宇宙航行(25分鐘50分)一、選擇題(本題共6小題，每小題5分，共30分)1．假設(shè)某行星的質(zhì)量與地球質(zhì)量相等，半徑為地球的4倍，要從該行星上發(fā)射一顆繞它自身運行的衛(wèi)星，那么“第一宇宙速度”(環(huán)繞速度)大小應(yīng)為地球上的第一宇宙速度的()A．eq\r(2)倍 B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2) D．2倍【解析】選C。由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)可得v＝eq\r(\f(GM,R))，所以eq\f(v′,v)＝eq\r(\f(M′R,MR′))＝eq\r(\f(1×1,1×4))＝eq\f(1,2)。2．(2021·浙江1月選考)“嫦娥五號”探測器是我國首個實施月面采樣返回的航天器，由軌道器、返回器、著陸器和上升器等多個部分組成。為等待月面采集的樣品，軌道器與返回器的組合體環(huán)月做圓周運動。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球質(zhì)量m1＝6.0×1024kg，月球質(zhì)量m2＝7.3×1022kg，月地距離r1＝3.8×105km，月球半徑r2＝1.7×103km。當軌道器與返回器的組合體在月球表面上方約200km處做環(huán)月勻速圓周運動時，其環(huán)繞速度約為()A．16m/s B．1.1×102m/sC．1.6×103m/s D．1.4×104m/s【解析】選C。組合體離月球表面距離為r＝r2＋h；設(shè)組合體質(zhì)量為m，月球?qū)M合體的萬有引力提供向心力，根據(jù)Geq\f(m2m,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(Gm2,r))＝eq\r(\f(6.67×10－11×7.3×1022,（1.7×103＋200）×103))m/s≈1.6×103m/s，故C正確，A、B、D錯誤。3．(2021·廣東學(xué)業(yè)考)我國自主研制的“天宮二號”空間站在軌道上的運行可看作勻速圓周運動，其軌道半徑比地球的同步衛(wèi)星軌道半徑小。關(guān)于“天宮二號”，下列說法正確的是()A．運行線速度比同步衛(wèi)星的小B．向心加速度比同步衛(wèi)星的小C．運行角速度比同步衛(wèi)星的小D．運行周期比同步衛(wèi)星的小【解析】選D。地球同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)的周期相同，由萬有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝mreq\f(4π2,T2)＝ma，可得：v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)；空間站的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，則由v＝eq\r(\f(GM,r))可知空間站運行的線速度大于地球同步衛(wèi)星運行的線速度，故A錯誤；空間站的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，則由a＝eq\f(GM,r2)可知空間站運行的加速度大于地球同步衛(wèi)星運行的加速度，故B錯誤；空間站的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，則由ω＝eq\r(\f(GM,r3))可知空間站運行的角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度，故C錯誤；根據(jù)T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知空間站運行的周期小于地球同步衛(wèi)星周期，故D正確。4．研究表明，地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢，3億年前地球自轉(zhuǎn)的周期約為22小時，假設(shè)這種趨勢持續(xù)下去，地球的其他條件都不變，未來人類發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比()A．距地面的高度變大B．向心加速度變大C．線速度變大D．角速度變大【解析】選A。由于同步衛(wèi)星相對于地面靜止，故其運行周期必須等于地球的自轉(zhuǎn)周期。由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r＝ma＝meq\f(v2,r)，故當周期變大后，由T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知軌道半徑增大，即離地高度增大，向心加速度a＝eq\f(GM,r2)減小，線速度v＝eq\r(\f(GM,r))減小，角速度ω＝eq\f(2π,T)減小，故只有A正確。5.2022年6月5日，“神舟十四號”飛船成功發(fā)射，順利將陳冬、劉洋、蔡旭哲3名航天員送入太空，并與“天和”核心艙順利對接，如圖所示。假設(shè)對接前它們在離地面高約為400km的同一軌道上一前一后繞地球做勻速圓周運動，則此時“神舟十四號”與“天和”核心艙()A．