量.其他原子組成飽和理想氣體。玻色一愛因斯坦凝聚的體系可以是氣體，液體，固體，也可以是原子核和基本粒子，甚至還可以是中子星或超新星中的物質(zhì).BEC現(xiàn)象要在實驗上觀察到需要選擇一種合適的特定體系.其溫度要足夠低，以至于粒子的德布羅意波長（，大于粒子間的平均距離。但是，很長時間由于找不到合適的實驗體系以及實驗技術(shù)的限制，BEC的早期實驗研究進(jìn)展極為緩慢.近年，BEC之所以成為物理研究中的熱門，是因為實驗進(jìn)展取得了突破性進(jìn)展。1989年，Wieman和Chu等人提出采用堿金屬原子氣體進(jìn)行BEC實驗.對于堿金屬原子而言，如果要使其原子間的相互作用很弱，則原子的密度必須很小，溫度必須足夠低，這就需要尋求一種新的冷卻方法一激光冷卻與囚禁，正是由于激光冷卻與囚禁中性原子的技術(shù)迅速發(fā)展為BEC的研究提供了實驗條件。，1995年實驗觀察終于實現(xiàn)了氣相原子的BEC.美國科羅拉多大學(xué)實驗夭體物理聯(lián)合研究所（JILA）和國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所（NIST）的Wieman小組于1995年7月首先報道了在實驗上觀察到的87Rb原子的玻色一愛因斯坦凝聚現(xiàn)象；同年8月，美國Rice大學(xué)的Bradley小組報道了7〃原子的玻色一愛因斯坦凝聚的觀察結(jié)果；11月，MIT的Davis等人又報道了23Na原子的玻色一愛因斯坦凝聚的實驗結(jié)果.這三個實驗宣告了實驗實現(xiàn)了BEC，這在物理界引起了強(qiáng)烈反響，成為BEC研究歷史上的一個重要里程碑.那么玻色一愛因斯坦凝聚與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有什么關(guān)系呢？與宏觀網(wǎng)絡(luò)不同，量子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的基本特征是其節(jié)點可以是粒子能級或微觀粒子組成，它們從物理上反映微觀粒子的動力學(xué)和拓?fù)湫再|(zhì)的演化。例如，量子Bose網(wǎng)絡(luò)，盡管它可能是非平衡的或不可逆的，但網(wǎng)絡(luò)的演化可映射為Bose氣體的變化，其節(jié)點對應(yīng)于能級，其聯(lián)線表示粒子；這時一個節(jié)點吸引了大量的聯(lián)接線，其演化的結(jié)果可導(dǎo)致類似于波色-愛因斯坦(Bose-Einstein)凝聚現(xiàn)象間?？紤]一個通過加入新節(jié)點而生長的網(wǎng)絡(luò)，在每一時步內(nèi)我們都加進(jìn)一個新的節(jié)點并同m條聯(lián)線連接起來。一個新節(jié)點連結(jié)m條聯(lián)線中一條聯(lián)線到節(jié)點i的幾率依賴于度k和節(jié)點I的適應(yīng)度I，所以有n=叩ii￡門k (這樣適應(yīng)度門i和聯(lián)接線數(shù)匕共同決定節(jié)點的吸引性和演化性。這樣可賦予能量￡i于每一節(jié)點，并由下式來決定適應(yīng)度ni￡i=了時 (這里P是1/T，T為溫度；而連結(jié)兩個節(jié)點i和j，具有能量七和七，對應(yīng)于門i和門j的聯(lián)線則刻畫兩個無相互作用且具有能量七和七的粒子。增加一個新節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中去，相當(dāng)于加了一個新能級為七.和2m個粒子到系統(tǒng)中(m個粒子進(jìn)來聯(lián)線和m個粒子出來聯(lián)線)。每一個節(jié)點在時間匕加到系統(tǒng)中，且具有能量￡，可被描述為占有數(shù)Et,。，記為節(jié)點在時間tI II I時的聯(lián)接數(shù)。進(jìn)而，我們來看波色-愛因斯坦凝聚與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之間的聯(lián)系。