專題6.4正弦定理、余弦定理的應用新課程考試要求掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數學核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數學運算（多例）等.考向預測（1）測量距離問題；（2測量高度問題；（3）測量角度問題.（4）主要是利用定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的問題，關鍵是弄懂有關術語，認真理解題意.三角形中的應用問題，主要是結合直角三角形、正方形等，考查邊角及面積的計算，與平面向量、解析幾何、立體幾何等結合考查，也有與導數結合考查的情況.【知識清單】知識點1．正弦定理正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問題．面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB知識點2．余弦定理余弦定理：，，.變形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)知識點3．實際問題中的有關概念(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)．(2)方位角：從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖2)．(3)方向角：相對于某一正方向的水平角(如圖3)①北偏東α°即由指北方向順時針旋轉α°到達目標方向．②北偏西α°即由指北方向逆時針旋轉α°到達目標方向．③南偏西等其他方向角類似．(4)坡度：①定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(如圖4，角θ為坡角)．②坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡比)．【考點分類剖析】考點1與平面向量、解析幾何、立體幾何結合【典例1】（2021·四川成都市·高三三模（文））已知A，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的兩個動點，且滿足SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設AB中點為M，則SKIPIF1<0，根據勾股定理，求得SKIPIF1<0，可得M的軌跡方程，化簡可得SKIPIF1<0，根據圓外一點到圓上點的最小距離為d-r，即可求得答案.【詳解】設AB中點為M，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以M在以O為圓心，1為半徑的圓上，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又M的軌跡方程為：SKIPIF1<0，所以P到M軌跡的圓心的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為d-r=3-1=2，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2021·山東省青島第一中學高一期中）如圖所示，為測量山高SKIPIF1<0選擇A和另一座山的山頂SKIPIF1<0為測量觀測點，從A點測得SKIPIF1<0點的仰角SKIPIF1<0點的仰角SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0從SKIPIF1<0點測得SKIPIF1<0，若山高SKIPIF1<0米，則山高SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米C．SKIPIF1<0米 D．SKIPIF1<0米【答案】A【解析】在SKIPIF1<0中，可求得AC，根據正弦定理，在SKIPIF1<0中，可求得AM，在SKIPIF1<0中，即可求得答案.【詳解】因為在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（米）故選：A【典例3】（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，SKIPIF1<0D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若SKIPIF1<0（m為常數），則CD的長度是________．【答案】SKIPIF1<0或0【解析】根據題設條件可設SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0與SKIPIF1<0三點共線，可求得SKIPIF1<0，再根據勾股定理求出SKIPIF1<0，然后根據余弦定理即可求解.【詳解】∵SKIPIF1<0三點共線，∴可設SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三點共線，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴根據余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的長度為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合，此時SKIPIF1<0的長度為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合，此時SKIPIF1<0，不合題意，舍去.故答案為：0或SKIPIF1<0.【變式探究】1.（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（理））某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在SKIPIF1<0處（點SKIPIF1<0在水平地面SKIPIF1<0的下方，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與水平地面SKIPIF1<0的交點）進行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀察點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩地相距100米，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離比SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離遠40米．SKIPIF1<0地測得該儀器在SKIPIF1<0處的俯角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0地測得最高點SKIPIF1<0的仰角為SKIPIF1<0，則該儀器的垂直彈射高度SKIPIF1<0為（）A．210米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．420米【答案】C【解析】在SKIPIF1<0中利用余弦定理求出SKIPIF1<0，進而在SKIPIF1<0中可求出SKIPIF1<0，再在SKIPIF1<0中求出SKIPIF1<0，即可得解．【詳解】設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．故答案為：C．2.（2021·浙江高二期末）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的三個內角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對邊，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的中點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積最大值為_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】利用余弦定理可求得SKIPIF1<0的值，可求得角SKIPIF1<0的值，利用平面向量的數量積結合基本不等式可求得SKIPIF1<0的最大值，再利用三角形的面積公式可求得結果.