多自由度系統(tǒng)振動(dòng)

主講：殷玉楓教授太原科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院-9-9第1頁(yè)教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)頻率方程零根和重根情形多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)有阻尼多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)第2頁(yè)頻率方程零根和重根情形回顧：（1）兩個(gè)例子系統(tǒng)存在剛體運(yùn)動(dòng)，此時(shí)柔度矩陣F不存在，剛度矩陣奇異。（2）多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)剛度矩陣半正定，，系統(tǒng)為半正定系統(tǒng)，此時(shí)存在f(

t)=at+b剛體模態(tài)。即本節(jié)將討論零固有頻率情形m1m2k1k2m3多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第3頁(yè)對(duì)于n自由度系統(tǒng)：廣義特征值問題：有非零解充要條件：若必有：K為奇異矩陣是零固有頻率存在充要條件，滿足此條件時(shí)系統(tǒng)剛度矩陣K是半正定。結(jié)論：說明當(dāng)半正定系統(tǒng)按剛體振型運(yùn)動(dòng)時(shí)，不發(fā)生彈性變形，所以不產(chǎn)生彈性恢復(fù)力。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第4頁(yè)假定系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)主坐標(biāo)方程：積分，得：a、b由初始條件決定表明此主振動(dòng)為隨時(shí)間勻速增大剛體位移系統(tǒng)剛體自由度能夠利用模態(tài)正交性條件消除多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第5頁(yè)設(shè)為零固有頻率對(duì)應(yīng)剛體位移模態(tài)正交性條件要求：其中，為系統(tǒng)除剛體位移之外其它模態(tài)設(shè)為與所對(duì)應(yīng)主坐標(biāo)令：系統(tǒng)消除剛體位移后自由振動(dòng)可得約束條件：利用此約束條件可消去系統(tǒng)一個(gè)自由度，得到不含剛體位移縮減系統(tǒng)，縮減系統(tǒng)剛度矩陣是非奇異。右乘：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第6頁(yè)例：教材P100習(xí)題4.14（不考慮階梯力作用）初始條件：求系統(tǒng)響應(yīng)mmkkmkm多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形解：方法一動(dòng)力方程:固有頻率:奇異矩陣第7頁(yè)模態(tài)矩陣：正則模態(tài)：令：得：初始條件：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形展開，得：第8頁(yè)在正則坐標(biāo)中分兩種情況求解（1）時(shí)運(yùn)動(dòng)方程：解：初始條件：得：所以：（2）時(shí)代入初始條件，可求得：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第9頁(yè)在正則模態(tài)中響應(yīng)：寫成矩陣：原物理空間自由振動(dòng)響應(yīng)：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第10頁(yè)解：方法二：利用約束條件代入約束條件：代入方程，并整理：mmkkmkm多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形非奇異矩陣奇異矩陣第11頁(yè)求得固有頻率：方法一：方法一：正則模態(tài)：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第12頁(yè)模態(tài)空間響應(yīng)：初始條件：物理空間響應(yīng)：第一個(gè)質(zhì)量塊響應(yīng)：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第13頁(yè)寫成矩陣形式：方法一結(jié)果：消除了剛體位移多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第14頁(yè)頻率方程重根情形在前面引入振型矩陣（或模態(tài)矩陣）概念時(shí)，曾假設(shè)全部特征值都是特征方程單根。復(fù)雜系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)一些特征根彼此很靠近甚至相等情況比如，柔性航天結(jié)構(gòu)下面討論怎樣求出系統(tǒng)固有頻率出現(xiàn)重根時(shí)相互正交主振型問題多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第15頁(yè)假使是r重根即有：其余都是單根將代入特征值問題表示式：

特征矩陣秩：即：n個(gè)方程中只有n-r個(gè)是獨(dú)立比如當(dāng)是單根時(shí)，r=1n個(gè)方程中只有n–1個(gè)是獨(dú)立多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形即r=2為簡(jiǎn)單計(jì)，令：則計(jì)算對(duì)應(yīng)模態(tài)時(shí)，中有2個(gè)是不獨(dú)立方程將最終兩個(gè)元素相關(guān)項(xiàng)移至等號(hào)右端：第16頁(yè)任意給定兩組線性獨(dú)立值和