由文獻(xiàn)可知，在能級七上得到新粒子的速率方程是dk(￡,t,t) e-P￡-kG,t,t)——i——i—=m i——ii—dt Zi這里zi是配分函數(shù)，其定義為Z=簇e-陽k（,t,t）j=1假設(shè)每一個節(jié)點增加其聯(lián)結(jié)性并遵循冪律法則:（這里八）是同能量有關(guān)的動力學(xué)指數(shù)。因為門是由分布pQ而隨機(jī)性地選出來，所以能級可由分布gG）=6pC"￡>*選出。現(xiàn)在可由gG）的平均來決定Zt。這是因為對任意P20有z>0，可引入化學(xué)勢H它使我們有Z；e-叩=lim —」ismt利用上面方程，可發(fā)現(xiàn)解中的八）=e-「（"），并可推得利用上面方程，I(p,R)=jd￡gG) 1 =1ep(")—1有趣的是上面所構(gòu)造的系統(tǒng)不是一個平衡態(tài)Bose系統(tǒng)，其中一個原因是合格能級數(shù)（節(jié)點）和粒子數(shù)（聯(lián)線）兩者隨時間呈線性增長，這同具有固定尺寸的量子系統(tǒng)不大一樣。但計算表明在熱力學(xué)極限（T3）時，適應(yīng)度模型可以反映Bose氣體的性質(zhì)。解(1-30)式存在的條件是化學(xué)勢k必須滿足方程(30)。然而I(p,Q在式(1-33)中k=0處取極大值，而當(dāng)I(P,k)<1時，式(1-33)是無解的！注意正是這無解，對應(yīng)于Bose-Einstein凝聚態(tài)。圖1-4詳細(xì)示出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與Bose-Einstein凝聚類比及對應(yīng)關(guān)系示意圖，顯示出一個有限卻極多的n0(p)部分粒子凝聚在最低能級水平上，這樣在Bose-Einstein凝聚態(tài)網(wǎng)絡(luò)的適合節(jié)點吸引所有對應(yīng)于密集低能級的連線，并使高能級變得很稀疏。圖1-4復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與Bose-Einstein凝聚類比及其對應(yīng)關(guān)系示意圖總之，上述從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)譜結(jié)構(gòu)出發(fā)，考察復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的整體結(jié)構(gòu)特征(自相似和對稱性)，及其與動力學(xué)過程的聯(lián)系，對于解決當(dāng)前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)面臨的理論問題具有啟發(fā)性和特殊價值。此外，統(tǒng)計力學(xué)中的滲流理論不僅可以應(yīng)用于預(yù)測復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中相變和大集團(tuán)的的涌現(xiàn)，而且可以發(fā)現(xiàn)和理解實際網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的某些新特性。例如，最近Gergely,Barabasi和Vicsek在Nature雜志發(fā)表“定量社會群落演化”一文［78］，就是利用集團(tuán)滲流方法來研究科學(xué)家合作網(wǎng)和移動電話網(wǎng)，從而發(fā)現(xiàn)一些新現(xiàn)象，我們將后面介紹，隨機(jī)圖理論中存在一個臨界隨機(jī)概率pc，當(dāng)p<pc網(wǎng)絡(luò)全部是由分立的集團(tuán)組成，但是當(dāng)p>pc整個網(wǎng)絡(luò)則由巨集團(tuán)所覆蓋，這個現(xiàn)象與滲流相變相似。Albert和Barabasi對于滲流理論應(yīng)用于隨機(jī)圖及其對應(yīng)關(guān)系也有很好的概述［19］。1.12滲流理論方法在網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用滲流現(xiàn)象及相關(guān)理論是統(tǒng)計物理的一個重要研究課題，可與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系起來研究。