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由基本不等式可得SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3.（高考真題）如圖，在某海濱城市O附近的海面上正形成臺風.據氣象部門檢測，目前臺風中心位于城市O的南偏東15°方向200km的海面P處，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移動.如果臺風侵襲的范圍為圓心區(qū)域，目前圓形區(qū)域的半徑為100km，并以20【答案】4.1小時．【解析】根據題意可設t小時后臺風中心到達A點，該城市開始受到臺風侵襲，如圖ΔPAO中，PO=200PA=10t，AO=100+20由余弦定理得，100+20t2=100化簡得t2解得t=10答：大約4.1小時后該城市開始受到臺風的侵襲.考點2測量距離問題【典例4】（2021·永豐縣永豐中學高一期末）為了測量河對岸兩點C，D間的距離，現在沿岸相距SKIPIF1<0的兩點A，B處分別測得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0間的距離為________.【答案】2【解析】在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中應用正弦定理求得SKIPIF1<0，然后在SKIPIF1<0中應用余弦定理可求得結果【詳解】解：在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：2【總結提升】測量距離問題，歸納起來常見的命題角度有：（1）兩點都不可到達；（2）兩點不相通的距離；（3）兩點間可視但有一點不可到達.【變式探究】（2021·合肥一六八中學高三其他模擬（文））“湖畔波瀾飛，耕耘戰(zhàn)鼓催”，合肥一六八中學的一草一木都見證了同學們的成長．某同學為了測量瀾飛湖兩側C，D兩點間的距離，除了觀測點C，D外，他又選了兩個觀測點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，已經測得兩個角SKIPIF1<0，由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀測數據和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C，D間距離的有（）組

①SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0和SKIPIF1<0A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由已知條件結合正余弦定理，可判斷所選的條件是否可以求出SKIPIF1<0.【詳解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴可求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0和SKIPIF1<0：△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，即可求SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0和SKIPIF1<0：可求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0求SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0和SKIPIF1<0：可求SKIPIF1<0，則在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，即可求SKIPIF1<0；∴①②③都可以求SKIPIF1<0.故選：D考點3測量高度問題【典例5】（2021·北京高三其他模擬）魏晉南北朝(公元SKIPIF1<0)時期，中國數學在測量學取得了長足進展.劉徽提出重差術，應用中國傳統(tǒng)的出入相補原理，通過多次觀測，測量山高水深等數值，進而使中國的測量學達到登峰造極的地步，超越西方約一千年，關于重差術的注文在唐代成書，因其第一題為測量海島的高度和距離(圖1)，故題為《海島算經》受此題啟發(fā)，小清同學依照此法測量奧林匹克公園奧林匹克塔的高度和距離(示意圖如圖2所示)，錄得以下是數據(單位：米)：前表卻行SKIPIF1<0，表高SKIPIF1<0，后表卻行SKIPIF1<0，表間SKIPIF1<0.則塔高SKIPIF1<0__________米，前表去塔遠近SKIPIF1<0__________米.【答案】246122【解析】根據相似三角形的性質計算可得；【詳解】解：依題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；【總結提升】求解高度問題的三個關注點(1)在處理有關高度問題時，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題．【變式探究】（全國高考真題）如圖，為測量出高SKIPIF1<0，選擇SKIPIF1<0和另一座山的山頂SKIPIF1<0為測量觀測點，從SKIPIF1<0點測得SKIPIF1<0點的仰角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點的仰角SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0；從SKIPIF1<0點測得SKIPIF1<0．已知山高SKIPIF1<0，則山高SKIPIF1<0__________SKIPIF1<0．【答案】150【解析】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0由正弦定理可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為150．考點4測量角度問題【典例6】（2021·云南民族大學附屬中學高三月考（理））一張臺球桌形狀是邊長為SKIPIF1<0的正六邊形SKIPIF1<0，已知一個小球從SKIPIF1<0邊的中點SKIPIF1<0擊出后，擊中SKIPIF1<0邊上某點SKIPIF1<0，之后依次碰擊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0各邊，最后擊中SKIPIF1<0邊上的點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據入射角等于反射角的原理可作出圖形，過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，由圖形計算得到SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，由此得到結果.【詳解】如圖所示，由入射角等于反射角原理知：分別順次以正六邊形的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊為對稱軸作SKIPIF1<0次對稱變換后可知，小球的運行軌跡即為線段SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正六邊形SKIPIF1<0邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【總結提升】1.解決角度問題的注意事項(1)測量角度時，首先應明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解應用題時，要根據題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉化為可用數學方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點．2．測量角度問題的基本思路測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解．