比如：可解出其余n–2個(gè)（i=1~n-2，j=1,2）兩組解多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第17頁(yè)第1、第2階模態(tài)：（不是唯一）為確保它們之間滿足正交性條件（不正交）令：也是以下方程解：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第18頁(yè)要正交，需滿足：即：解得待定系數(shù)c為：c得到后，即可得到相互正交多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第1、第2階模態(tài)：（不是唯一）為確保它們之間滿足正交性條件（不正交）令：第19頁(yè)相互正交又分別與相互正交？模態(tài)矩陣：可使質(zhì)量矩陣及剛度矩陣同時(shí)對(duì)角化即：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第20頁(yè)例：四自由度系統(tǒng)求：系統(tǒng)模態(tài)矩陣x1mmmmkkkkkkkkkx2x3x4多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第21頁(yè)解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：對(duì)應(yīng)于主振型：由由x1mmmmkkkkkkkkkx2x3x4多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第22頁(yè)對(duì)于

得到：

代入第3個(gè)方程顯然不獨(dú)立，第四個(gè)方程可由第一個(gè)方程乘以2再減去第二個(gè)方程得到，故也不獨(dú)立劃去后兩個(gè)方程，將前兩個(gè)方程寫為：解得：則有：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第23頁(yè)對(duì)應(yīng)主振型不難驗(yàn)證都關(guān)于M和K相互正交但、之間不正交為從得到相互正交選取并令左乘解得：于是，有：（注：）多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第24頁(yè)模態(tài)矩陣：能夠驗(yàn)證，有：

多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/頻率方程零根和重根情形第25頁(yè)教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)頻率方程零根和重根情形多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)有阻尼多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)第26頁(yè)多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)

系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)響應(yīng)動(dòng)力吸振器模態(tài)疊加法系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)力響應(yīng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第27頁(yè)回顧：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)響應(yīng)x為復(fù)數(shù)變量，分別與和相對(duì)應(yīng)

設(shè)：復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)引入：系統(tǒng)響應(yīng)：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第28頁(yè)系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)響應(yīng)多自由度系統(tǒng)受到外力激勵(lì)所產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)為受迫運(yùn)動(dòng)

設(shè)n自由度系統(tǒng)沿各個(gè)廣義坐標(biāo)均受到頻率和相位相同廣義簡(jiǎn)諧力激勵(lì)

系統(tǒng)受迫振動(dòng)方程：實(shí)部和虛部分別為余弦或正旋激勵(lì)響應(yīng)為激勵(lì)頻率為廣義激勵(lì)力幅值列陣X為復(fù)數(shù)列陣多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第29頁(yè)系統(tǒng)受迫振動(dòng)方程：穩(wěn)態(tài)解：振幅列向量簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也為簡(jiǎn)諧響應(yīng)，而且振動(dòng)頻率為外部激勵(lì)頻率，不過各個(gè)自由度上振幅各不相同。代入，得：記

多自由度系統(tǒng)幅頻響應(yīng)矩陣則有：所以：工程中：阻抗矩陣導(dǎo)納矩陣多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第30頁(yè)H物理意義：

沿i坐標(biāo)投影式：所以：所以物理意義為僅沿j坐標(biāo)作用頻率為單位幅度簡(jiǎn)諧力時(shí)，沿i坐標(biāo)所引發(fā)受迫振動(dòng)復(fù)振幅。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)因?yàn)镠含有系統(tǒng)特征方程所以，當(dāng)外部激勵(lì)頻率靠近系統(tǒng)任意一個(gè)固有頻率時(shí)，都會(huì)使受迫振動(dòng)振幅無(wú)限增大引發(fā)共振。第31頁(yè)動(dòng)力吸振器許多機(jī)器或部件因?yàn)樾D(zhuǎn)部分質(zhì)量偏心而產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)，為減小這種振動(dòng)有時(shí)能夠采取動(dòng)力吸振器。有阻尼動(dòng)力吸振器系統(tǒng)彈簧k2m1、

k1：主系統(tǒng)質(zhì)量和彈簧剛度阻尼動(dòng)力吸振器：m1上作用有簡(jiǎn)諧激振力質(zhì)量

m2阻尼cx1x2m2k1m1k2c多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第32頁(yè)系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程：先考慮無(wú)阻尼動(dòng)力吸振器利用直接法得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅：x1x2m2k1m1k2c多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第33頁(yè)主系統(tǒng)不再振動(dòng)：系統(tǒng)特征多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)反共振此時(shí)吸振器振幅主系統(tǒng)上受到激振力恰好被來(lái)自吸振器彈性恢復(fù)力平衡x1x2m2k1m1k2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第34頁(yè)無(wú)阻尼動(dòng)力吸振器左圖：第一階模態(tài)響應(yīng)中間：動(dòng)力吸振器右圖：第二階模態(tài)響應(yīng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第35頁(yè)吸振器參數(shù)k2、m2普通選為：當(dāng)時(shí)反共振記：使吸振器固有頻率和主系統(tǒng)固有頻率相等則可寫為：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)x1x2m2k1m1k2第36頁(yè)設(shè)是由吸振器和主系統(tǒng)組成兩自由度系統(tǒng)固有頻率則由當(dāng)時(shí)反共振多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)x1x2m2k1m1k2并記：第37頁(yè)當(dāng)時(shí)反共振代入并設(shè)得：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)x1x2m2k1m1k2第38頁(yè)當(dāng)時(shí)反共振反共振點(diǎn)0123-6-4-2024共振點(diǎn)共振點(diǎn)x1x2m2k1m1k2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)即使出現(xiàn)反共振，不過在反共振兩旁存在兩個(gè)共振點(diǎn)。第39頁(yè)反共振點(diǎn)0123-6-4-2024共振點(diǎn)共振點(diǎn)為了允許激勵(lì)頻率在附近有一定范圍改變s1、s2