均處于平衡狀態(tài)B．向心加速度均小于9.8m/s2C．運行周期均大于24hD．“神舟十四號”若點火加速可以追上前面的“天和”核心艙【解析】選B?！吧裰凼奶枴迸c“天和”核心艙繞地球做勻速圓周運動，具有向心加速度，所以二者均不是平衡狀態(tài)，故A錯誤；在地球表面繞地球做勻速圓周運動的物體，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R2)＝mg而對“神舟十四號”與“天和”核心艙有Geq\f(Mm,r2)＝ma，由于r＞R，所以a＜g＝9.8m/s2故B正確；地球同步衛(wèi)星的周期為24h，根據(jù)開普勒第三定律有eq\f(r3,T2)＝eq\f(req\o\al(\s\up1(3),\s\do1(同)),Teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(同)))，由于r＜r同，所以運行周期均小于24h，故C錯誤；“神舟十四號”要與空間站對接，需要在低軌道加速，做離心運動，不能在同一軌道加速，故D錯誤。6．(2021·全國甲卷)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m【解析】選C。把火星看作中心天體，若有衛(wèi)星繞其做勻速圓周運動，有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)，整理可得eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，它也符合開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，即開普勒第三定律中的k＝eq\f(GM,4π2)。在火星表面處由重力等于萬有引力得mg＝eq\f(GMm,R2)，得GM＝gR2，故k＝eq\f(gR2,4π2)。設(shè)“天問一號”的停泊軌道與火星表面最近距離為h1，最遠距離為h2，由開普勒第三定律，得eq\f(（\f(h1＋h2＋2R,2)）3,T2)＝eq\f(gR2,4π2)，代入具體數(shù)據(jù)解得h2≈6×107m，故選項C正確，A、B、D錯誤。二、計算題(本題共2小題，共20分)7．(10分)如圖所示，“嫦娥五號”的成功發(fā)射及月面采樣返回，標志著我國探月工程三步走的目標順利完成。已知“嫦娥五號”繞月飛行軌道近似為圓形，距月球表面高度為H，飛行周期為T，月球的半徑為R，引力常量為G。求：(1)“嫦娥五號”繞月飛行時的線速度大??；(2)月球的質(zhì)量。【解析】(1)根據(jù)勻速圓周運動規(guī)律可得“嫦娥五號”繞月飛行時的線速度大小為v＝eq\f(2π（R＋H）,T)(2)設(shè)月球的質(zhì)量為M，“嫦娥五號”的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,（R＋H）2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋H)解得M＝eq\f(4π2（R＋H）3,GT2)答案：(1)eq\f(2π（R＋H）,T)(2)eq\f(4π2（R＋H）3,GT2)【母題變式】在上題中，若發(fā)射一顆繞月球表面做勻速圓周運動的飛船，則其繞月運行的線速度應(yīng)為多大？【解析】若發(fā)射一顆繞月球表面做勻速圓周運動的飛船，設(shè)其質(zhì)量為m′，線速度大小為v′，根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm′,R2)＝m′eq\f(v′2,R)解得v′＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\f(2π（R＋H）,T)eq\r(\f(R＋H,R))答案：eq\f(2π（R＋H）,T)eq\r(\f(R＋H,R))8．(10分)通過天文觀測，測得某行星的一顆衛(wèi)星圍繞該行星運行的軌道半徑為r，周期為T，已知萬有引力常量為G。試求：(1)行星的質(zhì)量；(2)若行星的半徑為R，求該行星的第一宇宙速度的大小?！窘馕觥?1)萬有引力充當衛(wèi)星的向心力Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)(2)根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\f(2πr,T)eq\r(\f(r,R))答案：(1)eq\f(4π2r3,GT2)(2)eq\f(2πr,T)eq\r(\f(r,R)) (15分鐘30分)9.(6分)下列關(guān)于三種宇宙速度的說法正確的是 ()A.第一宇宙速度v1=7.9km/s,第二宇宙速度v2=11.2km/s,則人造衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運行時的速度大于等于v1,小于v2B.我國發(fā)射的“天問一號”火星探測衛(wèi)星,其發(fā)射速度大于第三宇宙速度C.第二宇宙速度是在地面附近使物體可以掙脫地球引力束縛,成為繞太陽運行的人造小行星的最小發(fā)射速度D.第一宇宙速度7.9km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的最小運行速度【解析】選C。