提醒：方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．【變式探究】某沿海四個城市、、、的位置如圖所示，其中，，，，，位于的北偏東方向.現在有一艘輪船從出發(fā)以的速度向直線航行，后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市直線航行，收到指令時城市對于輪船的方位角是南偏西度，則__________．【答案】【解析】設船行駛至，則，連接，過作于，則，,,，所以，所以，又，，可得，所以，故.考點5應用正弦定理、余弦定理解決實際問題【典例7】（2021·浙江高三期末）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點SKIPIF1<0處下山至SKIPIF1<0處有兩種路徑．一種從SKIPIF1<0沿直線步行到SKIPIF1<0，另一種是先從SKIPIF1<0沿索道乘纜車到SKIPIF1<0，然后從SKIPIF1<0沿直線步行到SKIPIF1<0．現有甲、乙兩位游客從SKIPIF1<0處下山，甲沿SKIPIF1<0勻速步行，速度為SKIPIF1<0．在甲出發(fā)SKIPIF1<0后，乙從SKIPIF1<0乘纜車到SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0處停留SKIPIF1<0后，再從SKIPIF1<0勻速步行到SKIPIF1<0．假設纜車勻速直線運行的速度為SKIPIF1<0，山路SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，經測量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鈍角．（1）求索道SKIPIF1<0的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在SKIPIF1<0處互相等待的時間不超過SKIPIF1<0分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？【答案】（1）索道SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0；（2）乙出發(fā)SKIPIF1<0后，乙在纜車上與甲的距離最短；（3）SKIPIF1<0.【解析】（1）利用正弦定理可求得索道SKIPIF1<0的長；（2）求出SKIPIF1<0的值，設乙出發(fā)SKIPIF1<0后，甲、乙之間的距離為SKIPIF1<0，根據題意可得出SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的二次函數關系式，利用二次函數的基本性質可求得結果；（3）設乙步行的速度為SKIPIF1<0，根據已知條件可得SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0的取值范圍，即為所求.【詳解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故索道SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0為鈍角，則SKIPIF1<0為銳角，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，設乙出發(fā)SKIPIF1<0后，甲、乙之間的距離為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最小值，因此，當乙出發(fā)SKIPIF1<0后，乙在纜車上與甲的距離最近；（3）SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，乙從SKIPIF1<0出發(fā)時，甲已經走了SKIPIF1<0，還需走SKIPIF1<0才能到達SKIPIF1<0，設乙步行的速度為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，為使兩位游客在SKIPIF1<0處互相等待的時間不超過SKIPIF1<0分鐘，乙步行的速度應控制在SKIPIF1<0范圍內.【規(guī)律方法】利用解三角形知識解決實際問題要注意根據條件畫出示意圖，結合示意圖構造三角形，然后轉化為解三角形的問題進行求解．【變式探究】（2021·浙江高一期末）目前，中國已經建成全球最大的SKIPIF1<0網絡，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到SKIPIF1<0基站的身影．如圖，某同學在一條水平公路上觀測對面山頂上的一座SKIPIF1<0基站SKIPIF1<0，已知基站高SKIPIF1<0，該同學眼高SKIPIF1<0（眼睛到地面的距離），該同學在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰角為SKIPIF1<0，測得基站頂端A的仰角為SKIPIF1<0．（1）求出山高SKIPIF1<0；（2）如圖，當該同學面向基站SKIPIF1<0前行時（保持在同一鉛垂面內），記該同學所在位置M處（眼睛所在位置）到基站SKIPIF1<0所在直線的距離SKIPIF1<0，且記在M處觀測基站底部B的仰角為SKIPIF1<0，觀測基站頂端A的仰角為SKIPIF1<0．試問當x多大時，觀測基站的視角SKIPIF1<0最大？參考數據：SKIPIF1<0【答案】（1）151.5米；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）在直角三角形中由正切的定義得出SKIPIF1<0的方程，解之可得；（2）視角SKIPIF1<0為銳角，求出SKIPIF1<0的最大值即可得，利用兩角差的正切公式可把SKIPIF1<0表示為SKIPIF1<0的函數，然后結合基本不等式可得最大值．【詳解】（1）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，山高SKIPIF1<0（米）；（2）顯然視角SKIPIF1<0為銳角，由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，即視角SKIPIF1<0最大．專題6.4正弦定理、余弦定理的應用練基礎練基礎1．（2021·江西省萬載中學高一期末（理））在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】先通過“邊化角”，再通過輔助角公式，即可求出答案.【詳解】解：由正弦定理得SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，移項得：SKIPIF1<0,所以三角形一定為直角三角形.故選：B2．（2021·江西省萬載中學高一期末（理））在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】先通過“邊化角”，再通過輔助角公式，即可求出答案.【詳解】解：由正弦定理得SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，移項得：SKIPIF1<0,所以三角形一定為直角三角形.故選：B3．（2021·遼寧高三其他模擬）英國數學家約翰?康威在數學上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引以為傲的研究成果之一．定理的內容是：三角形ABC的三條邊長分別為a，b，c，分別延長三邊兩端，使其距離等于對邊的長度，如圖所示，所得六點SKIPIF1<0仍在一個圓上，這個圓被稱為康威圓．現有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由“康威圓定理”可知的康威圓圓心即為三角形內切圓的圓心，正三角形內切圓的圓心即為中心，據此可得圓的半徑，進一步可求其面積.【詳解】康威圓的圓心即為三角形內切圓的圓心，正三角形內切圓的圓心即為中心，所以其康威圓半徑為SKIPIF1<0，故面積為SKIPIF1<0．故選:C.4．