例如，滲流模型在原子核領(lǐng)域已有許多研究，可以用來描述原子核多重碎裂現(xiàn)象；也可以研究原子核高能碰撞的各種幾何臨界現(xiàn)象；品格氣體模型也是一種滲流模型。關(guān)于滲流研究的概念、方法和結(jié)果，更與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和動力學(xué)等研究有著密切的關(guān)系。在核碎裂的理論方面，理論模型基本上可以分為兩類：靜態(tài)模型和動力學(xué)模型。前者包括從標(biāo)準(zhǔn)的跟隨統(tǒng)計兩體衰變模型到瞬發(fā)的多重碎裂統(tǒng)計模型。后者的變化更為豐富，從核的破裂模型到亞穩(wěn)定、不穩(wěn)定理論，能描述重離子碰撞從初期到碎裂的整個過程。實驗研究發(fā)現(xiàn)碎片質(zhì)量分布是和碰撞的劇烈程度之間存在一定關(guān)系，存在三個質(zhì)量不同的碎片區(qū)域：在低能碰撞中，發(fā)射出一個很大的碎片（如果裂變的話有兩個），同時另一個較小碎片的大小分布服從指數(shù)分布;在高能碰撞中，沒有發(fā)射重的碎片，所有碎片的大小分布服從指數(shù)分布；對于所有的碎片大小，能在中間區(qū)域出現(xiàn)一個冪律分布。該冪律分布正是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中的無標(biāo)度特性。采用同位旋相關(guān)的晶格氣體模型研究熱核的碎裂過程時［14］，發(fā)現(xiàn)碎片的平均電荷（或質(zhì)量）與碎片大小之間存在冪指數(shù)等于y=1的冪律關(guān)系。實質(zhì)上，滲流是許多實際問題的理論抽象，油或水在有孔介質(zhì)中的逾滲、火災(zāi)的擴(kuò)散、疾病的傳播、介質(zhì)和導(dǎo)體混合物的傳導(dǎo)特性等都可以用滲流模型描述，它們關(guān)心的都是一些在給定空間上一些隨機(jī)分布的對象的連通性問題，是幾何相變的著名模型?？紤]在二維正方形網(wǎng)格上的滲流問題，以某個概率p隨機(jī)地占據(jù)網(wǎng)格上的點（點滲流）或邊（邊滲流），當(dāng)兩個被占據(jù)的點或邊相接觸時，稱其為連通的，互相連通在一起的所有點或邊的集合稱為連通集團(tuán)。很顯然，當(dāng)概率p較小時，網(wǎng)格上只會有一些孤立的小的集團(tuán)（或單點、邊），而當(dāng)p較大時（極限情況下p=1），則會形成連通網(wǎng)格邊界的無限大集團(tuán)（雖然滲流通常研究的都是有限大小的格點上的問題，仍然稱其為無限大集團(tuán)）。研究發(fā)現(xiàn)，無限大集團(tuán)的出現(xiàn)是一個典型的連續(xù)相變問題，對無限大的網(wǎng)格，存在著一個臨界滲流概率pc，當(dāng)p<pc時，所有集團(tuán)都是有限大小，不存在無限大的連通集團(tuán)，而當(dāng)p>pc時，則會存在一個無限大集團(tuán)，網(wǎng)格是可以逾滲的。滲流的常見表現(xiàn)形式就是上面給出的網(wǎng)格形式，它在數(shù)值和解析研究中使用很方便，但是許多自然的無序系統(tǒng)缺乏完整的點陣結(jié)構(gòu)，需要一種不同的方法來描述。連續(xù)滲流[15]就是在維數(shù)不變情形下改變了網(wǎng)格的類型，只改變臨界閾值，還保持臨界滲流指數(shù)的普適性。一種常用的連續(xù)滲流模型是采用圓盤的形式，其中圓用來維持輸運。圓和圓之間的"周圍禁區(qū)(excludedvolume)"互斥力還可以用"核硬心(hardcore)”來模擬，這種相互作用也是一種短程關(guān)系，對臨界滲流指數(shù)不產(chǎn)生影響。在填充因子門達(dá)到臨界值時，重疊的圓盤成一個無限大的集團(tuán)，并且系統(tǒng)支持長程流。在2維情形中，門=對r2，其中n是密度，即單位面積上圓的個數(shù)；r是圓的半徑。重疊的圓盤體積占整個系統(tǒng)的比例,可用填充因子計算得