第一章考試要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理

與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定.落實(shí)主干知識(shí)課時(shí)精練探究核心題型LUOSHIZHUGANZHISHI落實(shí)主干知識(shí)1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的

條件，q是p的

條件p是q的

條件p?q且q?pp是q的

條件p?q且q?pp是q的

條件p?qp是q的

條件p?q且q?p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“

”表示.(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“

”表示.??3.全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡(jiǎn)記________________________否定?x∈M，綈p(x)

，綈p(x)?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)?x∈M1.充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.①若p是q的充分條件，則A?B；②若p是q的充分不必要條件，則AB；③若p是q的必要不充分條件，則BA；④若p是q的充要條件，則A＝B.2.含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”.3.命題p與p的否定的真假性相反.常用結(jié)論判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要條件等價(jià)于q是p的必要不充分條件.(

)(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題.(

)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B.(

)√√√×1.“a>b”是“ac2>bc2”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√當(dāng)a>b時(shí)，若c2＝0，則ac2＝bc2，所以a>b?ac2>bc2，當(dāng)ac2>bc2時(shí)，c2≠0，則a>b，所以ac2>bc2?a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件.2.使－2<x<2成立的一個(gè)充分條件是A.x<2 B.0<x<2C.－2≤x≤2

D.x>0√3.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是_______________________________________.存在一個(gè)等邊三角形，它不是等腰三角形TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(1)已知p：

<1，q：log2x<0，則p是q的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√題型一充分、必要條件的判定由log2x<0知0<x<1，所以q對(duì)應(yīng)的x的范圍為(0,1)，顯然(0,1)(0，＋∞)，所以p是q的必要不充分條件.(2)(2021·全國(guó)甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件√當(dāng)a1<0，q>1時(shí)，an＝a1qn－1<0，此時(shí)數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增時(shí)，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，則qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，則qn<0(n∈N*)，不存在.所以甲是乙的必要條件.1.在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件教師備選√在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，則∠B＝90°，即△ABC為直角三角形，若△ABC為直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，綜上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的充分不必要條件.2.(2022·寧波模擬)設(shè)a，b∈R，p：log2(a－1)＋log2(b－1)>0，q：<1，則p是q的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√由題意得，p：log2(a－1)＋log2(b－1)＝log2(a－1)(b－1)>0＝log21，所以(a－1)(b－1)>1，即a＋b<ab，所以p是q的充分條件；若ab>0，則a＋b<ab，若ab<0，則a＋b>ab，所以p是q的非必要條件，所以p是q的充分不必要條件.思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問(wèn)題.(2)集合法：根據(jù)p，q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練1

(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√若a>2，b>2，則a＋b>4，ab>4.當(dāng)a＝1，b＝5時(shí)，滿足a＋b>4，ab>4，但不滿足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4?a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要條件.(2)(2022·太原模擬)若a，b為非零向量，則“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝0，則(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分條件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要條件.故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要條件.例2

已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要條件，求m的取值范圍.題型二充分、必要條件的應(yīng)用由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}.由x∈A是x∈B的必要條件，知B?A.∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，x∈A是x∈B的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3].延伸探究

本例中，若把“x∈A是x∈B的必要條件”改為“x∈A是x∈B的充分不必要條件”，求m的取值范圍.∵x∈A是x∈B的充分不必要條件，∴AB，解得m≥9，故m的取值范圍是[9，＋∞).(2022·泰安模擬)已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，－1] B.(－∞，－1)C.[1，＋∞) D.(1，＋∞)√教師備選因?yàn)閝：|x＋2a|<3，所以q：－2a－3<x<－2a＋3，記A＝{x|－2a－3<x<－2a＋3}，p：x≥a，記為B＝{x|x≥a}.因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以AB，所以a≤－2a－3，解得a≤－1.思維升華求參數(shù)問(wèn)題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2022·衡水中學(xué)模擬)若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要條件是1<x<2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.[1,2]由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1，因?yàn)?<x<2是不等式(x－a)2<1成立的充分不必要條件，(2)已知p：實(shí)數(shù)m滿足3a<m<4a(a>0)，q：方程

＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，若p是q的充分條件，則a的取值范圍是________.命題點(diǎn)1含量詞命題的否定例3