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（理））某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在SKIPIF1<0處（點SKIPIF1<0在水平地面SKIPIF1<0的下方，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與水平地面SKIPIF1<0的交點）進行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀察點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩地相距100米，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離比SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離遠40米．SKIPIF1<0地測得該儀器在SKIPIF1<0處的俯角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0地測得最高點SKIPIF1<0的仰角為SKIPIF1<0，則該儀器的垂直彈射高度SKIPIF1<0為（）A．210米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．420米【答案】C【解析】在SKIPIF1<0中利用余弦定理求出SKIPIF1<0，進而在SKIPIF1<0中可求出SKIPIF1<0，再在SKIPIF1<0中求出SKIPIF1<0，即可得解．【詳解】設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．故答案為：C．5．（2021·山東省青島第一中學高一期中）如圖所示，為測量山高SKIPIF1<0選擇A和另一座山的山頂SKIPIF1<0為測量觀測點，從A點測得SKIPIF1<0點的仰角SKIPIF1<0點的仰角SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0從SKIPIF1<0點測得SKIPIF1<0，若山高SKIPIF1<0米，則山高SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米C．SKIPIF1<0米 D．SKIPIF1<0米【答案】A【解析】在SKIPIF1<0中，可求得AC，根據正弦定理，在SKIPIF1<0中，可求得AM，在SKIPIF1<0中，即可求得答案.【詳解】因為在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（米）故選：A6．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側遠處一座高900米的山頂D的測得點A的在東偏南SKIPIF1<0方向上過一分鐘后測得點B處在山頂地的東偏南SKIPIF1<0方向上，俯角為SKIPIF1<0，則該車的行駛速度為（）A．15米/秒 B．15SKIPIF1<0米/秒C．20米/秒 D．20SKIPIF1<0米/秒【答案】A【解析】根據題意可得SKIPIF1<0，再除以時間即可得解.【詳解】根據題意SKIPIF1<0，由B處在山頂俯角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由A東偏南SKIPIF1<0，B東偏南SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等腰三角形，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以速度為SKIPIF1<0米/秒，故選：A7．（2021·山西臨汾市·高三其他模擬（文））說起延安革命紀念地景區(qū)，可謂是家喻戶曉，它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、中共中央西北局舊址、延安革命紀念館組成.尤其寶塔山，它可是圣地延安的標志，也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進程，在中國老百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為SKIPIF1<0（坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比），在山坡SKIPIF1<0處測得SKIPIF1<0，從SKIPIF1<0處沿山坡往上前進SKIPIF1<0到達SKIPIF1<0處，在山坡SKIPIF1<0處測得SKIPIF1<0，則寶塔SKIPIF1<0的高為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由已知可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中利用正弦定理可求得.【詳解】由題可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設坡角為SKIPIF1<0，則由題可得SKIPIF1<0，則可求得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故寶塔SKIPIF1<0的高為44m.故選：A.8.（2021·浙江高一期末）在中，，若，則的最大值是____________．【答案】【解析】由，結合向量數量積的定義及余弦定理可得，進而可求得，而要求的最大值，只要求解的最小值即可【詳解】解：因為，所以，由余弦定理得，得，由余弦定理可得，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值，根據余弦函數在上單調遞減可知，此時角取得最大值為，所以的最大值是，故答案為：9．（湖北高考真題））如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°【答案】100【解析】由題設可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因為,所以,應填1006.10．（寧夏高考真題）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內（如示意圖），飛機能夠測量的數據有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.【答案】見解析【解析】要求長度，需要測量的數據有：A點到M，N點的俯角α1①需要測量的數據有：A點到M，N點的俯角α1B點到M，N的俯角α2,β2；A，②第一步：計算AM.由正弦定理AM=d第二步：計算AN.由正弦定理AN=d第三步：計算MN.由余弦定理MN=練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川自貢市·高三三模（文））如圖，在山腳A處測得山頂P的仰角為α，沿傾角為β的斜坡向上走b米到B處，在B處測得山頂P的仰角為γ（A、B、P、Q共面）則山高P等于（）米．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】已知仰角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的傾斜角SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0處測得山頂SKIPIF1<0的仰角為SKIPIF1<0，用正弦定理可計算出高度.【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.故選：A.2.（2021·黑龍江哈爾濱市第六中學校高三月考（理））在如圖所示四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0的面積為________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知條件可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，應用三角形面積公式求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求四邊形SKIPIF1<0的面積.