應(yīng)該相距遠(yuǎn)些x1x2m2k1m1k2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第40頁(yè)反共振點(diǎn)0123-6-4-2024共振點(diǎn)共振點(diǎn)00.10.20.30.40.50.60.70.80.40.60.811.21.41.61.822.22.4隨改變曲線當(dāng)值較大時(shí)，s1、s2相距較遠(yuǎn)k2、m2

變大動(dòng)力吸振器變得拙笨辦法：采取阻尼動(dòng)力吸振器多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第41頁(yè)系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程：有阻尼動(dòng)力吸振器采取直接法：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅（復(fù)振幅）：x1x2m2k1m1k2c多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第42頁(yè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅（復(fù)振幅）：主系統(tǒng)復(fù)振幅：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第43頁(yè)主系統(tǒng)復(fù)振幅：取模，得實(shí)振幅：引入以下符號(hào)：得無(wú)量綱表示：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第44頁(yè)0.60.70.80.911.11.21.30246810121416多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)?。旱?5頁(yè)0.60.70.80.911.11.21.30246810121416分析：當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)中無(wú)阻尼，兩個(gè)共振頻率點(diǎn)s=0.895，1.12。當(dāng)s=1時(shí)，反共振，主系統(tǒng)振幅為零。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第46頁(yè)0.60.70.80.911.11.21.30246810121416當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)變成單自由度系統(tǒng)，共振點(diǎn)s=0.976。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第47頁(yè)0.60.70.80.911.11.21.30246810121416當(dāng)和時(shí)，可見當(dāng)s＝1時(shí)，主系統(tǒng)振幅并不為零，不過和無(wú)阻尼系統(tǒng)兩個(gè)共振振幅相比，共振振幅顯著下降。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第48頁(yè)不論阻尼取多少，全部曲線都過S、T兩點(diǎn)。0.60.70.80.911.11.21.30246810121416實(shí)際設(shè)計(jì)有阻尼動(dòng)力吸振器時(shí)，普通選取適當(dāng)m2與k2，使曲線在S和T點(diǎn)有相同幅值，而且適當(dāng)選取阻尼，使曲線在S、T兩點(diǎn)含有水平切線。ST多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第49頁(yè)模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法也可用于分析多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)前面討論外部激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，所以可采取直接法進(jìn)行求解

當(dāng)外部激勵(lì)不是簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，則不能用直接法，此時(shí)可采取模態(tài)疊加法。下面先用模態(tài)疊加法對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)進(jìn)行求解，以深入闡述多自由度系統(tǒng)共振特征。然后采取模態(tài)疊加法對(duì)任意外部激勵(lì)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行求解多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第50頁(yè)考慮簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)情況n自由度系統(tǒng)動(dòng)力方程：利用：展開：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)解釋以下第51頁(yè)考慮簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)情況n自由度系統(tǒng)動(dòng)力方程：利用：展開：模態(tài)坐標(biāo)解：激勵(lì)頻率與第階固有頻率之比

各坐標(biāo)受迫振動(dòng)規(guī)律完全類似于單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)規(guī)律利用，得：

多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第52頁(yè)n自由度系統(tǒng)動(dòng)力方程：穩(wěn)態(tài)解：可看出：第j

階主坐標(biāo)受迫振動(dòng)幅度將急劇增大，造成第j

階頻率共振。當(dāng)時(shí)系統(tǒng)含有n

個(gè)不相等固有頻率時(shí)，能夠出現(xiàn)n

種不一樣頻率共振。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第53頁(yè)例：三自由度系統(tǒng)求：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2kmmmk2kkx1x2x3P1(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)解：作用力方程：正則振型矩陣：正則坐標(biāo)下激振力：第一個(gè)正則方程：同理可解出：第54頁(yè)外部激勵(lì)正則振型矩陣：激振頻率靠近第二階固有頻率，在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中第二階振型占主要成份。2kmmmk2kkx1x2x3P0(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第55頁(yè)考慮任意外部激勵(lì)時(shí)情況

n自由度系統(tǒng)：做變換:可寫為：正則坐標(biāo)初始條件：

：正則模態(tài)矩陣

得:解為：在得到后，利用得出原系統(tǒng)解。模態(tài)廣義力多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第56頁(yè)利用主模態(tài)坐標(biāo)求解做變換:可寫為：模態(tài)坐標(biāo)初始條件：