(1)已知命題p：?n∈N，n2≥2n＋5，則綈p為A.?n∈N，n2≥2n＋5B.?n∈N，n2≤2n＋5C.?n∈N，n2<2n＋5D.?n∈N，n2＝2n＋5√題型三全稱量詞與存在量詞由存在量詞命題的否定可知，綈p為?n∈N，n2<2n＋5.所以C正確，A，B，D錯(cuò)誤.(2)命題：“奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是_________________________________.存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方不是奇數(shù)命題點(diǎn)2含量詞命題的真假判定例4

(多選)下列命題是真命題的是A.?a∈R，使函數(shù)y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數(shù)B.?x∈R，函數(shù)y＝sinx＋cos

x＋

的值恒為正數(shù)C.?x∈R，2x<x2D.?x∈(－10，＋∞)，√√當(dāng)a＝1時(shí)，y＝2x＋2－x為偶函數(shù)，故A為真命題；當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，2x<x2，故C為真命題；命題點(diǎn)3含量詞命題的應(yīng)用例5

已知命題“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.因?yàn)槊}“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，所以命題“?x∈R，使得ax2－x＋2>0”是真命題，當(dāng)a＝0時(shí)，得x<2，故命題“?x∈R，使得ax2－x＋2>0”是假命題，不符合題意；1.(2022·西安模擬)下列命題中假命題是A.?x∈R，2x－1>0B.?x∈N*，(x－1)2>0C.?x∈R，lg

x<1D.?x∈R，tanx＝2√教師備選∵指數(shù)函數(shù)y＝2x的值域?yàn)?0，＋∞)，∴?x∈R，均可得到2x－1>0成立，故A項(xiàng)為真命題；∵當(dāng)x∈N*時(shí)，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，∴?x∈N*，使(x－1)2>0不成立，故B項(xiàng)為假命題；∵當(dāng)x＝1時(shí)，lg1＝0<1，∴?x∈R，使得lg

x<1成立，故C項(xiàng)為真命題；∵正切函數(shù)y＝tanx的值域?yàn)镽，∴存在銳角x，使得tanx＝2成立，故D項(xiàng)為真命題.綜上所述，只有B項(xiàng)是假命題.2.若命題“?x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則m的取值范圍是A.－4≤m≤－3

B.m<－4C.m≥－4 D.－4≤m≤0√若命題“?x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命題，則命題“?x∈[1,4]，x2－4x－m＝0”是真命題，則m＝x2－4x，設(shè)y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因?yàn)楹瘮?shù)y＝x2－4x在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,4)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝2時(shí)，ymin＝－4；當(dāng)x＝4時(shí)，ymax＝0，故當(dāng)1≤x≤4時(shí)，－4≤y≤0，則－4≤m≤0.思維升華含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個(gè)成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假.(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價(jià)命題.跟蹤訓(xùn)練3