【詳解】由題意，知：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（2021·合肥一六八中學高三其他模擬（文））南宋數學家秦九韶著有《數書九章》，創(chuàng)造了“大衍求一術”，被稱為“中國剩余定理”．他所論的“正負開方術”，被稱為“秦九韶程序”．世界各國從小學、中學到大學的數學課程，幾乎都接觸到他的定理、定律和解題原則．科學史家稱秦九韶：“他那個民族、他那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數學家之一”．在《數書九章》中提出“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜幫，減上，余四約之，為實：一為從隅，開平方得積可用公式SKIPIF1<0（其中a，b，c，S為三角形的三邊和面積）表示．在SKIPIF1<0中，a，b，c分別為角A、B、C所對的邊，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0則SKIPIF1<0面積的最大值為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】利用余弦定理化簡已知條件得到SKIPIF1<0的關系式，將SKIPIF1<0的關系式代入所給的面積公式中，將面積SKIPIF1<0轉化為關于SKIPIF1<0的函數形式，根據二次函數的對稱軸求解出面積的最大值即可.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.4．（2021·河南高二月考（文））為測量山高SKIPIF1<0.選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得N點的仰角SKIPIF1<0，C點的仰角SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0，從C點測得SKIPIF1<0.已知山高SKIPIF1<0米.則所求山高SKIPIF1<0為___________米.【答案】SKIPIF1<0【解析】在SKIPIF1<0中可求得SKIPIF1<0，再在SKIPIF1<0利用正弦定理可求出SKIPIF1<0，即可求得山高.【詳解】由題，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以所求山高SKIPIF1<0為SKIPIF1<0米.故答案為：SKIPIF1<0.5．（2021·齊齊哈爾市第八中學校高一期中）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.（1）試確定SKIPIF1<0的形狀；（2）求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）直角三角形；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）根據正弦定理化簡整理得到SKIPIF1<0即可判斷三角形的形狀；（2）由正弦定理將SKIPIF1<0表示成SKIPIF1<0，接著根據三角函數的知識求解取值范圍即可.【詳解】解：（1）由正弦定理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②把②代入①得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是直角三角形（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.根據正弦定理得SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.6．（2021·重慶市長壽中學校高三其他模擬）如圖四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，.（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0面積的最大值.從①SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為銳角；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0這三個條件中任選一個補充在上面的問題中并作答【答案】（1）條件選擇見解析，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）選①：利用三角形的面積公式求出SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0為銳角求出SKIPIF1<0的值，利用余弦定理求出SKIPIF1<0，再利用正弦定理可求得SKIPIF1<0的長；選②：利用余弦定理計算得出SKIPIF1<0的值，結合SKIPIF1<0的取值范圍可求得SKIPIF1<0的值，利用余弦定理求出SKIPIF1<0，再利用正弦定理可求得SKIPIF1<0的長；選③：求出SKIPIF1<0，利用余弦定理計算得出SKIPIF1<0的值，結合SKIPIF1<0的取值范圍可求得SKIPIF1<0的值，再利用正弦定理可求得SKIPIF1<0的長；（2）利用余弦定理結合基本不等式可求得SKIPIF1<0的最大值，利用三角形的面積公式可得結果.【詳解】（1）選①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是銳角，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是四邊形SKIPIF1<0的外接圓直徑，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓直徑，SKIPIF1<0；選②：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是四邊形SKIPIF1<0的外接圓直徑，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓直徑，SKIPIF1<0；選③：SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是四邊形SKIPIF1<0的外接圓直徑，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓直徑，SKIPIF1<0；（2）由（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立.因此，SKIPIF1<0.7．（2021·全國高一專題練習）如圖，為了檢測某工業(yè)區(qū)的空氣質量，在點A處設立一個空氣監(jiān)測中心（大小忽略不計），在其正東方向點B處安裝一套監(jiān)測設備．為了使監(jiān)測數據更加準確，在點C和點D處，再分別安裝一套監(jiān)測設備，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積；（2）當SKIPIF1<0為何值時，線段SKIPIF1<0最長．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最長為SKIPIF1<0.【解析】（1）利用余弦定理求出SKIPIF1<0，即得解；（2）先求出SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用余弦定理求出SKIPIF1<0即得解.【詳解】（1）在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.所以四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.（2）由題得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最長為SKIPIF1<0.8．（2021·江蘇高一月考）緝私船在A處測出某走私船在方位角為SKIPIF1<0(航向)，距離為10海里的C處，并測得走私船正沿方位角SKIPIF1<0的方向以9海里/時的速度沿直線方向航行逃往相距27海里的陸地D處，緝