第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示[最新考綱]1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up12(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共線?x1y2－x2y1＝0.eq\O([常用結(jié)論])1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．若G是△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up12(→))＋eq\o(GB,\s\up12(→))＋eq\o(GC,\s\up12(→))＝0，eq\o(AG,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))．一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底． ()(2)在△ABC中，向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))的夾角為∠ABC. ()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的． ()(4)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改編1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)D[∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴eq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))∴eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(3,2)，\f(1,2)＋\f(3,2)))＝(－1,2)，故選D.]2．已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．(1,5)[設(shè)D(x，y)，則由eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))]3．已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up12(→))＝.(－7，－4)[根據(jù)題意得eq\o(AB,\s\up12(→))＝(3,1)，∴eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．]4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則eq\f(m,n)＝.－eq\f(1,2)[由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb與a－2b共線，得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).]考點(diǎn)1平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便．另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理．1.如果e1，e2是平面α內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2 D．e1＋3e2與6e2＋2e1D[選項(xiàng)A中，設(shè)e1＋e2＝λe1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0，))無(wú)解；選項(xiàng)B中，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2＝2λ，))無(wú)解；選項(xiàng)C中，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝－λ，))無(wú)解；選項(xiàng)D中，e1＋3e2＝eq\f(1,2)(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量．故選D.]2．在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，eq\o(AN,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋μeq\o(AC,\s\up12(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1A[因?yàn)镸為邊BC上任意一點(diǎn)，所以可設(shè)eq\o(AM,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(AC,\s\up12(→))(x＋y＝1)．因?yàn)镹為AM的中點(diǎn)，所以eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)yeq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋μeq\o(AC,\s\up12(→)).所以λ＋μ＝eq\f(1,2)(x＋y)＝eq\f(1,2).故選A.]3.如圖，以向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b為鄰邊作?OADB，eq\o(BM,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CN,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up12(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up12(→))，eq\o(ON,\s\up12(→))，eq\o(MN,\s\up12(→)).[解]∵eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up12(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(BM,\s\up12(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵eq\o(OD,\s\up12(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up12(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(ON,\s\up12(→))－eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.綜上，eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.(1)只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無(wú)窮多組．(2)利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算．考點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，eq\o(CA,\s\up12(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up12(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up12(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up12(→))的坐標(biāo)．[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵eq\o(CM,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up12(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up12(→))＝eq\o(ON,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up12(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up12(→))＝(9，－18)．[母題探究](變結(jié)論)本例條件不變，若a＝mb＋nc，則m＝，n＝.－1－1[∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝(5，－5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))]求解此類問(wèn)題的過(guò)程中，常利用“向量相等，其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相同”這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解．1.已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up12(→))＝2eq\o(AD,\s\up12(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2) D．(1,3)A[設(shè)D(x，y)，eq\o(AD,\s\up12(→))＝(x，y－2)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(4,3)，又eq\o(BC,\s\up12(→))＝2eq\o(AD,\s\up12(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝2x，,3＝2y－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2)，))故選A.]2．向量a，b滿足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，則b為()A．(－3,4) B．(3,4)C．(3，－4) D．(－3，－4)A[∵a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，∴a＝(2,1)，b＝(－3,4)，故選A.]3.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中，如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A．1 B．2C．3 D．4D[以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝－λ＋6μ，,－3＝λ＋2μ，))解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2).∴eq\f(λ,μ)＝4.]考點(diǎn)3向量共線的坐標(biāo)表示兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)已知b≠0，則a∥b的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(λ∈R)．利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)[一題多解]已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為．(3,3)[法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up12(→))＝λeq\o(OB,\s\up12(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up12(→))＝(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．法二：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up12(→))＝(x，y)，因?yàn)閑q\o(OB,\s\up12(→))＝(4,4)，且eq\o(OP,\s\up12(→))與eq\o(OB,\s\up12(→))共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y(tǒng).又eq\o(AP,\s\up12(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－2,6)，且eq\o(AP,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．]利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)的方法：一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．利用向量共線求參數(shù)(1)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，若a∥b，則銳角θ＝.(2)若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為．(1)45°(2)