根據(jù)v=GMr可知,衛(wèi)星的軌道半徑r越大,即距離地面越遠,衛(wèi)星的環(huán)繞速度越小,v1=7.【補償訓(xùn)練】2021年5月15日7時18分,我國天問一號探測器成功著陸火星,我國首次火星探測任務(wù)取得圓滿成功。已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的19,火星的半徑約為地球半徑的12。下列關(guān)于天問一號的說法正確的是 (A.發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可B.發(fā)射速度只有達到第三宇宙速度才可以C.發(fā)射速度應(yīng)大于等于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D.天問一號環(huán)繞火星運行的最大速度約為地球第一宇宙速度的2【解析】選C。天問一號前往火星,脫離地球引力束縛,但還在太陽系內(nèi),發(fā)射速度應(yīng)大于等于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度,A、B錯誤,C正確;繞火星運行的最大速度即為火星的第一宇宙速度,由GMmR2=mv2R得,v=GMR,已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的19,火星的半徑約為地球半徑的12,可得火星的第一宇宙速度與地球第一宇宙速度之比v10.(6分)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星,a還未發(fā)射,在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動,b是近地衛(wèi)星,c是地球同步衛(wèi)星,d是高空探測衛(wèi)星。已知地球自轉(zhuǎn)周期為24h,所有衛(wèi)星的運動均視為勻速圓周運動,各衛(wèi)星排列位置如圖所示,則 ()A.a的向心加速度等于重力加速度gB.在相同時間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長最小C.c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是πD.d的運動周期可能是25h【解析】選D。a在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動,a所需向心力不是由重力提供的,故mg≠ma,則a≠g,故A錯誤;由GMmr2=mv2r,得v=GMr,衛(wèi)星的軌道半徑越大,線速度越小,b的線速度大于c、d的線速度,a、c的角速度相等,根據(jù)v=rω知,c的線速度大于a的線速度,所以b的線速度最大,在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最長,故B錯誤;c是地球同步衛(wèi)星,周期是24h,則c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是π3,故C錯誤;由開普勒第三定律R11．(18分)如圖所示，a和b是某天體M的兩顆衛(wèi)星，它們繞天體公轉(zhuǎn)的周期為Ta和Tb，某一時刻兩衛(wèi)星運動至圖示位置，且公轉(zhuǎn)方向相同。(1)至少經(jīng)過多長時間，兩衛(wèi)星再次相距最近？(2)自圖示位置開始，在此后b轉(zhuǎn)動2周的過程中，a、b相距最近一共有多少次？【解析】(1)兩衛(wèi)星再次相距最近，則ωat－ωbt＝2π根據(jù)ω＝eq\f(2π,T)整理可得(eq\f(2π,Ta)－eq\f(2π,Tb))t＝2π解得t＝eq\f(TaTb,Tb－Ta)(2)b轉(zhuǎn)動2周的過程中所用的時間為t總＝2Tb故a、b相距最近的次數(shù)為n＝eq\f(t總,t)＝eq\f(2（Tb－Ta）,Ta)(取整數(shù)部分)答案：(1)eq\f(TaTb,Tb－Ta)(2)eq\f(2（Tb－Ta）,Ta)(取整數(shù)部分)(10分)12．航天員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面一斜坡上P點，沿水平方向以初速度v0拋出一個小球，測得小球經(jīng)時間t落到斜坡另一點Q上，斜坡的傾角為α，已知該星球的半徑為R，引力常量為G，球的體積公式是V＝eq\f(4,3)πR3。求：(1)該星球表面的重力加速度g；(2)該星球的密度；(3)該星球的第一宇宙速度?！窘忸}指南】解答本題應(yīng)注意以下兩點：(1)由平拋規(guī)律算出該星球表面的重力加速度；(2)由星球表面物體的重力等于萬有引力再結(jié)合密度公式計算該星球的密度?！窘馕觥?1)小球在斜坡上做平拋運動時：水平方向上x＝v0t①豎直方向上y＝eq\f(1,2)gt2②由幾何知識tanα＝eq\f(y,x)③由①②③式得g＝eq\f(2v0tanα,t)(2)對于該星球表面質(zhì)量為m0的物體，有Geq\f(Mm0,R2)＝m0g又V＝eq\f(4,3)πR3故ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3v0tanα,2πRtG)(3)該星球的第一宇宙速度等于它的“近地衛(wèi)星”的運行速