2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%2．已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實(shí)數(shù)都有，當(dāng)時，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．3．已知集合A，B=,則A∩B=A． B． C． D．4．已知空間兩不同直線、，兩不同平面，，下列命題正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若不垂直于，且，則不垂直于5．在中，角所對的邊分別為，已知，．當(dāng)變化時，若存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．6．過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，當(dāng)直線，關(guān)于直線對稱時，（）A． B． C． D．7．已知，，，是球的球面上四個不同的點(diǎn)，若，且平面平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．設(shè)，，則（）A． B．C． D．9．若，則下列關(guān)系式正確的個數(shù)是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．410．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．11．已知集合，則為（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]12．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則展開式的系數(shù)為__________．14．已知二面角α﹣l﹣β為60°，在其內(nèi)部取點(diǎn)A，在半平面α，β內(nèi)分別取點(diǎn)B，C．若點(diǎn)A到棱l的距離為1，則△ABC的周長的最小值為_____．15．已知數(shù)列的首項(xiàng)，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則數(shù)列|的前項(xiàng)和__________.16．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，，成等差數(shù)列，則.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn).將①，②，③中的兩個補(bǔ)充到已知條件中，解答下列問題：（1）求平面將四棱錐分成兩部分的體積比；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，二面角為，求異面直線與所成角的余弦值.20．（12分）某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對價(jià)格y(千克/噸)和利潤z的影響，對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表：x12345y17.016.515.513.812.2（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，年利潤w取到最大值？參考公式：21．（12分）某地為改善旅游環(huán)境進(jìn)行景點(diǎn)改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計(jì)寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸線l3上的E，F(xiàn)兩處建造建筑物，其中E，F(xiàn)到M的距離為1

（百米），且F恰在B的正對岸（即BF⊥l3）．（1）在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求棧道AB的方程；（2）游客（視為點(diǎn)P）在棧道AB的何處時，觀測EF的視角(∠EPF)最大？請?jiān)冢?）的坐標(biāo)系中，寫出觀測點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)分別交于兩點(diǎn)（與原點(diǎn)不重合），求的最小值.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【答案解析】試題分析：由題意故選B．考點(diǎn)：正態(tài)分布2、B【答案解析】

先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式，解得結(jié)果.【題目詳解】令，則當(dāng)時，，又，所以為偶函數(shù)，從而等價(jià)于，因此選B.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.3、A【答案解析】

先解A、B集合，再取交集。【題目詳解】,所以B集合與A集合的交集為，故選A【答案點(diǎn)睛】一般地，把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。4、C【答案解析】因答案A中的直線可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線也成立，故不正確；答案C中的直線可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可能垂直于直線，故不正確．應(yīng)選答案C．5、C【答案解析】

因?yàn)?，，所以根?jù)正弦定理可得，所以，，所以，其中，，因?yàn)榇嬖谧畲笾担杂?，可得，所以，所以，解得，所以正?shù)的取值范圍為，故選C．6、C【答案解析】

判斷圓心與直線的關(guān)系，確定直線，關(guān)于直線對稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質(zhì)求出，得，從而得．【題目詳解】如圖，設(shè)圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)不在直線上，要滿足直線，關(guān)于直線對稱，則必垂直于直線，∴，設(shè)，則，，∴,．故選：C．【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線的對稱性，解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角．7、A【答案解析】

由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案．【題目詳解】如圖，取BC中點(diǎn)G，連接AG，DG，則，，分別取與的外心E，F(xiàn)，分別過E，F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，得正方形OEGF的邊長為，則，四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．故選A．【答案點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．8、D【答案解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【題目詳解】解：因?yàn)?，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.9、D【答案解析】

a，b可看成是與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.【題目詳解】令，，作出圖象如圖，由，的圖象可知，，，②正確；，，有，①正確；，，有，③正確；，，有，④正確.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.10、A【答案解析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點(diǎn)求出，化簡即得所求.【題目詳解】由圖像知，，，解得，因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，所以，，即，解得，因?yàn)?，所以?故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.11、B【答案解析】

先求出，得到，再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【題目詳解】由題意，集合，所以，則，所以.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【答案解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷即可.【題目詳解】選項(xiàng)A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項(xiàng)B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項(xiàng)C：由于，所以，所以，所以成立；選項(xiàng)D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

先根據(jù)定積分求出的值，再用二項(xiàng)展開式公式即可求解.【題目詳解】因?yàn)樗缘耐?xiàng)公式為當(dāng)時，當(dāng)時，故展開式中的系數(shù)為故答案為：【答案點(diǎn)睛】此題考查定積分公式，二項(xiàng)展開式公式等知識點(diǎn)，屬于簡單題目.14、【答案解析】