：主模態(tài)矩陣

得:解為：在得到后，利用得出原系統(tǒng)解。模態(tài)廣義力多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)

n自由度系統(tǒng)：第57頁(yè)例：教材P100在第一個(gè)和第四個(gè)質(zhì)量上作用有階梯力F零初始條件求：系統(tǒng)響應(yīng)kmmmmkkF(t)F(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)動(dòng)力方程：解：第58頁(yè)動(dòng)力方程：正則模態(tài)矩陣：利用:得:展開，得：模態(tài)力多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第59頁(yè)當(dāng)i=1當(dāng)解為：矩陣形式：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第60頁(yè)原系統(tǒng)響應(yīng)：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)第61頁(yè)教學(xué)內(nèi)容多自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)頻率方程零根和重根情形多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)有阻尼多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)第62頁(yè)有阻尼多自由度系統(tǒng)

多自由度系統(tǒng)阻尼普通粘性阻尼系統(tǒng)響應(yīng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/有阻尼多自由度系統(tǒng)第63頁(yè)多自由度系統(tǒng)阻尼任何實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)都不可防止存在著阻尼原因材料結(jié)構(gòu)阻尼，介質(zhì)粘性阻尼等因?yàn)楦鞣N阻尼力機(jī)理復(fù)雜，難以給出恰當(dāng)數(shù)學(xué)表示。在阻尼力較小時(shí)，或激勵(lì)遠(yuǎn)離系統(tǒng)固有頻率時(shí)，能夠忽略阻尼力存在，近似地看成無(wú)阻尼系統(tǒng)。當(dāng)激勵(lì)頻率靠近系統(tǒng)固有頻率，激勵(lì)時(shí)間又不是很短暫情況下，阻尼影響是不能忽略。普通情況下，可將各種類型阻尼化作等效粘性阻尼。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/有阻尼多自由度系統(tǒng)第64頁(yè)有阻尼n自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程為：阻尼矩陣元素cij

阻尼影響系數(shù)物理意義：是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)廣義坐標(biāo)上產(chǎn)生單位速度而對(duì)應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加力阻尼力為廣義速度線性函數(shù)表示為：阻尼矩陣普通是正定或半正定對(duì)稱矩陣多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/有阻尼多自由度系統(tǒng)第65頁(yè)有阻尼n自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程為：假定已經(jīng)得到無(wú)阻尼系統(tǒng)下模態(tài)矩陣及譜矩陣做坐標(biāo)變換：有：即：其中：模態(tài)阻尼矩陣即使主質(zhì)量矩陣與主剛度矩陣是對(duì)角陣，但阻尼矩陣普通非對(duì)角陣，因而主坐標(biāo)Y下強(qiáng)迫振動(dòng)方程依然存在耦合。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/有阻尼多自由度系統(tǒng)第66頁(yè)

非對(duì)角比如：三自由度系統(tǒng)c2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/有阻尼多自由度系統(tǒng)第67頁(yè)若非對(duì)角，則前面在無(wú)阻尼系統(tǒng)中介紹主坐標(biāo)方法或正則坐標(biāo)方法都不再適用，振動(dòng)分析將變得十分復(fù)雜。為了能沿用無(wú)阻尼系統(tǒng)中分析方法，工程中常采取以下近似處理方法。(1)忽略矩陣中全部非對(duì)角元素第i階主振型阻尼系數(shù)第i階振型阻尼或模態(tài)阻尼做變換：n自由度系統(tǒng)：令：第i階振型阻尼比或模態(tài)阻尼比多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/有阻尼多自由度系統(tǒng)第68頁(yè)（2）將矩陣C假設(shè)為百分比阻尼假定C有以下形式：a,b：為常數(shù)代入中對(duì)角陣相對(duì)阻尼系數(shù)：（3）由試驗(yàn)測(cè)定n階振型阻尼系數(shù)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/有阻尼多自由度系統(tǒng)第69頁(yè)普通粘性阻尼系統(tǒng)響應(yīng)當(dāng)阻尼矩陣C不允許忽略非對(duì)角元素，以上近似方法不成立