(1)命題“?x>0，xsin

x<2x－1”的否定是A.?x>0，xsin

x≥2x－1B.?x>0，xsin

x≥2x－1C.?x≤0，xsin

x<2x－1D.?x≤0，xsin

x≥2x－1√因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“?x>0，xsin

x<2x－1”的否定是：?x>0，xsin

x≥2x－1.(2)(2022·重慶模擬)下列命題為真命題的是A.?x∈R，x2－|x|＋1≤0B.?x∈R，－1≤≤1C.?x∈R，(ln

x)2≤0D.?x∈R，sinx＝3√所以?x∈R，x2－|x|＋1≤0是假命題；對(duì)于C，當(dāng)x＝1時(shí)，ln

x＝0，所以?x∈R，(ln

x)2≤0是真命題；對(duì)于D，因?yàn)椋?≤sinx≤1，所以?x∈R，sinx＝3是假命題.(3)若命題“?x∈R，x2－mx－m<0”為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______________________.(－∞，－4)∪(0，＋∞)依題意，Δ＝m2＋4m>0，∴m>0或m<－4.KESHIJINGLIAN課時(shí)精練1.命題p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是A.有些三角形不是等腰三角形B.有些三角形可能是等腰三角形C.所有三角形不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形基礎(chǔ)保分練√12345678910111213141516命題p：“?x∈A，使P(x)成立”，綈p為“對(duì)?x∈A，有P(x)不成立”.故命題p：“有些三角形是等腰三角形”，則綈p是“所有三角形不是等腰三角形”.123456789101112131415162.(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，則“a·c＝b·c”是“a＝b”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件√由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分條件.123456789101112131415163.以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是A.銳角三角形有一個(gè)內(nèi)角是鈍角B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0C.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使√1234567891011121314151612345678910111213141516A中銳角三角形的內(nèi)角都是銳角，所以A是假命題；B中當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，滿足x2≤0，所以B既是存在量詞命題又是真命題；123456789101112131415164.(2022·沈陽(yáng)模擬)在空間中，設(shè)m，n是兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，如果m?α，α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√當(dāng)m⊥n時(shí)，∵m?α，α∥β，則n與β可能平行，∴充分性不成立；當(dāng)n⊥β時(shí)，∵α∥β，∴n⊥α，∵m?α，∴m⊥n，∴必要性成立，∴“m⊥n”是“n⊥β”的必要不充分條件.5.若命題“?x∈(0，＋∞)，使得ax>x2＋4成立”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(4，＋∞) B.(－∞，4)C.[4，＋∞)

D.(－∞，4]√1234567891011121314151612345678910111213141516若命題“?x∈(0，＋∞)，使得ax>x2＋4成立”是假命題，則有“?x∈(0，＋∞)，使得ax≤x2＋4成立”是真命題.6.(2022·南京模擬)已知集合M＝[－1,1]，那么“a≥

”是“?x∈M,4x－2x＋1－a≤0”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件√12345678910111213141516∵?x∈M,4x－2x＋1－a≤0，∴a≥(4x－2x＋1)min，x∈[－1,1]，設(shè)t＝2x，∴f(t)min＝f(1)＝－1，∴a≥－1，12345678910111213141516123456789101112131415167.(多選)(2022·煙臺(tái)調(diào)研)下列四個(gè)命題中是真命題的有A.?x∈R，3x>0B.?x∈R，x2＋x＋1≤0C.?x∈R，sinx<2xD.?x∈R，cos

x>x2＋x＋1√√?x∈R，3x>0恒成立，A是真命題；∴B是假命題；123456789101112131415168.(多選)(2022·臨沂模擬)下列四個(gè)條件中，能成為x>y的充分不必要條件的是A.xc2>yc2

B.C.|x|>|y|

D.ln

x>ln

y√12345678910111213141516√√對(duì)于A選項(xiàng)，若xc2>yc2

，則c2≠0，則x>y，反之x>y，當(dāng)c＝0時(shí)得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要條件，故A正確；即能推出x>y；故B正確；1234567891011121314151612345678910111213141516對(duì)于C選項(xiàng)，由|x|>|y|可得x2>y2，則(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若ln

x>ln

y，則x>y，反之x>y得不出ln

x>ln

y，所以“l(fā)n

x>ln

y”是“x>y”的充分不必要條件，故D正確.9.若命題p：?x∈(0，＋∞)，

>x＋1，則命題p的否定為_(kāi)_______________________.12345678910111213141516?x∈(0，＋∞)，10.(2022·衡陽(yáng)模擬)使得“2x>4x”成立的一個(gè)充分條件是___________________.由于4x＝22x，故2x>22x等價(jià)于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一個(gè)充分條件只需為集合{x|x<0}的子集即可.12345678910111213141516x<－1(答案不唯一)直線y＝kx＋1過(guò)定點(diǎn)(0,1)，依題意知點(diǎn)(0,1)在圓x2＋y2＝a2內(nèi)部(包含邊界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.11.直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝a2(a>0)有公共點(diǎn)的充要條件是______________.12345678910111213141516a∈[1，＋∞)12.已知命題p：“?x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命題q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命題p，q均為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________________.由題意可知p和q均為真命題，由命題p為真命題，得?x∈[1，＋∞)，x2≥a恒成立，(x2)min＝1，得a≤1；由命題q為真命題，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0成立，得a≤－2或a≥1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤－2或a＝1}.12345678910111213141516{a|a≤－2或a＝1}技能提升練1234567891011121314151613.(2022·蘇州中學(xué)月考)在△ABC中，“A>B”是“cos

A<cos

B”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√12345678910111213141516因?yàn)锳，B是△ABC的內(nèi)角，且A>B，所以0<B<A