作A關(guān)于平面α和β的對稱點(diǎn)M，N，交α和β與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據(jù)對稱性三角形ADC的周長為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，當(dāng)四點(diǎn)共線時長度最短，結(jié)合對稱性和余弦定理求解.【題目詳解】作A關(guān)于平面α和β的對稱點(diǎn)M，N，交α和β與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據(jù)對稱性三角形ABC的周長為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，當(dāng)M，B，C，N共線時，周長最小為MN設(shè)平面ADE交l于，O，連接OD，OE，顯然OD⊥l，OE⊥l，∠DOE＝60°，∠MOA+∠AON＝240°,OA＝1，∠MON＝120°，且OM＝ON＝OA＝1，根據(jù)余弦定理，故MN2＝1+1﹣2×1×1×cos120°＝3，故MN．故答案為：．【答案點(diǎn)睛】此題考查求空間三角形邊長的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對稱關(guān)系，結(jié)合解三角形知識求解.15、【答案解析】

由函數(shù)為偶函數(shù)，可得唯一零點(diǎn)為，代入可得數(shù)列的遞推關(guān)系式，再進(jìn)行配湊轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列，最后運(yùn)用分部求和可得答案.【題目詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，在上有唯一零點(diǎn)，所以，∴，∴，∴為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以，.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點(diǎn),同時也考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng),考查了數(shù)列的分部求和，屬于中檔題.16、.【答案解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【答案解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對數(shù)，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導(dǎo)證明即可．【題目詳解】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設(shè).∵，由知，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，而，∴當(dāng)時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即時，，∴當(dāng)時，.∵，∴當(dāng)時，，即②.綜上①②可得，.【答案點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計(jì)算求解能力，屬于難題．，18、（1）；（2）.【答案解析】

若補(bǔ)充②③根據(jù)已知可得平面，從而有，結(jié)合，可得平面，故有，而，得到，②③成立與①②相同，①③成立，可得，所以任意補(bǔ)充兩個條件，結(jié)果都一樣，以①②作為條件分析;（1）設(shè)，可得，進(jìn)而求出梯形的面積，可求出，即可求出結(jié)論；（2），以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，由（1）得為平面的法向量，根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【題目詳解】第一種情況：若將①，②作為已知條件，解答如下：（1）設(shè)平面為平面.∵，∴平面，而平面平面，∴，又為中點(diǎn).設(shè)，則.在三角形中，，由知平面，∴，∴梯形的面積，，，平面，，，∴，故，.（2）如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）得為平面的一個法向量，因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為.第二種情況：若將①，③作為已知條件，則由知平面，，又，所以平面，，又，故為中點(diǎn)，即，解答如上不變.第三種情況：若將②，③作為已知條件，由及第二種情況知，又，易知，解答仍如上不變.【答案點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，以及體積、直線與平面所成的角，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.19、（1）證明見解析（2）【答案解析】

（1）取中點(diǎn)連接，得，可得，可證，可得，進(jìn)而平面，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)分別為邊的中點(diǎn)，連，可得，，可得（或補(bǔ)角）是異面直線與所成的角，，可得，為二面角的平面角，即，設(shè)，求解，即可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）證明:取中點(diǎn)連接，由則，則，故，，平面，又平面，故平面平面（2）解法一:設(shè)分別為邊的中點(diǎn)，則，（或補(bǔ)角）是異面直線與所成的角.設(shè)為邊的中點(diǎn)，則，由知.又由（1）有平面，平面，所以為二面角的平面角，，設(shè)則在中，從而在中，，又，從而在中，因，，因此，異面直線與所成角的余弦值為.解法二:過點(diǎn)作交于點(diǎn)由（1）易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，射線分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，由，易知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為則顯然向量是平面的法向量已知二面角為，設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，則令，則由由上式整理得，解之得(舍)或，因此，異面直線與所成角的余弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空間角對應(yīng)的平面角是解題的關(guān)鍵，或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）（2）當(dāng)時，年利潤最大．【答案解析】

（1）方法一：令，先求得關(guān)于的回歸直線方程，由此求得關(guān)于的回歸直線方程.方法二：根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.方法一的好處在計(jì)算的數(shù)值較小.（2）求得w的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預(yù)測.【題目詳解】（1）方法一：取，則得與的數(shù)據(jù)關(guān)系如下123457.06.55.53.82.2，，，.，，關(guān)于的線性回歸方程是即，故關(guān)于的線性回歸方程是.方法二：因?yàn)?，，，，，所以，故關(guān)于的線性回歸方程是，（2）年利潤，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)時，年利潤最大．【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測，考查運(yùn)算